Вейвлет Добеши

Добеши 20 2-мерный вейвлет (вейвлет Fn X масштабирование Fn)

Вейвлеты Добеши , основанные на работе Ингрид Добеши , представляют собой семейство ортогональных вейвлетов , определяющих дискретное вейвлет-преобразование и характеризующихся максимальным числом исчезающих моментов для некоторой заданной опоры . Для каждого типа вейвлета этого класса существует функция масштабирования (называемая родительским вейвлетом ), которая генерирует ортогональный анализ с множественным разрешением .

Свойства

В общем, вейвлеты Добеши выбираются так, чтобы они имели наибольшее число A исчезающих моментов (это не подразумевает наилучшую гладкость) для заданной ширины опоры (количества коэффициентов) 2 A . Используются две схемы именования: DN, использующая длину или количество отводов, и db A, относящаяся к количеству моментов исчезновения. Таким образом, D4 и db2 — это одно и то же вейвлет-преобразование.

Среди 2 ^{А −1} возможных решений алгебраических уравнений для момента и условий ортогональности выбирается то, масштабирующий фильтр которого имеет экстремальную фазу. Вейвлет-преобразование также легко реализовать на практике с помощью быстрого вейвлет-преобразования . Вейвлеты Добеши широко используются при решении широкого круга задач, например, свойств самоподобия сигнала или фрактальных задач, разрывов сигнала и т. д.

Вейвлеты Добеши не определяются в терминах результирующих масштабирующих и вейвлет-функций; на самом деле их невозможно записать в закрытом виде . Графики ниже созданы с использованием каскадного алгоритма — числового метода, состоящего из обратного преобразования [1 0 0 0 0 ...] соответствующее количество раз.

Масштабирование и вейвлет-функции
Амплитуды частотных спектров вышеуказанных функций

Обратите внимание, что показанные здесь спектры представляют собой не частотную характеристику фильтров верхних и нижних частот, а скорее амплитуды непрерывных преобразований Фурье масштабирующей (синий) и вейвлет-функций (красный).

Ортогональные вейвлеты Добеши D2–D20 соответственно. db1–db10 обычно используются. Каждый вейвлет имеет количество нулевых моментов или исчезающих моментов, равное половине количества коэффициентов. Например, D2 имеет один исчезающий момент, D4 — два и т. д. Исчезающий момент ограничивает способность вейвлетов представлять полиномиальное поведение или информацию в сигнале. Например, D2 с одним исчезающим моментом легко кодирует полиномы с одним коэффициентом или постоянные составляющие сигнала. D4 кодирует полиномы с двумя коэффициентами, т.е. постоянными и линейными компонентами сигнала; и D6 кодирует 3-полиномы, т.е. постоянные, линейные и квадратичные компоненты сигнала. Эта способность кодировать сигналы, тем не менее, зависит от явления утечки масштаба и отсутствия инвариантности к сдвигу, которые возникают из-за операции дискретного сдвига (ниже) во время применения преобразования. Подпоследовательности, которые представляют линейные, квадратичные (например) компоненты сигнала, обрабатываются преобразованием по-разному в зависимости от того, совпадают ли точки с четными или нечетными местоположениями в последовательности. Отсутствие важного свойства инвариантность к сдвигу , привела к разработке нескольких различных версий инвариантного к сдвигу (дискретного) вейвлет-преобразования .

Строительство

И масштабирующая последовательность (фильтр нижних частот), и вейвлет-последовательность (полосовой фильтр) (подробности этой конструкции см. в разделе «Ортогональный вейвлет ») будут нормализованы так, чтобы иметь сумму, равную 2, и сумму квадратов, равную 2. В некоторых приложениях они нормализованы, чтобы иметь сумму ${\sqrt {2}}$, так что обе последовательности и все их сдвиги на четное число коэффициентов ортонормированы друг к другу.

Используя общее представление масштабирующей последовательности ортогонального дискретного вейвлет-преобразования с порядком аппроксимации A ,

$a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z),$

с N = 2 A , p с действительными коэффициентами, p (1) = 1 и deg( p ) = A − 1, можно записать условие ортогональности как

$a(Z)a\left(Z^{-1}\right)+a(-Z)a\left(-Z^{-1}\right)=4,$

или так же, как

$(2-X)^{A}P(X)+X^{A}P(2-X)=2^{A}\qquad (*),$

с полиномом Лорана

$X:={\frac {1}{2}}\left(2-Z-Z^{-1}\right)$

генерация всех симметричных последовательностей и $X(-Z)=2-X(Z).$ Далее, P ( X ) обозначает симметричный полином Лорана

$P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right).$

С

$X(e^{iw})=1-\cos(w)$

$p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}$

P принимает неотрицательные значения на отрезке [0,2].

Уравнение (*) имеет одно минимальное решение для каждого A , которое можно получить делением в кольце усеченных степенных рядов по X ,

$P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}{\binom {A+k-1}{A-1}}2^{-k}X^{k}.$

Очевидно, это имеет положительные значения на (0,2).

Однородное уравнение для (*) антисимметрично относительно X = 1 и, следовательно, имеет общее решение

$X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right),$

с R некоторый полином с действительными коэффициентами. что сумма

$P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right)$

должно быть неотрицательным на интервале [0,2] преобразуется в набор линейных ограничений на коэффициенты R . Значения P на интервале [0,2] ограничены некоторой величиной $4^{A-r},$ максимизация r приводит к созданию линейной программы с бесконечным количеством условий неравенства.

Решить

$P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right)$

для p используется метод, называемый спектральной факторизацией, соответственно. Алгоритм Фейера-Рисса. Полином P ( X ) распадается на линейные множители

$P(X)=(X-\mu _{1})\cdots (X-\mu _{N}),\qquad N=A+1+2\deg(R).$

Каждый линейный фактор представляет собой полином Лорана.

$X(Z)-\mu =-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}$

это можно разложить на два линейных фактора. ) любой из двух линейных множителей Можно присвоить p ( Z , таким образом получается 2 ^Н возможные решения. В качестве экстремальной фазы выбирают ту, которая имеет все комплексные корни из p ( Z ) внутри или на единичной окружности и, таким образом, является вещественной.

Для вейвлет-преобразования Добеши используется пара линейных фильтров. Каждый фильтр пары должен быть квадратурным зеркальным фильтром . Решение коэффициента линейного фильтра $c_{i}$ использование свойства фильтра квадратурного зеркала приводит к следующему решению для значений коэффициентов для фильтра порядка 4.

$c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}.$

Масштабирующие последовательности

Ниже приведены коэффициенты масштабирующих функций для D2-20. Коэффициенты вейвлета получаются путем изменения порядка коэффициентов масштабирующей функции и последующего изменения знака каждого второго из них (т. е. вейвлета D4 $\approx$ {−0,1830127, −0,3169873, 1,1830127, −0,6830127}). Математически это выглядит так $b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}$ где k — индекс коэффициента, b — коэффициент вейвлет-последовательности и a — коэффициент масштабирующей последовательности. N — индекс вейвлета, т.е. 2 для D2.

Ортогональные коэффициенты Добеши (нормированные на сумму 2)

D2 ( Волосы )	Д4	Д6	Д8	Д10	Д12	Д14	Д16	Д18	Д20
1	0.6830127	0.47046721	0.32580343	0.22641898	0.15774243	0.11009943	0.07695562	0.05385035	0.03771716
1	1.1830127	1.14111692	1.01094572	0.85394354	0.69950381	0.56079128	0.44246725	0.34483430	0.26612218
	0.3169873	0.650365	0.89220014	1.02432694	1.06226376	1.03114849	0.95548615	0.85534906	0.74557507
	−0.1830127	−0.19093442	−0.03957503	0.19576696	0.44583132	0.66437248	0.82781653	0.92954571	0.97362811
		−0.12083221	−0.26450717	−0.34265671	−0.31998660	−0.20351382	−0.02238574	0.18836955	0.39763774
		0.0498175	0.0436163	−0.04560113	−0.18351806	−0.31683501	−0.40165863	−0.41475176	−0.35333620
			0.0465036	0.10970265	0.13788809	0.1008467	6.68194092 × 10 −4	−0.13695355	−0.27710988
			−0.01498699	−0.00882680	0.03892321	0.11400345	0.18207636	0.21006834	0.18012745
				−0.01779187	−0.04466375	−0.05378245	−0.02456390	0.043452675	0.13160299
				4.71742793 × 10 −3	7.83251152 × 10 −4	−0.02343994	−0.06235021	−0.09564726	−0.10096657
					6.75606236 × 10 −3	0.01774979	0.01977216	3.54892813 × 10 −4	−0.04165925
					−1.52353381 × 10 −3	6.07514995 × 10 −4	0.01236884	0.03162417	0.04696981
						−2.54790472 × 10 −3	−6.88771926 × 10 −3	−6.67962023 × 10 −3	5.10043697 × 10 −3
						5.00226853 × 10 −4	−5.54004549 × 10 −4	−6.05496058 × 10 −3	−0.01517900
							9.55229711 × 10 −4	2.61296728 × 10 −3	1.97332536 × 10 −3
							−1.66137261 × 10 −4	3.25814671 × 10 −4	2.81768659 × 10 −3
								−3.56329759 × 10 −4	−9.69947840 × 10 −4
								5.5645514 × 10 −5	−1.64709006 × 10 −4
									1.32354367 × 10 −4
									−1.875841 × 10 −5

Части конструкции также используются для получения биортогональных вейвлетов Коэна – Добеши – Фово (CDF).

Реализация

Хотя программное обеспечение, такое как Mathematica, напрямую поддерживает вейвлеты Добеши, базовая реализация возможна в MATLAB (в данном случае Добеши 4). Эта реализация использует периодизацию для решения проблемы сигналов конечной длины. Доступны и другие, более сложные методы, но часто в их использовании нет необходимости, поскольку они влияют только на самые концы преобразованного сигнала. Периодизация выполняется в прямом преобразовании непосредственно в векторной записи MATLAB, а обратном преобразовании - с использованием circshift() функция:

Трансформация, D4

Предполагается, что S , вектор-столбец с четным числом элементов, был заранее определен как анализируемый сигнал. Обратите внимание, что коэффициенты D4 равны [1 + √ 3 , 3 + √ 3 , 3 − √ 3 , 1 − √ 3 ]/4.

N = length(S);
sqrt3 = sqrt(3);
s_odd = S(1:2:N-1);
s_even = S(2:2:N);

s = (sqrt3+1)*s_odd + (3+sqrt3)*s_even + (3-sqrt3)*[s_odd(2:N/2);s_odd(1)] + (1-sqrt3)*[s_even(2:N/2);s_even(1)];
d = (1-sqrt3)*[s_odd(N/2);s_odd(1:N/2-1)] + (sqrt3-3)*[s_even(N/2);s_even(1:N/2-1)] + (3+sqrt3)*s_odd + (-1-sqrt3)*s_even
s = s / (4*sqrt(2));
d = d / (4*sqrt(2));

Обратное преобразование, D4

d1 = d * ((sqrt(3) - 1) / sqrt(2));
s2 = s * ((sqrt(3) + 1) / sqrt(2));
s1 = s2 + circshift(d1, - 1);
S(2:2:N) = d1 + sqrt(3) / 4 * s1 + (sqrt(3) - 2) / 4 * circshift(s1, 1);
S(1:2:N - 1) = s1 - sqrt(3) * S(2:2:N);

Биномиальный-QMF

показал В 1990 году Али Акансу , что биномиальный банк квадратурных зеркальных фильтров (биномиальный QMF) идентичен вейвлет-фильтру Добеши, и его характеристики были причислены к числу известных подпространственных решений с точки зрения обработки сигналов в дискретном времени. Это было расширение предыдущей работы по биномиальным коэффициентам и полиномам Эрмита , которое привело к разработке Модифицированного преобразования Эрмита (MHT) в 1987 году. Квадратные функции биномиальных фильтров QMF представляют собой уникальные максимально плоские функции в формулировке двухполосной идеальной реконструкции QMF (PR-QMF), которая связана с регулярностью вейвлета в непрерывной области.

Приложения

• Применение вейвлет-преобразования Добеши в качестве схемы водяных знаков доказало свою эффективность. Этот подход работает в эффективной частотной области с различным разрешением, что позволяет включать зашифрованный цифровой логотип в формате QR-кодов.

• Вейвлет-приближение Добеши можно использовать для анализа поведения трещины Гриффитса при распространении нелокальной магнитоупругой волны горизонтального сдвига (SH) внутри бесконечно длинной однородной изотропной полосы конечной толщины.

• Кепстральные коэффициенты вейвлета Добеши могут быть полезны в контексте обнаружения болезни Паркинсона. Вейвлеты Добеши, известные своим эффективным анализом с несколькими разрешениями, используются для извлечения кепстральных характеристик из данных голосового сигнала. Эти вейвлет-коэффициенты могут выступать в качестве отличительных признаков для точного выявления закономерностей, указывающих на болезнь Паркинсона, предлагая новый подход к диагностическим методологиям.

• Когда дело доходит до анализа и обнаружения внебольничной пневмонии (ВП), комплексные вейвлеты Добеши можно использовать для выявления сложных деталей пораженных ВП областей в инфицированных легких для получения точных результатов.

• Задача эластогидродинамической смазки предполагает исследование режимов смазки, при которых деформация контактирующих поверхностей существенно влияет на смазочную пленку. Вейвлеты Добеши могут решить проблемы, связанные с точным моделированием таких сложных явлений смазки. Вейвлеты Добеши позволяют более детально и точно исследовать взаимодействие между смазкой и контактирующими поверхностями.

• Daubechies Wavelet может извлекать сложные детали и характеристики из виброакустических сигналов, предлагая комплексный диагностический подход для оценки состояния и производительности дизельных двигателей зерноуборочных комбайнов. Вейвлет-спектр Добеши служит мощным аналитическим инструментом, позволяющим исследователям выявлять закономерности, аномалии и характерные признаки сигналов, связанных с различными состояниями двигателя. Этот подробный спектральный анализ помогает повысить точность диагностических оценок, позволяя более детально понять вибрационные и акустические характеристики, указывающие на исправность двигателя или потенциальные проблемы.

• На практике вейвлеты Добеши облегчают точное исследование временных и пространственных характеристик динамических волн в упругих материалах. Этот подход позволяет более детально понять, как упругие твердые тела реагируют на изменяющиеся динамические условия с течением времени. Интеграция вейвлетов Добеши в метод конечных вейвлет-областей, вероятно, способствует созданию более универсальной и надежной аналитической основы для изучения переходных динамических волн в упругих твердых телах.

• Задачу брахистохроны можно сформулировать и выразить как вариационную задачу, подчеркивая важность поиска оптимальной кривой, минимизирующей время спуска. Вводя вейвлеты Добеши в математическую структуру, функции масштабирования, связанные с этими вейвлетами, могут построить аппроксимацию оптимальной кривой. Вейвлеты Добеши с их способностью улавливать как высокочастотные, так и низкочастотные компоненты функции играют важную роль в достижении детального представления кривой брахистохроны.

См. также

• Быстрое вейвлет-преобразование

Внешние ссылки

• Ингрид Добеши: Десять лекций по вейвлетам , SIAM, 1992.
• Учеб. 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам, поддиапазонам и преобразованиям, апрель 1990 г.
• Акансу, Али Н.; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN  978-0-12-047141-6
• А. Н. Акансу, Банки фильтров и вейвлеты в обработке сигналов: критический обзор , Учеб. Видеосвязь SPIE и PACS для медицинских приложений (приглашенный доклад), стр. 330-341, том. 1977, Берлин, октябрь 1993.
• Карлос Кабрелли, Урсула Молтер : «Обобщенное самоподобие», Журнал математического анализа и приложений , 230: 251–260, 1999.
• Аппаратная реализация вейвлетов
• «Вейвлеты Добеши» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] .
• И. Каплан, Вейвлет-преобразование Добеши D4 .
• Дженсен; ла Кур-Арбо (2001). Пульсации в математике . Берлин: Шпрингер. стр. 157–160. ISBN  3-540-41662-5 . Архивировано из оригинала 2 декабря 2008 г. Проверено 10 декабря 2008 г.
• Цзяньхун (Джеки) Шен и Гилберт Странг , Прикладной и вычислительный гармонический анализ , 5 (3), Асимптотика фильтров Добеши, масштабирующие функции и вейвлеты .