Метод погруженных границ

В вычислительной гидродинамике метод погруженных границ первоначально относился к подходу, разработанному Чарльзом Пескином в 1972 году для моделирования взаимодействий жидкости со структурой (волокнами). ^[1] Рассмотрение связи деформаций конструкции и потока жидкости ставит ряд сложных задач для численного моделирования (упругая граница изменяет поток жидкости, и жидкость одновременно перемещает упругую границу). В методе погруженных границ жидкость представляется в эйлеровой системе координат , а структура — в лагранжевых координатах . Для ньютоновских жидкостей, подчиняющихся уравнениям Навье – Стокса , уравнения жидкости имеют вид

\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=-\nabla p+\mu \,\Delta u(x,t)+f(x,t)

и если поток несжимаем, то мы имеем дальнейшее условие, что

\nabla \cdot u=0.\,

Погруженные структуры обычно представляются как совокупность одномерных волокон, обозначаемых $\Gamma$ . Каждое волокно можно рассматривать как параметрическую кривую. $X(s,t)$ где $s$ – лагранжева координата вдоль волокна и $t$ это время. Физика волокна представлена через функцию распределения силы волокна. $F(s,t)$ . В этот термин можно включить пружинные силы, сопротивление изгибу или любой другой тип поведения. Сила, действующая на жидкость со стороны конструкции, затем интерполируется как исходный член в уравнении количества движения с использованием

f(x,t)=\int _{\Gamma }F(s,t)\,\delta {\big (}x-X(s,t){\big )}\,ds,

где $\delta$ – Дирака $δ$ -функция . Воздействие можно распространить на несколько измерений для моделирования упругих поверхностей или трехмерных твердых тел. Предполагая безмассовую структуру, упругое волокно движется с локальной скоростью жидкости и может быть интерполировано с помощью дельта-функции.

{\frac {\partial X(s,t)}{\partial t}}=u(X,t)=\int _{\Omega }u(x,t)\,\delta {\big (}x-X(s,t){\big )}\,dx,

где $\Omega$ обозначает всю область жидкости. Дискретизацию этих уравнений можно выполнить, предположив наличие эйлеровой сетки на жидкости и отдельной лагранжевой сетки на волокне. Аппроксимация дельта-распределения более сглаженными функциями позволит нам интерполировать между двумя сетками. Любой существующий решатель для жидкости можно соединить с решателем уравнений волокон для решения уравнений погруженной границы.Варианты этого базового подхода применялись для моделирования широкого спектра механических систем, включающих упругие структуры, взаимодействующие с потоками жидкости.

С момента первоначальной разработки этого метода Пескиным было разработано множество подходов для моделирования обтекания сложных погруженных тел на сетках, которые не соответствуют поверхности тела. К ним относятся такие методы, как метод погруженного интерфейса, метод декартовой сетки, метод призрачной жидкости и метод срезанных ячеек. Миттал и Яккарино ^[2] назовите все эти (и другие связанные) методы методами погруженных границ и дайте различные классификации этих методов. С точки зрения реализации они подразделяют методы с погруженными границами на методы непрерывного воздействия и методы дискретного воздействия . В первом случае перед дискретизацией к непрерывным уравнениям Навье-Стокса добавляется силовой член, тогда как во втором силовое воздействие применяется (явно или неявно) к дискретизированным уравнениям. Согласно этой таксономии, оригинальный метод Пескина представляет собой метод непрерывного воздействия , тогда как методы декартовой сетки, ячейки среза и методы призрачной жидкости являются методами дискретного воздействия .

См. также

Программное обеспечение: Числовые коды

Примечания

^ Пескин, Чарльз С. (1 октября 1972 г.). «Схемы потока вокруг клапанов сердца: численный метод». Журнал вычислительной физики . 10 (2): 252–271. Бибкод : 1972JCoPh..10..252P . дои : 10.1016/0021-9991(72)90065-4 . ISSN 0021-9991 .
^ Миттал и Яккарино 2005 .

Ссылки

Ацбергер, Пол Дж. (2011). «Стохастические эйлеровы лагранжевы методы исследования взаимодействия структур жидкости с тепловыми флуктуациями». Журнал вычислительной физики . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Бибкод : 2011JCoPh.230.2821A . дои : 10.1016/j.jcp.2010.12.028 . S2CID 6067032 .
Ацбергер, Пол Дж.; Крамер, Питер Р.; Пескин, Чарльз С. (2007). «Стохастический метод погруженных границ для динамики жидкой структуры на микроскопических масштабах длины». Журнал вычислительной физики . 224 (2): 1255–1292. arXiv : 0910.5748 . Бибкод : 2007JCoPh.224.1255A . дои : 10.1016/j.jcp.2006.11.015 . S2CID 17977915 .
Джиндал, С.; Халиги, Б.; Джонсон, Дж.; Чен, К. (2007), «Подход CFD с погруженной границей для комплексного прогнозирования аэродинамических потоков», Серия технических документов SAE , том. 1, номер документа : 10.4271/2007-01-0109 .
Ким, Чону; Ким, Донджу; Чхве, Хэчхон (2001). «Метод конечного объема с погруженной границей для моделирования потока в сложной геометрии». Журнал вычислительной физики . 171 (1): 132–150. Бибкод : 2001JCoPh.171..132K . дои : 10.1006/jcph.2001.6778 .
Миттал, Раджат; Яккарино, Джанлука (2005). «Методы погруженных границ». Ежегодный обзор механики жидкости . 37 (1): 239–261. Бибкод : 2005АнРФМ..37..239М . doi : 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743 .
Мория, Ёитиро; Пескин, Чарльз С. (2008). «Неявные методы погруженных границ второго порядка с граничной массой». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 197 (25–28): 2049–2067. Бибкод : 2008CMAME.197.2049M . дои : 10.1016/j.cma.2007.05.028 .
Пескин, Чарльз С. (2002). «Метод погруженной границы» . Акта Нумерика . 11 : 479–517. дои : 10.1017/S0962492902000077 .
Пескин, Чарльз С. (1977). «Численный анализ кровотока в сердце». Журнал вычислительной физики . 25 (3): 220–252. Бибкод : 1977JCoPh..25..220P . дои : 10.1016/0021-9991(77)90100-0 .
Рома, Александр М.; Пескин, Чарльз С.; Бергер, Марша Дж. (1999). «Адаптивная версия метода погруженных границ». Журнал вычислительной физики . 153 (2): 509–534. Бибкод : 1999JCoPh.153..509R . дои : 10.1006/jcph.1999.6293 .
Сингх Бхалла, Амнит Пал; Бэйл, Рахул; Гриффит, Бойс Э.; Патанкар, Нилеш А. (2013). «Единая математическая основа и адаптивный численный метод взаимодействия жидкости и конструкции с твердыми, деформирующимися и упругими телами». Журнал вычислительной физики . 250 : 446–476. Бибкод : 2013JCoPh.250..446B . дои : 10.1016/j.jcp.2013.04.033 .
Чжу, Луодин; Пескин, Чарльз С. (2002). «Моделирование подвижной гибкой нити в текучей мыльной пленке методом погруженных границ» (PDF) . Журнал вычислительной физики . 179 (2): 452–468. Бибкод : 2002JCoPh.179..452Z . дои : 10.1006/jcph.2002.7066 . S2CID 947507 . Архивировано из оригинала (PDF) 1 января 2020 г.

[1] Пескин, Чарльз С. (1 октября 1972 г.). «Схемы потока вокруг клапанов сердца: численный метод». Журнал вычислительной физики . 10 (2): 252–271. Бибкод : 1972JCoPh..10..252P . дои : 10.1016/0021-9991(72)90065-4 . ISSN 0021-9991 .

[2] Миттал и Яккарино 2005 .

[1]

[2]