Уточняемая функция

В математике , в области вейвлет -анализа, уточняющая функция — это функция, которая удовлетворяет некоторому самоподобию . Функция $\varphi$ называется уточняемым по маске $h$ если

$\varphi (x)=2\cdot \sum _{k=0}^{N-1}h_{k}\cdot \varphi (2\cdot x-k)$

Это условие называется уравнением уточнения , уравнением расширения или уравнением двух масштабов .

Использование свертки (обозначенной звездочкой *) функции с дискретной маской и оператора расширения $D$ можно написать более кратко:

$\varphi =2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )$

Это означает, что функция снова будет получена, если вы свернете функцию с дискретной маской, а затем уменьшите ее.Существует сходство с итерированными системами функций и кривыми де Рама .

Оператор $\varphi \mapsto 2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )$ является линейным.Уточняющая функция является собственной функцией этого оператора.Его абсолютное значение не определено однозначно.То есть, если $\varphi$ является уточняющей функцией,тогда для каждого $c$ функция $c\cdot \varphi$ тоже поддается переработке.

Эти функции играют фундаментальную роль в вейвлетов теории как масштабирующие функции .

Характеристики

Значения в целых точках

Уточняющая функция определяется только неявно.Также может случиться так, что существует несколько функций, которые можно уточнить относительно одной и той же маски.Если $\varphi$ должен иметь конечную поддержкуи нужны значения функции в целочисленных аргументах,тогда двухмасштабное уравнение превращается в систему одновременных линейных уравнений .

Позволять $a$ быть минимальным индексом и $b$ быть максимальным индексомненулевых элементов $h$, то получается $${\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.$$

Используя оператор дискретизации , назовите его $Q$ здесь и передаточная матрица $h$, по имени $T_{h}$, это можно кратко записать как $$Q\varphi =T_{h}Q\varphi .$$

Это снова уравнение с фиксированной точкой . Но теперь эту задачу можно рассматривать как проблему собственных векторов и собственных значений . То есть масштабирующая функция с конечным носителем существует только (но не обязательно), если $T_{h}$ имеет собственное значение 1.

Значения в диадических точках

Из значений в целых точках можно получить значения в диадических точках,т.е. точки вида $k\cdot 2^{-j}$, с $k\in \mathbb {Z}$ и $j\in \mathbb {N}$.

$\varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi ))$

$D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi )$

$Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )$

Звездочка обозначает свертку дискретного фильтра с функцией.На этом шаге вы можете вычислить значения в точках формы ${\frac {k}{2}}$.Путем многократной замены $\varphi$ к $D_{2}\varphi$ вы получаете значения во всех более тонких масштабах.

$$Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q(D_{2^{j}}\varphi ))$$

Свертка

Если $\varphi$ уточняется относительно $h$, и $\psi$ уточняется относительно $g$, затем $\varphi *\psi$ уточняется относительно $h*g$.

Дифференциация

Если $\varphi$ уточняется относительно $h$,и производная $\varphi '$ существует, то $\varphi '$ уточняется относительно $2\cdot h$.Это можно интерпретировать как частный случай свойства свертки, когда один из операндов свертки является производной импульса Дирака .

Интеграция

Если $\varphi$ уточняется относительно $h$, и существует первообразная $\Phi$ с ${\textstyle \Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$, то первообразная $t\mapsto \Phi (t)+c$ уточняется относительно маски ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$ где константа $c$ должен выполнить ${\textstyle c\cdot \left(1-\sum _{j}h_{j}\right)=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$.

Если $\varphi$ имеет ограниченную поддержку ,тогда мы можем интерпретировать интегрирование как свертку с функцией Хевисайда и применить закон свертки.

Скалярные произведения

Вычисление скалярных произведений двух масштабируемых функций и их преобразований можно разбить на два вышеуказанных свойства.Позволять $T$ быть оператором перевода. Он держит $$\langle \varphi ,T_{k}\psi \rangle =\langle \varphi *\psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)$$где $\psi ^{*}$ является сопряжением ​ $\psi$ относительно свертки , т. е. $\psi ^{*}$ представляет собой перевернутую и комплексно-сопряженную версию $\psi$, то есть, $\psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}$.

Благодаря вышеуказанному свойству, $\varphi *\psi ^{*}$ уточняется относительно $h*g^{*}$,и его значения целых аргументов могут быть вычислены как собственные векторы матрицы переноса.Эту идею можно легко обобщить на интегралы от произведений более чем двух масштабирующих функций.

Гладкость

Масштабирующая функция обычно имеет фрактальную форму.Разработка непрерывных или гладких масштабируемых функций не очевидна.Прежде чем заняться форсированием гладкости, необходимо измерить гладкость масштабируемых функций.Использование машины Виллемоэса можно вычислить гладкость масштабирующих функций в терминах показателей Соболева .

На первом этапе маска уточнения $h$ делится на фильтр $b$, который представляет собой степень коэффициента гладкости $(1,1)$ (это биномиальная маска) и отдых $q$.Грубо говоря, биномиальная маска $b$ придает гладкость и $q$ представляет собой фрактальную составляющую, которая снова снижает гладкость.Теперь показатель Соболева примерно равенпорядок $b$ минус логарифм спектрального радиуса ​ $T_{q*q^{*}}$.

Обобщение

Понятие масштабируемых функций можно обобщить на функции более чем одной переменной.то есть функции из $\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$.Самое простое обобщение касается тензорных произведений .Если $\varphi$ и $\psi$ уточняются относительно $h$ и $g$, соответственно, тогда $\varphi \otimes \psi$уточняется относительно $h\otimes g$.

Эту схему можно еще больше обобщить на различные коэффициенты масштабирования по отношению к разным измерениям или даже на смешивание данных между измерениями. Вместо масштабирования по скалярному коэффициенту, например 2, координаты сигнала преобразуются матрицей. $M$ целых чисел.Чтобы схема работала, абсолютные значения всех собственных значений $M$ должно быть больше единицы.(Может быть, достаточно и того, что $\left|\det M\right|>1$.)

Формально двухмасштабное уравнение не сильно меняется: $$\varphi (x)=\left|\det M\right|\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot x-k)$$$$\varphi =\left|\det M\right|\cdot D_{M^{-1}}(h*\varphi )$$

Примеры

• Если определение распространить на распределения , то импульс Дирака уточняется относительно единичного вектора $\delta$, которая известна как дельта Кронекера . $n$-я производная распределения Дирака уточняется по $2^{n}\cdot \delta$.
• Функция Хевисайда уточняется по отношению к ${\frac {1}{2}}\cdot \delta$.
• Усеченные степенные функции с показателем $n$ уточняются относительно ${\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot \delta$.
• Треугольная функция является масштабирующей функцией. B-сплайн- функции с последовательными целыми узлами можно масштабировать из-за теоремы о свертке и масштабируемости характеристической функции для интервала $[0,1)$ ( функция товарного вагона ).
• Все полиномиальные функции масштабируемы. Для каждой уточняющей маски существует полином, однозначно определенный с точностью до постоянного множителя. Для каждого многочлена степени $n$ существует множество масок уточнения, все из которых отличаются маской типа $v*(1,-1)^{n+1}$ для любой маски $v$ и сверточная сила $(1,-1)^{n+1}$.
• функция Рациональная $\varphi$ является уточняемым тогда и только тогда, когда его можно представить с помощью простейших дробей как $\varphi (x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}$, где $k$ является положительным натуральным числом и $s$ — действительная последовательность с конечным числом ненулевых элементов ( многочлен Лорана ) такая, что $s|(s\uparrow 2)$ (читать: $\exists h(z)\in \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})$). Полином Лорана $2^{k-1}\cdot h$ — соответствующая маска уточнения.

См. также

• Схема подразделения