Метод конечных элементов

«Конечный элемент» перенаправляется сюда. Для элементов частичного набора см. компактный элемент .

Визуализация того, как автомобиль деформируется при асимметричном столкновении, с помощью анализа методом конечных элементов.

Метод конечных элементов ( МКЭ ) — популярный метод численного решения дифференциальных уравнений, возникающих в инженерном и математическом моделировании . Типичные проблемные области, представляющие интерес, включают традиционные области структурного анализа , теплопередачу , поток жидкости , массоперенос и электромагнитный потенциал .

МКЭ — это общий численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. е. некоторых краевых задач ). Чтобы решить проблему, МКЭ делит большую систему на более мелкие и простые части, называемые конечными элементами . Это достигается за счет особой дискретизации пространства по размерностям, которая реализуется путем построения сетки объекта — числовой области решения, имеющей конечное число точек. Формулировка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию в области определения. Простые уравнения, моделирующие эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, моделирующую всю проблему. Затем FEM аппроксимирует решение, минимизируя соответствующую функцию ошибок с помощью вариационного исчисления .

Изучение или анализ явления с помощью FEM часто называют анализом конечных элементов ( FEA ).

Основные понятия

FEM, Сетка созданная аналитиком перед поиском решения магнитной проблемы с помощью программного обеспечения FEM. Цвета указывают на то, что аналитик установил свойства материала для каждой зоны, в данном случае катушка проводящего провода оранжевого цвета; ферромагнитный железо компонент (возможно, ) светло-голубого цвета; и воздух серого цвета. Хотя геометрия может показаться простой, было бы очень сложно рассчитать магнитное поле для этой установки без программного обеспечения FEM, используя только уравнения .

Решение проблемы слева с помощью метода конечных элементов (FEM) с использованием цилиндрической формы магнитного экрана . Ферромагнитная создаваемое цилиндрическая часть экранирует область внутри цилиндра, отклоняя магнитное поле, катушкой (прямоугольная область справа). Цвет представляет амплитуду плотности магнитного потока , как указано на шкале во вставке в легенде, красный цвет соответствует высокой амплитуде. Область внутри цилиндра имеет низкую амплитуду (темно-синяя, с широко расположенными линиями магнитного потока), что позволяет предположить, что экран работает так, как задумано.

Разделение целой области на более простые части имеет ряд преимуществ:

• Точное представление сложной геометрии
• Включение разнородных свойств материала
• Простое представление общего решения
• Улавливание локальных эффектов.

Типичная реализация метода включает в себя:

1. разделение области задачи на набор подобластей, причем каждая подобласть представлена ​​набором уравнений элементов исходной задачи
2. систематическое рекомбинирование всех наборов уравнений элементов в глобальную систему уравнений для окончательного расчета.

Глобальная система уравнений имеет известные методы решения и может быть рассчитана на основе начальных значений исходной задачи для получения численного ответа.

На первом этапе, описанном выше, уравнения элементов представляют собой простые уравнения, которые локально аппроксимируют исходные сложные уравнения, подлежащие изучению, причем исходные уравнения часто представляют собой уравнения в частных производных (УЧП). Чтобы объяснить аппроксимацию в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . На математическом языке этот процесс заключается в построении интеграла скалярного произведения невязки и весовых функций и установке интеграла равным нулю. Проще говоря, это процедура, которая минимизирует ошибку аппроксимации путем встраивания пробных функций в УЧП. Остаток — это ошибка, вызванная пробными функциями, а весовые функции — это функции полиномиальной аппроксимации, которые проецируют невязку. Этот процесс исключает все пространственные производные из УЧП, тем самым локально аппроксимируя УЧП с помощью

• набор алгебраических уравнений для стационарных задач,
• набор обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач.

Эти наборы уравнений являются уравнениями элементов. Они линейны, если лежащее в их основе УЧП линейное, и наоборот. Системы алгебраических уравнений, возникающие в стационарных задачах, решаются численными методами линейной алгебры . Напротив, системы обыкновенных дифференциальных уравнений , возникающие в переходных задачах, решаются путем численного интегрирования с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера или метод Рунге-Кутты .

На этапе (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов путем преобразования координат из локальных узлов поддоменов в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает в себя соответствующие корректировки ориентации , применяемые по отношению к базовой системе координат . Этот процесс часто выполняется с помощью программного обеспечения FEM с использованием данных координат , сгенерированных из поддоменов.

Практическое применение FEM известно как анализ конечных элементов (FEA). FEA, применяемый в технике , представляет собой вычислительный инструмент для выполнения инженерного анализа . Он включает в себя использование методов создания сетки для разделения сложной задачи на мелкие элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA сложная проблема обычно представляет собой физическую систему с базовой физикой, такой как уравнение балки Эйлера-Бернулли , уравнение теплопроводности или уравнения Навье-Стокса, выраженные либо в PDE, либо в интегральных уравнениях , в то время как разделенные малые элементы Сложная задача представляет собой различные области физической системы.

FEA может использоваться для анализа задач в сложных областях (например, автомобили и нефтепроводы), когда область изменяется (например, во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность варьируется по всей области или когда решение отсутствует. гладкость. Моделирование FEA представляет собой ценный ресурс, поскольку устраняет многочисленные случаи создания и тестирования сложных прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и снизить ее в задней части (таким образом снижая стоимость моделирования). Другим примером может служить численный прогноз погоды , где более важно иметь точные прогнозы развития сильно нелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных областей.

Четкое, подробное и практическое изложение этого подхода можно найти в учебнике «Метод конечных элементов для инженеров» .

История

Хотя трудно указать дату изобретения метода конечных элементов, этот метод возник из-за необходимости решения сложных задач упругости и структурного анализа в гражданской и авиационной технике . Его развитие можно проследить до работы Александра Хренникова. и Ришар Курант в начале 1940-х годов. Другим пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР внедрение метода в практику обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна . Он также был независимо переоткрыт в Китае Фэн Кангом в конце 1950-х и начале 1960-х годов на основе расчетов конструкций плотин, где он был назван методом конечных разностей, основанным на вариационном принципе . Хотя подходы, используемые этими пионерами, различны, у них есть одна важная характеристика: сетки дискретизация непрерывной области на набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Хренникова дискретизирует область, используя аналогию с решеткой подход Куранта делит область на конечные треугольные подобласти для решения второго порядка эллиптических уравнений в частных производных , которые возникают из проблемы кручения цилиндра , в то время как . Вклад Куранта был эволюционным, опираясь на большой объем более ранних результатов для PDE, разработанных лордом Рэлеем , Вальтером Ритцем и Борисом Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам Дж. Х. Аргириса с сотрудниками из Штутгартского университета , Р. В. Клафа с сотрудниками из Калифорнийского университета в Беркли , О. К. Зенкевича с сотрудниками Эрнестом Хинтоном , Брюсом Айронсом. и другие из Университета Суонси , Филипп Дж. Сиарле из Парижского университета 6 и Ричард Галлахер с коллегами из Корнелльского университета . Дальнейший импульс в эти годы дали доступные программы конечных элементов с открытым исходным кодом. НАСА спонсировало оригинальную версию NASTRAN . Калифорнийский университет в Беркли разработал программы конечных элементов SAP IV и более поздние версии OpenSees широко доступны. В Норвегии общество по классификации судов Det Norske Veritas (ныне DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования при анализе судов. Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена ​​в 1973 году публикацией Гилберта Стрэнга и Джорджа Фикса . С тех пор метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных инженерных дисциплинах, например, в электромагнетизме , теплопередаче и гидродинамике .

Техническое обсуждение

Структура методов конечных элементов

Метод конечных элементов характеризуется вариационной формулировкой , стратегией дискретизации, одним или несколькими алгоритмами решения и процедурами постобработки.

Примерами вариационной постановки являются метод Галёркина , разрывный метод Галёркина, смешанные методы и т. д.

Под стратегией дискретизации понимается четко определенный набор процедур, которые охватывают (а) создание сеток конечных элементов, (б) определение базисной функции на эталонных элементах (также называемых функциями формы) и (в) отображение опорные элементы на элементы сетки. Примерами стратегий дискретизации являются h-версия, p-версия , hp-версия , x-FEM , изогеометрический анализ и т. д. Каждая стратегия дискретизации имеет определенные преимущества и недостатки. Разумным критерием выбора стратегии дискретизации является достижение почти оптимальной производительности для самого широкого набора математических моделей в конкретном классе моделей.

Различные алгоритмы численного решения можно разделить на две широкие категории; прямые и итерационные решатели. Эти алгоритмы предназначены для использования разреженности матриц, которая зависит от вариационной формулировки и выбора стратегии дискретизации.

Процедуры постобработки предназначены для извлечения интересующих данных из решения методом конечных элементов. Чтобы удовлетворить требованиям проверки решения, постпроцессоры должны обеспечивать апостериорную оценку ошибок с точки зрения интересующих величин. Когда ошибки аппроксимации превышают допустимые значения, дискретизацию необходимо изменить либо с помощью автоматизированного адаптивного процесса, либо под действием аналитика. Некоторые очень эффективные постпроцессоры обеспечивают реализацию сверхсходимости .

Иллюстративные задачи P1 и P2

Следующие две задачи демонстрируют метод конечных элементов.

P1 — одномерная задача $${\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}$$где $f$ дано, $u$ это неизвестная функция $x$, и $u''$ является второй производной от $u$ относительно $x$.

P2 — двумерная задача ( задача Дирихле ) $${\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ in }}\Omega ,\\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}$$

где $\Omega$ представляет собой связную открытую область в $(x,y)$ плоскость, граница которой $\partial \Omega$ хорошо (например, гладкое многообразие или многоугольник ), и $u_{xx}$ и $u_{yy}$ обозначим вторые производные по $x$ и $y$, соответственно.

Задачу P1 можно решить непосредственно путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (БВП) работает только при наличии одного пространственного измерения. Он не распространяется на проблемы более высокой размерности или такие проблемы, как $u+V''=f$. По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и наметим его обобщение на P2.

Наше объяснение будет состоять из двух этапов, которые отражают два основных шага, которые необходимо предпринять для решения краевой задачи (BVP) с использованием FEM.

• На первом этапе необходимо перефразировать исходный BVP в его слабой форме. Для этого шага обычно не требуется никаких вычислений. Трансформация выполняется вручную на бумаге.
• Второй шаг — дискретизация, при которой слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

После этого второго шага у нас есть конкретные формулы для большой, но конечномерной линейной задачи, решение которой приблизительно решит исходную BVP. Эта конечномерная задача затем реализуется на компьютере .

Слабая формулировка

Первым шагом является преобразование P1 и P2 в их эквивалентные слабые формулировки .

Слабая форма P1

Если $u$ решает P1, то для любой гладкой функции $v$ удовлетворяющее граничным условиям смещения, т.е. $v=0$ в $x=0$ и $x=1$, у нас есть

$$\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx.$$ ( 1 )

И наоборот, если $u$ с $u(0)=u(1)=0$ удовлетворяет (1) для любой гладкой функции $v(x)$ тогда можно показать, что это $u$ решит P1. Доказательство проще для дважды непрерывно дифференцируемых $u$ ( теорема о среднем значении ), но может быть доказана распределения и в смысле .

Определяем новый оператор или карту $\phi (u,v)$ используя интегрирование по частям в правой части (1):

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\equiv -\phi (u,v),\end{aligned}}$ ( 2 )

где мы использовали предположение, что $v(0)=v(1)=0$.

Слабая форма P2

Если мы проинтегрируем по частям, используя форму тождеств Грина , мы увидим, что если $u$ решает P2, то мы можем определить $\phi (u,v)$ для любого $v$ к $$\int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),$$

где $\nabla$ обозначает градиент и $\cdot$ обозначает скалярное произведение в двумерной плоскости. еще раз $\,\!\phi$ может быть превращен во внутренний продукт на подходящем пространстве $H_{0}^{1}(\Omega )$ однажды дифференцируемых функций $\Omega$ которые на нуле $\partial \Omega$. Мы также предположили, что $v\in H_{0}^{1}(\Omega )$ (см. пространства Соболева ). Также можно показать существование и единственность решения.

Схема доказательства существования и единственности решения.

Мы можем свободно думать о $H_{0}^{1}(0,1)$ быть абсолютно непрерывными функциями $(0,1)$ это $0$ в $x=0$ и $x=1$ (см. пространства Соболева ). Такие функции (слабо) однократно дифференцируемы, и оказывается, что симметричное билинейное отображение $\!\,\phi$ затем определяет внутренний продукт, который превращается $H_{0}^{1}(0,1)$ в гильбертово пространство (детальное доказательство нетривиально). С другой стороны, левая сторона $\int _{0}^{1}f(x)v(x)dx$ также является внутренним произведением, на этот раз в пространстве Lp $L^{2}(0,1)$. Применение теоремы о представлении Рисса для гильбертовых пространств показывает, что существует единственное $u$ решение (2) и, следовательно, P1. Это решение априори является лишь членом $H_{0}^{1}(0,1)$, но с использованием эллиптической регулярности, будет гладким, если $f$ является.

Дискретизация

Функция в $H_{0}^{1},$ с нулевыми значениями в конечных точках (синий) и кусочно-линейной аппроксимацией (красный)

P1 и P2 готовы к дискретизации, что приводит к общей подзадаче (3). Основная идея состоит в том, чтобы заменить бесконечномерную линейную задачу:

Находить $u\in H_{0}^{1}$ такой, что

$\forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv$

с конечномерной версией:

Находить $u\in V$ такой, что
$\forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int fv$ ( 3 )

где $V$ конечномерным подпространством является $H_{0}^{1}$. Существует множество возможных вариантов $V$ (одна возможность приводит к спектральному методу ). Однако мы принимаем $V$ как пространство кусочно-полиномиальных функций для метода конечных элементов.

Для проблемы P1

Берем интервал $(0,1)$, выбирать $n$ значения $x$ с $0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1$ и мы определяем $V$ к: $$V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\text{, and }}v(0)=v(1)=0\}$$

где мы определяем $x_{0}=0$ и $x_{n+1}=1$. Обратите внимание, что функции в $V$ не дифференцируемы согласно элементарному определению исчисления. Действительно, если $v\in V$ то производная обычно вообще не определена $x=x_{k}$, $k=1,\ldots ,n$. Однако производная существует при любом другом значении $x$, и эту производную можно использовать для интегрирования по частям .

Кусочно-линейная функция в двух измерениях

Для проблемы P2

Нам нужен $V$ быть набором функций $\Omega$. На рисунке справа мы проиллюстрировали триангуляцию 15 -сторонней многоугольной области. $\Omega$ в плоскости (внизу) и кусочно-линейную функцию (вверху, в цвете) этого многоугольника, линейную на каждом треугольнике триангуляции; пространство $V$ будет состоять из функций, линейных в каждом треугольнике выбранной триангуляции.

Можно надеяться, что по мере того, как базовая треугольная сетка становится все более мелкой, решение дискретной задачи (3) в некотором смысле будет сходиться к решению исходной краевой задачи P2. Чтобы измерить тонкость сетки, триангуляция индексируется параметром с действительным значением. $h>0$ который считается очень малым. Этот параметр будет связан с наибольшим или средним размером треугольника в триангуляции. При уточнении триангуляции пространство кусочно-линейных функций $V$ также должен измениться с $h$. По этой причине часто читают $V_{h}$ вместо $V$ в литературе. Поскольку мы не проводим такого анализа, мы не будем использовать эти обозначения.

Выбор основы

Интерполяция функции Бесселя

16 масштабированных и сдвинутых треугольных базисных функций (цвета), используемых для восстановления функции Бесселя нулевого порядка J ₀ (черный)

Линейная комбинация базисных функций (желтый цвет) воспроизводит J ₀ (черный) с любой желаемой точностью.

Для завершения дискретизации необходимо базис выбрать $V$. В одномерном случае для каждой контрольной точки $x_{k}$ мы выберем кусочно-линейную функцию $v_{k}$ в $V$ чья ценность $1$ в $x_{k}$ и ноль в каждом $x_{j},\;j\neq k$, то есть, $$v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}$$

для $k=1,\dots ,n$; этот базис представляет собой сдвинутую и масштабированную палаточную функцию . Для двумерного случая мы снова выбираем одну базисную функцию $v_{k}$ за вершину $x_{k}$ триангуляции плоской области $\Omega$. Функция $v_{k}$ это уникальная функция $V$ чья ценность $1$ в $x_{k}$ и ноль в каждом $x_{j},\;j\neq k$.

В зависимости от автора, слово «элемент» в «методе конечных элементов» относится к треугольникам области, кусочно-линейной базисной функции или к тому и другому. Так, например, автор, интересующийся изогнутыми областями, может заменить треугольники изогнутыми примитивами и таким образом описать элементы как криволинейные. С другой стороны, некоторые авторы заменяют «кусочно-линейный» на «кусочно-квадратичный» или даже «кусочно-полиномиальный». Тогда автор мог бы сказать «элемент более высокого порядка» вместо «полином более высокой степени». Метод конечных элементов не ограничивается треугольниками (тетраэдрами в трехмерных симплексах или симплексах более высокого порядка в многомерных пространствах). Тем не менее, его можно определить на четырехугольных подобластях (шестигранниках, призмах или трехмерных пирамидах и т. д.). Формы более высокого порядка (криволинейные элементы) могут определяться полиномиальными и даже неполиномиальными формами (например, эллипсом или кругом).

Примерами методов, использующих кусочно-полиномиальные базисные функции более высокой степени, являются hp-FEM и спектральные FEM .

В более продвинутых реализациях (адаптивные методы конечных элементов) используется метод оценки качества результатов (основанный на теории оценки ошибок) и изменение сетки во время решения с целью достижения приближенного решения в некоторых пределах от точного решения непрерывной задачи. . Адаптивность сетки может использовать различные методы; наиболее популярными являются:

• движущиеся узлы (r-адаптивность)
• перерабатывающие (и неочищенные) элементы (h-адаптивность)
• изменение порядка базовых функций (p-адаптивность)
• комбинации вышеперечисленного ( hp-adaptivity ).

Небольшая поддержка основания

Решение двумерной задачи $u_{xx}+u_{yy}=-4$ в диске с центром в начале координат и радиусом 1, с нулевыми граничными условиями.
а) Триангуляция.

(б) Разреженная матрица L дискретизированной линейной системы

(c) Вычисленное решение, $u(x,y)=1-x^{2}-y^{2}$

Основное преимущество такого выбора базиса состоит в том, что внутренние продукты $$\langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx$$и $$\phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx$$почти для всех будет равно нулю $j,k$.(Матрица, содержащая $\langle v_{j},v_{k}\rangle$ в $(j,k)$ местоположение известно как матрица Грамиана .)В одномерном поддержка случае $v_{k}$ это интервал $[x_{k-1},x_{k+1}]$. Следовательно, подынтегральные выражения $\langle v_{j},v_{k}\rangle$ и $\phi (v_{j},v_{k})$ тождественно равны нулю всякий раз, когда $|j-k|>1$.

Аналогично и в плоском случае, если $x_{j}$ и $x_{k}$ не имеют общего ребра триангуляции, то интегралы $$\int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds$$и $$\int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds$$оба равны нулю.

Матричная форма задачи

Если мы напишем $u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)$ и $f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)$ тогда задача (3), приняв $v(x)=v_{j}(x)$ для $j=1,\dots ,n$, становится

$-\sum _{k=1}^{n}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=1}^{n}f_{k}\int v_{k}v_{j}dx$ для $j=1,\dots ,n.$ ( 4 )

Если мы обозначим через $\mathbf {u}$ и $\mathbf {f}$ векторы-столбцы $(u_{1},\dots ,u_{n})^{t}$ и $(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}$, и если мы позволим $$L=(L_{ij})$$и $$M=(M_{ij})$$быть матрицами, элементы которых $$L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})$$и $$M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx$$тогда мы можем перефразировать (4) как

$$-L\mathbf {u} =M\mathbf {f} .$$ ( 5 )

Не обязательно предполагать $f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)$. Для общей функции $f(x)$, задача (3) с $v(x)=v_{j}(x)$ для $j=1,\dots ,n$ на самом деле становится проще, поскольку нет матрицы $M$ используется,

$$-L\mathbf {u} =\mathbf {b} ,$$ ( 6 )

где $\mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}$ и $b_{j}=\int fv_{j}dx$ для $j=1,\dots ,n$.

Как мы уже говорили ранее, большинство записей $L$ и $M$ равны нулю, поскольку базисные функции $v_{k}$ иметь небольшую поддержку. Итак, теперь нам нужно решить линейную систему с неизвестным. $\mathbf {u}$ где большинство элементов матрицы $L$, которые нам нужно инвертировать, равны нулю.

Такие матрицы известны как разреженные матрицы , и для таких задач существуют эффективные средства решения (намного более эффективные, чем фактическое обращение матрицы). $L$ симметричен и положительно определен, поэтому такому методу, как метод сопряженных градиентов предпочтение отдается . Для не слишком больших задач по-прежнему хорошо работают разреженные LU-разложения и разложения Холецкого . Например, оператора обратной косой черты MATLAB (который использует разреженный LU, разреженный Холецкий и другие методы факторизации) может быть достаточно для сеток с сотней тысяч вершин.

Матрица $L$ обычно называют матрицей жесткости , а матрицей $M$ называется массовой матрицей .

Общая форма метода конечных элементов

В целом метод конечных элементов характеризуется следующим процессом.

• Сетку выбирают для $\Omega$. В предыдущем рассмотрении сетка состояла из треугольников, но можно также использовать квадраты или криволинейные многоугольники.
• Затем выбираются базисные функции. В нашем обсуждении мы использовали кусочно-линейные базисные функции, но обычно используются кусочно-полиномиальные базисные функции.

Отдельного рассмотрения заслуживает гладкость базисных функций. второго порядка Для эллиптических краевых задач достаточно кусочно-полиномиальной базисной функции, которая является просто непрерывной (т. е. производные разрывны). Для уравнений в частных производных более высокого порядка необходимо использовать более гладкие базисные функции. Например, для задачи четвертого порядка, такой как $u_{xxxx}+u_{yyyy}=f$, можно использовать кусочно-квадратичные базисные функции, которые $C^{1}$.

Еще одним соображением является соотношение конечномерного пространства $V$ к его бесконечномерному аналогу в приведенных выше примерах $H_{0}^{1}$. Соответствующий метод элемента — это метод, в котором пространство $V$ является подпространством пространства элементов непрерывной задачи. Пример выше является именно таким методом. Если это условие не выполняется, мы получаем метод несогласного элемента , примером которого является пространство кусочно-линейных функций на сетке, непрерывных в каждой средней точке ребра. Поскольку эти функции, вообще говоря, разрывны по ребрам, это конечномерное пространство не является подпространством исходного. $H_{0}^{1}$.

Обычно имеется алгоритм разделения заданной сетки. Если основным методом повышения точности является разделение сетки, существует h -метод ( h обычно представляет собой диаметр наибольшего элемента в сетке). Таким образом, если показать, что ошибка с сеткой $h$ ограничено сверху $Ch^{p}$, для некоторых $C<\infty$ и $p>0$, то имеется метод порядка p . При определенных гипотезах (например, если область выпуклая) кусочный многочлен порядка $d$ метод будет иметь ошибку порядка $p=d+1$.

Если вместо уменьшения h увеличить степень полиномов, используемых в базисной функции, получится p -метод. Если объединить эти два типа уточнения, получится hp -метод ( hp-FEM ). В hp-FEM степени полинома могут варьироваться от элемента к элементу. Методы высокого порядка с большим равномерным p называются спектральными методами конечных элементов ( SFEM ). Их не следует путать со спектральными методами .

Для векторных уравнений в частных производных базисные функции могут принимать значения в $\mathbb {R} ^{n}$.

Различные типы методов конечных элементов

АЕМ

Метод прикладных элементов или AEM сочетает в себе функции FEM и метода дискретных элементов или (DEM).

Основная статья: Метод прикладного элемента

А-ФЭМ

Как заявил ПуМ, Ян и Луи представили метод дополненных конечных элементов, целью которого было моделирование слабых и сильных разрывов без необходимости использования дополнительных степеней свободы.

CutFEM

Подход «Разрезание методом конечных элементов» был разработан в 2014 году. Подход заключается в том, чтобы «сделать дискретизацию как можно более независимой от геометрического описания и минимизировать сложность построения сетки, сохраняя при этом точность и надежность стандартного метода конечных элементов».

Обобщенный метод конечных элементов

Обобщенный метод конечных элементов (GFEM) использует локальные пространства, состоящие из функций, не обязательно полиномов, которые отражают имеющуюся информацию о неизвестном решении и, таким образом, обеспечивают хорошую локальную аппроксимацию. Затем разбиение единицы используется , чтобы «связать» эти пространства вместе, чтобы сформировать аппроксимирующее подпространство. Эффективность GFEM была показана при применении к проблемам с областями, имеющими сложные границы, проблемам с микромасштабами и проблемам с пограничными слоями.

Смешанный метод конечных элементов

Основная статья: Смешанный метод конечных элементов

Смешанный метод конечных элементов — это тип метода конечных элементов, в котором дополнительные независимые переменные вводятся в качестве узловых переменных во время дискретизации задачи уравнения в частных производных.

Переменная – полиномиальная

HP -FEM адаптивно комбинирует элементы с переменным размером h и полиномиальной степенью p для достижения исключительно быстрой экспоненциальной скорости сходимости.

hpk-FEM

hpk -FEM адаптивно комбинирует элементы с переменным размером h , полиномиальной степенью локальных аппроксимаций p и глобальной дифференцируемостью локальных аппроксимаций ( k -1) для достижения наилучших показателей сходимости.

КСЭМ

Основная статья: Расширенный метод конечных элементов

Расширенный метод конечных элементов (XFEM) — это численный метод, основанный на обобщенном методе конечных элементов (GFEM) и методе разделения единицы (PUM). Он расширяет классический метод конечных элементов, обогащая пространство решений решениями дифференциальных уравнений с разрывными функциями. Расширенные методы конечных элементов обогащают пространство аппроксимации, позволяя естественным образом воспроизводить сложные особенности, связанные с интересующей задачей: разрыв, особенность, пограничный слой и т. д. Было показано, что для некоторых задач такое встраивание признака задачи в аппроксимационное пространство может значительно улучшить скорость сходимости и точность. Более того, обработка проблем с разрывами с помощью XFEM устраняет необходимость создания сетки и повторного построения сетки поверхностей разрывов, тем самым уменьшая вычислительные затраты и ошибки проецирования, связанные с традиционными методами конечных элементов, за счет ограничения разрывов краями сетки.

Некоторые исследовательские коды реализуют этот метод в разной степени:

1. Получить ФЕМ++
2. xfem++
3. openxfem++

XFEM также реализован в таких программах, как Altair Radios, ASTER, Morfeo и Abaqus. Он все чаще используется в других коммерческих программах конечных элементов, при этом доступно несколько плагинов и реальных основных реализаций (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE и т. д.).

Метод конечных элементов с масштабированной границей (SBFEM)

Метод конечных элементов с масштабированной границей (SBFEM) был предложен Song and Wolf (1997). SBFEM внес один из наиболее прибыльных вкладов в область численного анализа проблем механики разрушения. Это полуаналитический фундаментальный метод без решения, сочетающий в себе преимущества формулировок и процедур конечных элементов и дискретизации граничных элементов. Однако, в отличие от метода граничных элементов, никакого фундаментального дифференциального решения не требуется.

S-FEM

Основная статья: Сглаженный метод конечных элементов

S-FEM, сглаженные методы конечных элементов, представляет собой особый класс алгоритмов численного моделирования физических явлений. Он был разработан путем объединения бессеточных методов с методом конечных элементов.

Метод спектральных элементов

Основная статья: Метод спектральных элементов

Методы спектральных элементов сочетают в себе геометрическую гибкость конечных элементов и высокую точность спектральных методов. Спектральные методы представляют собой приближенное решение уравнений в частных производных слабой формы, основанное на лагранжевых интерполянтах высокого порядка и используемое только с определенными правилами квадратур.

Бессеточные методы

Основная статья: Бессеточные методы

Разрывные методы Галёркина

Основная статья: Разрывный метод Галёркина

Предельный анализ методом конечных элементов

Основная статья: Анализ пределов конечных элементов

Метод растянутой сетки

Основная статья: Метод растянутой сетки

Итерация Лубиньяка

Итерация Лубиньяка — это итерационный метод в методах конечных элементов.

Метод конечных элементов кристаллопластичности (CPFEM)

Метод конечных элементов кристаллопластичности (CPFEM) — это усовершенствованный численный инструмент, разработанный Францем Ротерсом. Металлы можно рассматривать как кристаллические агрегаты, которые ведут себя анизотропно при деформации, например, при аномальном напряжении и локализации деформации. CPFEM, основанный на скольжении (скорости деформации сдвига), может рассчитывать дислокацию, ориентацию кристаллов и другую информацию о текстуре, чтобы учитывать анизотропию кристалла во время процедуры. Он применялся при численном исследовании деформации материала, шероховатости поверхности, трещин и т. Д.

Метод виртуальных элементов (VEM)

Метод виртуальных элементов (VEM), предложенный Бейраном да Вейгой и др. (2013) как расширение миметических методов конечных разностей (MFD), является обобщением стандартного метода конечных элементов для элементов произвольной геометрии. Это позволяет допускать обычные многоугольники (или многогранники в 3D), которые имеют очень неправильную и невыпуклую форму. Название «виртуальный» происходит от того факта, что знание локального базиса функции формы не требуется и фактически никогда не рассчитывается явно.

Связь с методом градиентной дискретизации

Некоторые типы методов конечных элементов (согласованные, несогласованные, смешанные методы конечных элементов) являются частными случаями метода градиентной дискретизации (GDM). Следовательно, свойства сходимости GDM, установленные для ряда задач (линейных и нелинейных эллиптических задач, линейных, нелинейных и вырождающихся параболических задач), сохраняются и для этих конкретных МКЭ.

Сравнение с методом конечных разностей

Метод конечных разностей (FDM) является альтернативным способом аппроксимации решений УЧП. Различия между FEM и FDM:

• Наиболее привлекательной особенностью FEM является его способность относительно легко обрабатывать сложную геометрию (и границы). Хотя FDM в своей базовой форме ограничивается обработкой прямоугольных форм и простыми их изменениями, обработка геометрии в FEM теоретически проста.
• FDM обычно не используется для нестандартной геометрии САПР, но чаще используется для прямоугольных или блочных моделей.
• FEM обычно обеспечивает более гибкую адаптивность сетки, чем FDM.
• Наиболее привлекательной особенностью конечных разностей является простота реализации.
• Можно рассматривать FDM как частный случай подхода FEM по нескольким причинам. Например, FEM первого порядка идентичен FDM для уравнения Пуассона, если задача дискретизируется с помощью регулярной прямоугольной сетки, где каждый прямоугольник разделен на два треугольника.
• Есть причины считать математическую основу аппроксимации методом конечных элементов более надежной, например, потому, что качество аппроксимации между точками сетки в FDM низкое.
• Качество аппроксимации FEM часто выше, чем в соответствующем подходе FDM, но это сильно зависит от проблемы, и можно привести несколько примеров обратного.

Как правило, FEM является методом выбора во всех типах анализа в строительной механике (т. е. при расчете деформаций и напряжений в твердых телах или динамике конструкций). Напротив, вычислительная гидродинамика (CFD), как правило, использует FDM или другие методы, такие как метод конечного объема (FVM). Проблемы CFD обычно требуют дискретизации проблемы на большое количество ячеек/точек сетки (миллионы и более). Поэтому стоимость решения благоприятствует более простому приближению более низкого порядка внутри каждой ячейки. Это особенно актуально для задач «внешнего потока», таких как поток воздуха вокруг автомобиля, самолета или симуляция погоды.

Методы конечных элементов и быстрого преобразования Фурье (БПФ)

Другой метод, используемый для аппроксимации решений уравнения в частных производных, - это быстрое преобразование Фурье (БПФ), где решение аппроксимируется рядом Фурье, рассчитанным с использованием БПФ. Для аппроксимации механической реакции материалов под нагрузкой БПФ часто работает намного быстрее. но FEM может быть более точным. Одним из примеров соответствующих преимуществ двух методов является моделирование прокатки листа алюминия (металл FCC) и волочения проволоки вольфрамовой (металл BCC). В этом моделировании не было сложного алгоритма обновления формы для метода БПФ. В обоих случаях метод FFt был более чем в 10 раз быстрее, чем метод FEM, но при моделировании волочения проволоки, где наблюдались большие деформации зерен , метод FEM был намного точнее. При моделировании прокатки листов результаты обоих методов были схожими. БПФ имеет большее преимущество в скорости в случаях, когда граничные условия заданы в виде деформации материала , и теряет часть своей эффективности в случаях, когда напряжение используется для применения граничных условий, поскольку требуется больше итераций метода.

Методы FE и FFT также могут быть объединены в метод на основе вокселей (2) для моделирования деформации материалов, где метод FE используется для макромасштабных напряжений и деформаций, а метод FFT используется на микромасштабе для борьбы с эффектами. микромасштаба на механический отклик. В отличие от FEM, сходство методов БПФ с методами обработки изображений означает, что фактическое изображение микроструктуры с микроскопа может быть введено в решатель для получения более точной реакции на напряжение. Использование реального изображения с БПФ позволяет избежать создания сетки микроструктуры, которая потребовалась бы при использовании моделирования микроструктуры методом конечных элементов и может быть затруднена. Поскольку приближения Фурье по своей сути являются периодическими, БПФ можно использовать только в случаях периодической микроструктуры, но это часто встречается в реальных материалах. БПФ также можно комбинировать с методами МКЭ, используя компоненты Фурье в качестве вариационной основы для аппроксимации полей внутри элемента, что позволяет воспользоваться преимуществами скорости решателей на основе БПФ.

Приложение

3D-модель переноса загрязнений - поле концентрации на уровне земли

3D-модель переноса загрязнений - поле концентрации на перпендикулярной поверхности

Различные специализации в области машиностроения (например, авиационная, биомеханическая и автомобильная промышленность) обычно используют интегрированный FEM при проектировании и разработке своей продукции. Некоторые современные пакеты FEM включают в себя конкретные компоненты, такие как тепловые, электромагнитные, жидкостные и структурные рабочие среды. При структурном моделировании FEM чрезвычайно помогает в визуализации жесткости и прочности, а также в минимизации веса, материалов и затрат.

FEM позволяет детально визуализировать места изгиба или скручивания конструкций, указывая распределение напряжений и смещений. Программное обеспечение FEM предоставляет широкий спектр возможностей моделирования для управления сложностью моделирования и системного анализа. Аналогичным образом, желаемый уровень требуемой точности и связанные с ней требования ко времени вычислений могут управляться одновременно для решения большинства инженерных приложений. FEM позволяет создавать, уточнять и оптимизировать целые конструкции еще до их изготовления. Сетка является неотъемлемой частью модели, и для получения наилучших результатов ее необходимо тщательно контролировать. Как правило, чем больше элементов в сетке, тем точнее решение дискретизированной задачи. Однако существует значение, при котором результаты сходятся, и дальнейшее измельчение сетки не увеличивает точность.

Конечно-элементная модель коленного сустава человека

Этот мощный инструмент проектирования значительно улучшил как стандарты инженерного проектирования, так и методологию процесса проектирования во многих промышленных приложениях. Внедрение FEM существенно сократило время доставки продукции от концепции до производственной линии. Тестирование и разработка были ускорены в первую очередь за счет улучшения конструкции первоначальных прототипов с использованием FEM. Подводя итог, преимущества FEM включают повышенную точность, улучшенное проектирование и лучшее понимание критических параметров проектирования, виртуальное прототипирование, меньшее количество прототипов оборудования, более быстрый и менее дорогой цикл проектирования, повышение производительности и увеличение доходов.

В 1990-х годах метод FEM был предложен для использования в стохастическом моделировании для численного решения вероятностных моделей. и позже для оценки надежности.

См. также

• Метод прикладного элемента
• Метод граничных элементов
• Кто такая лемма
• Компьютерный эксперимент
• Метод прямой жесткости
• Оптимизация компоновки разрывов
• Метод дискретных элементов
• Метод конечных разностей
• Машина конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Метод конечного объема
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Метод бесконечных элементов
• Интервальный конечный элемент
• Изогеометрический анализ
• Решеточные методы Больцмана
• Список пакетов программного обеспечения для конечных элементов
• Бессеточные методы
• Передвижной клеточный автомат
• Многопрофильная оптимизация проектирования
• Мультифизика
• Патч-тест
• Метод Рэлея-Ритца
• Картографирование пространства
• СТРЭНД7
• Тесселяция (компьютерная графика)
• Ослабленная слабая форма

Дальнейшее чтение

• Г. Аллер и А. Крейг: Численный анализ и оптимизация: введение в математическое моделирование и численное моделирование .
• К.Дж. Бат: Численные методы анализа методом конечных элементов , Прентис-Холл (1976).
• Томас Дж. Р. Хьюз: Метод конечных элементов: линейный статический и динамический анализ методом конечных элементов, Прентис-Холл (1987).
• Дж. Часкалович: Методы конечных элементов для инженерных наук , Springer Verlag, (2008).
• Эндре Сюли : Методы конечных элементов для уравнений в частных производных .
• О. К. Зенкевич, Р. Л. Тейлор, Дж. З. Чжу: Метод конечных элементов: его основа и основы , Баттерворт-Хейнеманн (2005).
• Н. Оттосен, Х. Петерссон: Введение в метод конечных элементов, Прентис-Холл (1992).
• Сюзанна К. Бреннер, Л. Риджуэй Скотт: Математическая теория методов конечных элементов , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 978-0-387-75933-3 (2008).
• Зохди, Т.И. (2018) Учебник по методу конечных элементов для начинающих, расширенная версия, включая примеры тестов и проектов. Второе издание https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9.
• Лешек Ф. Демкович: Математическая теория конечных элементов , SIAM, ISBN 978-1-61197-772-1 (2024).