Вейвлет для волос

В математике вейвлет Хаара представляет собой последовательность масштабированных функций «квадратной формы», которые вместе образуют вейвлетов семейство или базис . Вейвлет-анализ похож на анализ Фурье в том, что он позволяет представить целевую функцию на интервале в терминах ортонормированного базиса . Последовательность Хаара теперь признана первым известным базисом вейвлетов и широко используется в качестве обучающего примера.

Последовательность Хаара была предложена в 1909 году Альфредом Хааром . ^[1] Хаар использовал эти функции, чтобы привести пример ортонормированной системы для пространства функций, интегрируемых с квадратом на единичном интервале [0, 1]. Изучение вейвлетов и даже самого термина «вейвлет» появилось намного позже. Как частный случай вейвлета Добеши , вейвлет Хаара также известен как Db1 .

Вейвлет Хаара также является самым простым из возможных вейвлетов. Технический недостаток вейвлета Хаара состоит в том, что он не является непрерывным и, следовательно, не дифференцируемым . Однако это свойство может быть преимуществом для анализа сигналов с внезапными переходами ( дискретных сигналов ), например, для мониторинга поломок инструментов в машинах. ^[2]

Материнская вейвлет-функция вейвлета Хаара $\psi (t)$ можно описать как

\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Его функция масштабирования $\varphi (t)$ можно описать как

\varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Функции Хаара и система Хаара

Для каждой пары n , k целых чисел в $\mathbb {Z}$ , функция Хаара ψ _{n , k} определена на вещественной прямой $\mathbb {R}$ по формуле

\psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbb {R} .

Эта функция поддерживается на правом открытом интервале I _{n , k} = [ k 2 ^{− п}, ( к +1)2 ^{− п}) , т. е . он исчезает вне этого интервала. Он имеет интеграл 0 и норму 1 в гильбертовом пространстве L ²( $\mathbb {R}$ ) ,

\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.

Функции Хаара попарно ортогональны ^{[ сломанный якорь ]},

\int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},

где $\delta _{ij}$ представляет собой дельту Кронекера . Вот причина ортогональности: когда два опорных интервала $I_{n_{1},k_{1}}$ и $I_{n_{2},k_{2}}$ не равны, то они либо не пересекаются, либо меньшая из двух опор, скажем $I_{n_{1},k_{1}}$ , содержится в нижней или верхней половине другого интервала, на котором функция $\psi _{n_{2},k_{2}}$ остается постоянным. В этом случае следует, что произведение этих двух функций Хаара кратно первой функции Хаара, следовательно, произведение имеет целое число 0.

Система Хаара на прямой представляет собой набор функций

\{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.

Это полно в L ²( $\mathbb {R}$ ): Система Хаара на прямой является ортонормированным базисом в L ²( $\mathbb {R}$ ).

Его вейвлет-свойства

Вейвлет Хаара имеет несколько примечательных свойств:

Любая непрерывная действительная функция с компактным носителем может быть равномерно аппроксимирована линейными комбинациями $\varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots$ и их смещенные функции. Это распространяется на те функциональные пространства, где любая функция в них может быть аппроксимирована непрерывными функциями.
Любая непрерывная действительная функция на [0, 1] может быть аппроксимирована равномерно на [0, 1] линейными комбинациями постоянной функции 1 , $\psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots$ и их смещенные функции. ^[3]
Ортогональность в форме
$\int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.$
Здесь, $\delta _{ij}$ представляет собой дельту Кронекера . Двойственная функция к ψ( t ) — это сама ψ( t ).
Функции вейвлета/масштабирования с разным масштабом n имеют функциональную взаимосвязь: ^[4] с
${\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}$
отсюда следует, что коэффициенты шкалы n можно вычислить по коэффициентам шкалы n+1 :
Если $\chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt$
и $\mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt$
затем
$\chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}$
$\mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.$

Система Хаара на единичном интервале и родственные системы

В этом разделе обсуждение ограничивается единичным интервалом [0, 1] и функциями Хаара, которые поддерживаются на [0, 1]. Система функций, рассмотренная Хааром в 1910 г., ^[5]называемая в этой статье системой Хаара на [0, 1] , состоит из подмножества вейвлетов Хаара, определяемых как

\{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},

с добавлением постоянной функции 1 на [0, 1].

В терминах гильбертова пространства эта система Хаара на [0, 1] является полной ортонормированной системой, т. е . ортонормированным базисом для пространства L ²([0, 1]) функций, интегрируемых с квадратом на единичном интервале.

Система Хаара на [0, 1] — с постоянной функцией 1 в качестве первого элемента, за которой следуют функции Хаара, упорядоченные в соответствии с лексикографическим упорядочением пар ( n , k ), — является также монотонным базисом Шаудера для пространства L. ^п([0, 1]) , когда 1 ≤ p < ∞ . ^[6] Этот базис является безусловным , если 1 < p < ∞ . ^[7]

Существует родственная система Радемахера , состоящая из сумм функций Хаара:

r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.

Обратите внимание, что | р _п ( т )| = 1 на [0, 1). Это ортонормированная система, но она не полная. ^[8]^[9]На языке теории вероятностей последовательность Радемахера представляет собой экземпляр последовательности независимых Бернулли случайных величин со средним значением 0. Неравенство Хинчина выражает тот факт, что во всех пространствах L ^п([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , последовательность Радемахера эквивалентна базису единичного вектора в ℓ ². ^[10] В частности, замкнутая линейная оболочка последовательности Радемахера в L ^п([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , изоморфен ℓ ².

Система Фабера – Шаудера.

Система Фабера – Шаудера. ^[11]^[12]^[13] - это семейство непрерывных функций на [0, 1], состоящее из постоянной функции 1 и кратных неопределенных интегралов функций системы Хаара на [0, 1], выбранных так, чтобы иметь норму 1 в максимальной норме . Эта система начинается с s ₀ = 1 , затем s ₁ ( t ) = t — неопределенный интеграл, обращающийся в нуль в точке 0 функции 1 , первого элемента системы Хаара на [0, 1]. Далее, для каждого целого числа n ≥ 0 функции s _{n , k} определяются по формуле

s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.

Эти функции sn _{и , k} непрерывны, кусочно-линейны поддерживаются интервалом I _{n , k,} который также поддерживает ψ _{n , k} . Функция sn _{линейна , k} равна 1 в средней точке , _{xn k интервала} In , _{k на обеих ,} половинах этого интервала. Он везде принимает значения от 0 до 1.

Система Фабера–Шаудера является базисом Шаудера пространства C ([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1]. ^[6] Для каждого f в C ([0, 1]) частичная сумма

f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])

системе разложения f в ряд по в Фабера–Шаудера представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию, совпадающую с f точке 2 ^н + 1 балл к 2 ^{− п}, где 0 ≤ k ≤ 2 ^н. Далее формула

f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}

дает возможность вычислить разложение f шаг за шагом . Поскольку f равномерно непрерывна , последовательность { fn _} сходится равномерно к f . Отсюда следует, что разложение f в ряд Фабера–Шаудера сходится в C ([0, 1]), а сумма этого ряда равна f .

Система Франклина

Система Франклина получается из системы Фабера–Шаудера с помощью процедуры ортонормировки Грама–Шмидта . ^[14]^[15]Поскольку система Франклина имеет ту же линейную оболочку, что и система Фабера–Шаудера, эта оболочка плотна в C ([0, 1]), следовательно, в L ²([0, 1]). Таким образом, система Франклина является ортонормированным базисом для L ²([0, 1]), состоящее из непрерывных кусочно-линейных функций. П. Франклин доказал в 1928 г., что эта система является базисом Шаудера для C ([0, 1]). ^[16] Система Франклина также является безусловным базисом Шаудера пространства L ^п([0, 1]), когда 1 < p < ∞ . ^[17]Система Франклина обеспечивает базис Шаудера в дисковой алгебре A ( D ). ^[17]Это было доказано в 1974 году Бочкаревым, после того как существование основы дисковой алгебры оставалось открытым более сорока лет. ^[18]

Конструкция Бочкарева базиса Шаудера в A ( D ) выглядит следующим образом: пусть f — комплекснозначная липшицева функция на [0, π]; тогда f — сумма косинусного ряда с абсолютно суммируемыми коэффициентами. Пусть T ( f ) будет элементом A ( D ), определяемым комплексным степенным рядом с теми же коэффициентами,

\left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.

Базис Бочкарева для A ( D ) образован образами под T функций системы Франклина на [0, π]. Эквивалентное описание Бочкарёва отображения T начинается с расширения f до четной липшицевой функции g ₁ на [−π, π], отождествляемой с липшицевой функцией на единичной окружности T . Далее, пусть g ₂ будет функцией, сопряженной с g ₁ , и определим T ( f ) как функцию из A ( D ), значение которой на границе T группы D равно g ₁ + i g ₂ .

Имея дело с 1-периодическими непрерывными функциями или, скорее, с непрерывными функциями f на [0, 1] такими, что f (0) = f (1) удаляется функция s ₁ ( t ) = t. , из системы Фабера–Шаудера , чтобы получить периодическую систему Фабера–Шаудера . Периодическая система Франклина получается ортонормировкой периодической системы Фабера–-Шаудера. ^[19]Результат Бочкарева об A ( D ) можно доказать, доказав, что периодическая система Франклина на [0, 2π] является базисом банахова пространства A _r , изоморфного A ( D ). ^[19] Пространство Ar _, состоит из комплексных непрерывных функций на единичной окружности T которых сопряженная функция также непрерывна.

Матрица волос

Матрица Хаара 2×2, связанная с вейвлетом Хаара, равна

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.

Используя дискретное вейвлет-преобразование , можно преобразовать любую последовательность $(a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})$ четной длины в последовательность двухкомпонентных векторов $\left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)$ . Если умножить каждый вектор на матрицу справа $H_{2}$ , получаем результат $\left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)$ одного этапа быстрого вейвлет-преобразования Хаара. Обычно последовательности s и d разделяют и продолжают преобразование последовательности s . Последовательность s часто называют частью средних значений , тогда как последовательность d известна как детальная часть. ^[20]

Если у вас есть последовательность длиной, кратной четырем, можно построить блоки из 4 элементов и преобразовать их аналогичным образом с помощью матрицы Хаара 4 × 4.

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},

который объединяет два этапа быстрого вейвлет-преобразования Хаара.

Сравните с матрицей Уолша , которая представляет собой нелокализованную матрицу 1/–1.

Обычно матрицу Хаара размером 2N×2N можно получить с помощью следующего уравнения.

H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}

где

I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}

и

\otimes

является произведением Кронекера .

Кронекеровское произведение $A\otimes B$ , где $A$ представляет собой матрицу размера m×n и $B$ — матрица ap×q, выражается как

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.

Ненормализованная 8-точечная матрица Хаара $H_{8}$ показано ниже

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.

Обратите внимание, что приведенная выше матрица представляет собой ненормализованную матрицу Хаара. Матрица Хаара, необходимая для преобразования Хаара, должна быть нормализована.

Из определения матрицы Хаара $H$ , можно заметить, что в отличие от преобразования Фурье , $H$ имеет только действительные элементы (т. е. 1, -1 или 0) и несимметричен.

Возьмите 8-точечную матрицу Хаара. $H_{8}$ в качестве примера. Первый ряд $H_{8}$ измеряет среднее значение, а вторая строка $H_{8}$ измеряет низкочастотную составляющую входного вектора. Следующие две строки чувствительны к первой и второй половине входного вектора соответственно, что соответствует компонентам средней частоты. Остальные четыре строки чувствительны к четырем участкам входного вектора, соответствующим высокочастотным компонентам. ^[21]

Преображение волос

Преобразование Хаара — самое простое из вейвлет-преобразований . Это преобразование перекрестно умножает функцию на вейвлет Хаара с различными сдвигами и растяжениями, подобно тому, как преобразование Фурье перекрестно умножает функцию на синусоидальную волну с двумя фазами и множеством растяжений. ^[22]^{[ нужны разъяснения ]}

Введение

Преобразование Хаара — одна из старейших функций преобразования, предложенная в 1910 году венгерским математиком Альфредом Хааром . Он эффективен в таких приложениях, как сжатие сигналов и изображений в электротехнике и вычислительной технике, поскольку обеспечивает простой и эффективный в вычислительном отношении подход к анализу локальных аспектов сигнала.

Преобразование Хаара получается из матрицы Хаара. Пример матрицы преобразования Хаара 4×4 показан ниже.

H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс выборки, в котором строки матрицы преобразования действуют как выборки все более высокого разрешения.

Сравните с преобразованием Уолша , которое также равно 1/–1, но нелокализовано.

Свойство

Преобразование Хаара обладает следующими свойствами

Нет необходимости в умножениях. Для этого требуются только сложения, и в матрице Хаара много элементов с нулевым значением, поэтому время вычислений невелико. Это быстрее, чем преобразование Уолша , матрица которого состоит из +1 и -1.
Входная и выходная длина одинаковы. Однако длина должна быть степенью 2, т.е. $N=2^{k},k\in \mathbb {N}$ .
Его можно использовать для анализа локализованных особенностей сигналов. Благодаря ортогональному свойству функции Хаара можно анализировать частотные составляющие входного сигнала.

Трансформация волос и обратная трансформация волос

Преобразование Хаара y n _n -входной функции x _n равно

y_{n}=H_{n}x_{n}

Матрица преобразования Хаара действительна и ортогональна. Таким образом, обратное преобразование Хаара можно получить с помощью следующих уравнений.

H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I

где

I

является единичной матрицей. Например, когда n = 4

H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Таким образом, обратное преобразование Хаара имеет вид

x_{n}=H^{T}y_{n}

Пример

Коэффициенты преобразования Хаара 4-точечного сигнала $x_{4}=[1,2,3,4]^{T}$ можно найти как

y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}

Затем входной сигнал может быть идеально восстановлен с помощью обратного преобразования Хаара.

{\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}

См. также

Примечания

^ см. стр. 361 в «Волосах» (1910) .
^ Ли, Б.; Тарнг, Ю.С. (1999). «Применение дискретного вейвлет-преобразования для мониторинга отказа инструмента при концевом фрезеровании с использованием тока двигателя шпинделя». Международный журнал передовых производственных технологий . 15 (4): 238–243. дои : 10.1007/s001700050062 . S2CID 109908427 .
^ В отличие от предыдущего утверждения, этот факт не очевиден: см. с. 363 в Хааре (1910) .
^ Видакович, Брани (2010). Статистическое моделирование с помощью вейвлетов . Серия Уайли по вероятности и статистике (2-е изд.). стр. 60, 63. doi : 10.1002/9780470317020 . ISBN 9780470317020 .
^ с. 361 в волосах (1910)
^ Jump up to: ^а ^б см. стр. 3 в Й. Линденштраусе , Л. Цафрири, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Результаты математики и ее пограничных областей 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
^ Результат принадлежит Р. Э. Пейли , Замечательный ряд ортогональных функций (I) , Proc. Лондонская математика. 34 (1931), стр. 241–264. См. также стр. 155 в Дж. Линденштраусе, Л. Цафрири, (1979), «Классические банаховы пространства II, Функциональные пространства». Результаты математики и ее пограничные области 97 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 .
^ «Ортогональная система» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Уолтер, Гилберт Г.; Шен, Сяопин (2001). Вейвлеты и другие ортогональные системы . Бока-Ратон: Чепмен. ISBN 1-58488-227-1 .
^ см., например, стр. 66 в Дж. Линденштраусе , Л. Цафрири, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Результаты математики и ее пограничных областей 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
^ Фабер, Георг (1910), «Об ортогональных функциях г-на Хаара», Deutsche Math.-Ver (на немецком языке) 19 : 104–112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
^ Шаудер, Юлиуш (1928), «Свойство ортогональной системы Хаара», Mathematical Journal 28 : 317–320.
^ Голубов, Б.И. (2001) [1994], «Система Фабера–Шаудера» , Энциклопедия математики , EMS Press
^ см. З. Чесельский, Свойства ортонормированной системы Франклина . Студия Матем. 23 1963 г. 141–157.
^ Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclepediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
^ Филип Франклин, Набор непрерывных ортогональных функций , Матем. Энн. 100 (1928), 522–529. два : 10.1007/BF01448860
^ Jump up to: ^а ^б С. В. Бочкарев, Существование базиса в пространстве аналитических в круге функций и некоторые свойства системы Франклина . Мат. Сб. 95 (1974), 3–18 (рус.). Переведено на математику. СССР-Сб. 24 (1974), 1–16.
^ Появляется вопрос с. 238, §3 в книге Банаха, Банах, Стефан (1932), Теория линейных операций , Математические монографии, том 1, Варшава: Субсидии Национального фонда культуры, Zbl 0005.20901 . Дисковая алгебра A ( D ) появляется в примере 10, стр. 12 в книге Банаха.
^ Jump up to: ^а ^б См. стр. 161, III.D.20 и с. 192, III.E.17 в Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 25, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0
^ Рух, Дэвид К.; Ван Флит, Патрик Дж. (2009). Теория вейвлетов: элементарный подход с приложениями . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-38840-2 .
^ «хаар» . Fourier.eng.hmc.edu. 30 октября 2013 года. Архивировано из оригинала 21 августа 2012 года . Проверено 23 ноября 2013 г.
^ Преобразование волос

Ссылки

Хаар, Альфред (1910), «К теории ортогональных функциональных систем», Mathematical Annals , 69 (3): 331–371, doi : 10.1007/BF01456326 , hdl : 2027/uc1.b2619563 , S2CID 120024038
Чарльз К. Чуи, Введение в вейвлеты , (1992), Academic Press, Сан-Диего, ISBN 0-585-47090-1
Английский перевод основополагающей статьи Хаара: [1]

Внешние ссылки

Преображение волос

Кингсбери, Ник. «Преобразование Хаара» . Архивировано из оригинала 19 апреля 2006 года.
Эк, Дэвид (31 января 2006 г.). «Демо-апплеты преобразования Хаара» .
Эймс, Грег (7 декабря 2002 г.). «Сжатие изображения» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 января 2011 года.
Аарон, Энн; Хилл, Майкл; Шриватса, Ананд. «МОСМАТ 500. Генератор фотомозаики. 2. Теория» . Архивировано из оригинала 18 марта 2008 года.
Ван, Руйе (4 декабря 2008 г.). «Трансформация Хаара» . Архивировано из оригинала 21 августа 2012 года.

[1] см. стр. 361 в «Волосах» (1910) .

[2] Ли, Б.; Тарнг, Ю.С. (1999). «Применение дискретного вейвлет-преобразования для мониторинга отказа инструмента при концевом фрезеровании с использованием тока двигателя шпинделя». Международный журнал передовых производственных технологий . 15 (4): 238–243. дои : 10.1007/s001700050062 . S2CID 109908427 .

[3] В отличие от предыдущего утверждения, этот факт не очевиден: см. с. 363 в Хааре (1910) .

[4] Видакович, Брани (2010). Статистическое моделирование с помощью вейвлетов . Серия Уайли по вероятности и статистике (2-е изд.). стр. 60, 63. doi : 10.1002/9780470317020 . ISBN 9780470317020 .

[5] с. 361 в волосах (1910)

[L._Tzafriri,_1977-6] Jump up to: ^а ^б см. стр. 3 в Й. Линденштраусе , Л. Цафрири, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Результаты математики и ее пограничных областей 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .

[7] Результат принадлежит Р. Э. Пейли , Замечательный ряд ортогональных функций (I) , Proc. Лондонская математика. 34 (1931), стр. 241–264. См. также стр. 155 в Дж. Линденштраусе, Л. Цафрири, (1979), «Классические банаховы пространства II, Функциональные пространства». Результаты математики и ее пограничные области 97 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 .

[8] «Ортогональная система» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[9] Уолтер, Гилберт Г.; Шен, Сяопин (2001). Вейвлеты и другие ортогональные системы . Бока-Ратон: Чепмен. ISBN 1-58488-227-1 .

[10] см., например, стр. 66 в Дж. Линденштраусе , Л. Цафрири, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Результаты математики и ее пограничных областей 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .

[Faber-11] Фабер, Георг (1910), «Об ортогональных функциях г-на Хаара», Deutsche Math.-Ver (на немецком языке) 19 : 104–112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553

[12] Шаудер, Юлиуш (1928), «Свойство ортогональной системы Хаара», Mathematical Journal 28 : 317–320.

[13] Голубов, Б.И. (2001) [1994], «Система Фабера–Шаудера» , Энциклопедия математики , EMS Press

[14] см. З. Чесельский, Свойства ортонормированной системы Франклина . Студия Матем. 23 1963 г. 141–157.

[15] Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclepediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

[16] Филип Франклин, Набор непрерывных ортогональных функций , Матем. Энн. 100 (1928), 522–529. два : 10.1007/BF01448860

[Bo-17] Jump up to: ^а ^б С. В. Бочкарев, Существование базиса в пространстве аналитических в круге функций и некоторые свойства системы Франклина . Мат. Сб. 95 (1974), 3–18 (рус.). Переведено на математику. СССР-Сб. 24 (1974), 1–16.

[18] Появляется вопрос с. 238, §3 в книге Банаха, Банах, Стефан (1932), Теория линейных операций , Математические монографии, том 1, Варшава: Субсидии Национального фонда культуры, Zbl 0005.20901 . Дисковая алгебра A ( D ) появляется в примере 10, стр. 12 в книге Банаха.

[Prz-19] Jump up to: ^а ^б См. стр. 161, III.D.20 и с. 192, III.E.17 в Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 25, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0

[20] Рух, Дэвид К.; Ван Флит, Патрик Дж. (2009). Теория вейвлетов: элементарный подход с приложениями . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-38840-2 .

[21] «хаар» . Fourier.eng.hmc.edu. 30 октября 2013 года. Архивировано из оригинала 21 августа 2012 года . Проверено 23 ноября 2013 г.

[22] Преобразование волос

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]