Матрица переноса

В прикладной математике представляет трансфер-матрица собой формулировку в терминах блочно-теплицевой матрицы двухмасштабного уравнения, характеризующего масштабирующие функции . Масштабирующие функции играют важную роль в теории вейвлетов и теории конечных элементов .

Для маски $h$ , который представляет собой вектор с индексами компонентов из $a$ к $b$ ,передаточная матрица $h$ , мы называем это $T_{h}$ здесь определяется как

(T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.

Более многословно

T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.

Эффект $T_{h}$ может быть выражено через оператор понижающей дискретизации " $\downarrow$ ":

T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.

Характеристики

$T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h$ .
Если вы отбросите первый и последний столбцы и переместите столбцы с нечетными индексами влево, а столбцы с четными индексами — вправо, вы получите транспонированную матрицу Сильвестра .
Определитель матрицы переноса по сути является результантом.
Точнее:
Позволять $h_{\mathrm {e} }$ быть четными коэффициентами $h$ ( $(h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}$ ) и пусть $h_{\mathrm {o} }$ быть нечетными коэффициентами $h$ ( $(h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}$ ).
Затем $\det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })$ , где $\mathrm {res}$ является результатом .
Это соединение позволяет производить быстрые вычисления с использованием алгоритма Евклида .
Для следа матрицы переноса свернутых масок имеет место
$\mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}$
Для определителя передаточной матрицы свернутой маски имеет место
$\det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)$
где $g_{-}$ обозначает маску с чередующимися знаками, т.е. $(g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_{k}$ .
Если $T_{h}\cdot x=0$ , затем $T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0$ .
Это конкретизация детерминантного свойства, описанного выше. Из детерминантного свойства известно, что $T_{g*h}$ имеет единственное число всякий раз, когда $T_{h}$ является единственным. Это свойство также сообщает, как векторы из нулевого пространства $T_{h}$ могут быть преобразованы в нулевые пространственные векторы $T_{g*h}$ .
Если $x$ является собственным вектором $T_{h}$ относительно собственного значения $\lambda$ , то есть
$T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x$ ,
затем $x*(1,-1)$ является собственным вектором $T_{h*(1,1)}$ относительно одного и того же собственного значения, т.е.
$T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))$ .
Позволять $\lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}$ быть собственными значениями $T_{h}$ , что подразумевает $\lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}$ и вообще $\lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n})$ . Эта сумма полезна для оценки спектрального радиуса $T_{h}$ . Существует альтернативная возможность вычисления суммы степеней собственных значений, которая быстрее при малых значениях. $n$ .
Позволять $C_{k}h$ быть периодизацией $h$ относительно периода $2^{k}-1$ . То есть $C_{k}h$ является круговым фильтром, что означает, что индексы компонентов являются классами вычетов по модулю $2^{k}-1$ . Затем с помощью повышения дискретизации оператора $\uparrow$ оно держится
$\mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}$
На самом деле нет $n-2$ свертки нужны, но только $2\cdot \log _{2}n$ при применении стратегии эффективного вычисления степеней. Еще больше этот подход можно ускорить с помощью быстрого преобразования Фурье .
Из предыдущего утверждения мы можем получить оценку радиуса спектрального $\varrho (T_{h})$ . Он держит
$\varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}$
где $\#h$ - размер фильтра, и если все собственные значения действительны, также верно, что
$\varrho (T_{h})\leq a$ ,
где $a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}$ .

См. также

определитель Гурвица

Ссылки

Стрэнг, Гилберт (1996). «Собственные значения $(\downarrow 2){H}$ и сходимость каскадного алгоритма». IEEE Transactions on Signal Processing . 44 : 233–238. doi : 10.1109/78.485920 .
Тилеманн, Хеннинг (2006). Оптимально согласованные вейвлеты (кандидатская диссертация). (содержит доказательства вышеуказанных свойств)