Ортогональный вейвлет

Ортогональный вейвлет — это вейвлет связанное с ним вейвлет-преобразование ортогонально . , То есть обратное вейвлет-преобразование является сопряженным вейвлет-преобразованием.Если это условие ослабить, можно получить биортогональные вейвлеты .

Основы

Функция масштабирования является масштабирующей функцией .То есть это фрактальное функциональное уравнение , называемое уравнением уточнения ( отношение двойного масштаба или уравнение расширения ):

\phi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}a_{k}\phi (2x-k)

,

где последовательность $(a_{0},\dots ,a_{N-1})$ действительных чисел называется масштабирующей последовательностью или масштабирующей маской.Собственно вейвлет получается аналогичной линейной комбинацией:

\psi (x)=\sum _{k=0}^{M-1}b_{k}\phi (2x-k)

,

где последовательность $(b_{0},\dots ,b_{M-1})$ действительных чисел называется вейвлет-последовательностью или вейвлет-маской.

Необходимым условием ортогональности вейвлетов является то, что масштабирующая последовательность ортогональна любым ее сдвигам на четное число коэффициентов:

\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}a_{n+2m}=2\delta _{m,0}

,

где $\delta _{m,n}$ это дельта Кронекера .

В этом случае в масштабировании используется то же число M=N коэффициентов, что и в вейвлет-последовательности, вейвлет-последовательность можно определить как $b_{n}=(-1)^{n}a_{N-1-n}$ . В некоторых случаях выбирается противоположный знак.

Исчезающие моменты, полиномиальная аппроксимация и гладкость

Необходимым условием существования решения уточняющего уравнения является то, что существует целое положительное число A такое, что (см. Z-преобразование ):

(1+Z)^{A}|a(Z):=a_{0}+a_{1}Z+\dots +a_{N-1}Z^{N-1}.

Максимально возможная мощность A называется полиномиальным порядком аппроксимации (или pol. app. power) или числом исчезающих моментов . Он описывает способность представлять полиномы до степени A -1 с помощью линейных комбинаций целочисленных преобразований масштабирующей функции.

В биортогональном случае порядок A аппроксимации $\phi$ соответствует исчезающим моментам двойного вейвлета ${\tilde {\psi }}$ , то есть произведения скалярные ${\tilde {\psi }}$ с любым многочленом до степени A-1 равны нулю. В противоположном направлении порядок Ã аппроксимации ${\tilde {\phi }}$ эквивалентно Ã исчезающим моментам $\psi$ . В ортогональном случае A и Ã совпадают.

Достаточным условием существования масштабирующей функции является следующее: если разложить $a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z)$ и оценка

1\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}\left|p(e^{it})\right|<2^{A-1-n},

держится для некоторых $n\in \mathbb {N}$ , то уточняющее уравнение имеет n раз непрерывно дифференцируемое решение с компактным носителем.

Примеры

Предполагать $p(Z)=1$ затем $a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}$ , и оценка справедлива для n = A -2. Решениями являются B-сплайны Шёнберга порядка A -1, где ( A -1)-я производная кусочно-постоянна, поэтому ( A -2)-я производная липшицево-непрерывна . A =1 соответствует индексной функции единичного интервала.