Сглаженный метод конечных элементов
Сглаженные методы конечных элементов ( S-FEM ) [1] представляют собой особый класс алгоритмов численного моделирования физических явлений. Он был разработан путем объединения бессеточных методов. [2] с помощью метода конечных элементов . S-FEM применимы как к задачам механики твердого тела, так и к задачам динамики жидкости , хотя до сих пор они в основном применялись к первым.
Описание
[ редактировать ]Основная идея S-FEM заключается в использовании сетки конечных элементов (в частности, треугольной сетки) для построения численных моделей с хорошей производительностью. Это достигается путем изменения совместимого поля деформаций или построения поля деформаций, используя только смещения, в надежде, что модель Галеркина, использующая модифицированное/сконструированное поле деформаций, сможет обеспечить некоторые хорошие свойства. Такая модификация/построение может осуществляться внутри элементов, но чаще вне элементов (бессеточные концепции): привнести информацию из соседних элементов. Естественно, поле деформаций должно удовлетворять определенным условиям, и стандартную слабую форму Галёркина необходимо соответствующим образом модифицировать, чтобы обеспечить устойчивость и сходимость. Комплексный обзор S-FEM, охватывающий как методологию, так и приложения, можно найти в [3] («Сглаженные методы конечных элементов (S-FEM): обзор и последние разработки»).
История
[ редактировать ]Развитие S-FEM началось с работ по бессеточным методам, в которых использовалась так называемая ослабленная слабая (W2) формулировка, основанная на G-пространства. теории [4] были разработаны. Формулировка W2 предлагает возможности для формулирования различных (равномерно) «мягких» моделей, которые хорошо работают с треугольными сетками. Поскольку треугольная сетка может создаваться автоматически, ее повторное создание сетки становится намного проще и, следовательно, автоматизация моделирования и симуляции. Кроме того, модели W2 можно сделать достаточно мягкими (единообразным образом), чтобы давать решения для верхних границ (для задач о движении сил). Вместе с жесткими моделями (такими как полностью совместимые модели FEM) можно удобно связать решение с обеих сторон. Это позволяет легко оценивать ошибки для обычно сложных задач, если можно создать треугольную сетку. Типичными моделями W2 являются методы интерполяции сглаженной точки (или S-PIM). [5] S-PIM может быть основан на узлах (известен как NS-PIM или LC-PIM). [6] периферийный (ES-PIM), [7] и на основе ячеек (CS-PIM). [8] NS-PIM был разработан с использованием так называемой техники SCNI. [9] Затем было обнаружено, что NS-PIM способен производить раствор с верхней границей и без объемной блокировки. [10] ES-PIM превосходит по точности, а CS-PIM ведет себя где-то между NS-PIM и ES-PIM. Более того, формулировки W2 позволяют использовать полиномиальные и радиальные базисные функции при создании функций формы (они учитывают прерывистые функции смещения, пока они находятся в пространстве G1), что открывает дополнительные возможности для будущих разработок. [ нужна ссылка ]
S-FEM во многом является линейной версией S-PIM, но обладает большинством свойств S-PIM и намного проще. Он также имеет варианты NS-FEM, ES-FEM и CS-FEM. Основные свойства S-PIM можно найти и в S-FEM. [11]
Список моделей S-FEM
[ редактировать ]- Узловая сглаженная FEM (NS-FEM) [12]
- Сглаженная FEM на основе кромок (ES-FEM) [13]
- Сглаженный FEM на основе грани (FS-FEM) [14]
- Сглаженный FEM на основе ячеек (CS-FEM) [15] [16] [17]
- Сглаженный FEM на основе узлов/ребер (NS/ES-FEM) [18] [19]
- Метод Альфа-ФЭМ (Alpha FEM) [20] [21]
- Метод Бета-МКЭ (Beta FEM) [22] [23]
Приложения
[ редактировать ]S-FEM применялся для решения следующих физических задач:
- Механика твердых конструкций и пьезоэлектрика; [24] [25]
- Механика разрушения и распространение трещин; [26] [27] [28] [29]
- Нелинейные и контактные задачи; [30] [31]
- Стохастический анализ; [32]
- Теплопередача; [33] [34]
- Структурная акустика; [35] [36] [37]
- Адаптивный анализ; [38] [18]
- Ограниченный анализ; [39]
- Моделирование пластичности кристаллов. [40]
Базовая формулировка S-FEM
[ редактировать ]Фундаментальной проблемой, решаемой SFEM, обычно является решение уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле, задаваемыми следующим образом:
Δu+f=0 в Ω, u=g на ΓD
где Ω — область, а Γ — ее граница, состоящая из ΓD=Γ. Здесь u: Ω→R — пробное решение, f: Ω→R — заданная функция, а g представляет граничные условия Дирихле.
S-FEM предполагает дискретизацию области Ω с использованием сеток конечных элементов, которые могут быть глобальными или локальными. Глобальная сетка представляет всю область, а локальная сетка используется для дискретизации областей, требующих высокого разрешения в глобальной области. Предполагается, что локальная область включена в глобальную область (ΩL ⊆ ΩG).
Слабая формулировка
[ редактировать ]Слабая форма задачи получается путем умножения уравнения на подходящие пробные функции и интегрирования по области. В SFEM слабая форма выражается следующим образом: учитывая f и g, найдите uεU такой, что для всех wεV
аОм (ш, и) = LОм (ш)
где aΩ — билинейная форма, а LΩ — линейный функционал.
Формулировка S-FEM
[ редактировать ]В S-FEM пробное решение u и тестовые функции w определяются отдельно для глобальной (ΩG) и локальной (ΩL) областей. Пространства пробных решений UG, UL и пространства тестовых функций VG, VL определяются соответствующим образом. Слабая форма формулировки S-FEM принимает вид:
аОм' (ш, и) = LОм' (ш)
где aΩ′ (⋅,⋅) и LΩ′ (⋅) — модифицированные билинейные формы и линейные функционалы, соответственно, для соответствия подходу S-FEM.
Проблемы
[ редактировать ]Одной из основных проблем S-FEM является сложность точной интеграции подматриц, представляющих взаимосвязь между глобальными и локальными сетками (KGL и KLG). Кроме того, матрица K может стать сингулярной, что создает численные проблемы при решении полученных линейных алгебраических уравнений.
Эти проблемы и потенциальные решения подробно обсуждаются в литературе с целью повышения эффективности и точности S-FEM для различных приложений. [41]
B-сплайн S-FEM (BFSEM)
[ редактировать ]S-FEM может разумно моделировать аналитическую область путем наложения сеток с различным пространственным разрешением. Он имеет внутренние преимущества, заключающиеся в высокой локальной точности, малом времени вычислений и простой процедуре построения сетки. Однако у него есть такие недостатки, как точность численного интегрирования и сингулярность матрицы. Хотя было предложено несколько дополнительных методов для смягчения этих ограничений, они являются дорогостоящими в вычислительном отношении или специальными и умаляют сильные стороны метода. Эти проблемы можно решить путем включения кубических B-сплайна функций с непрерывностью в квадрате C по границам элементов в качестве глобальной базисной функции . Чтобы избежать сингулярности матрицы, к разным сеткам применяются разные базисные функции. В недавнем исследовании базисные функции Лагранжа использовались в качестве локальных базисных функций. С помощью этого метода численное интегрирование можно рассчитать с достаточной точностью без каких-либо дополнительных методов, используемых в обычном S-FEM. Кроме того, предложенный метод позволяет избежать сингулярности матрицы и превосходит традиционные методы с точки зрения сходимости решения линейных уравнений. Таким образом, предлагаемый метод потенциально может сократить время вычислений, сохраняя при этом точность, сравнимую с точностью традиционного S-FEM. [41]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лю, GR, 2010 Сглаженные методы конечных элементов , CRC Press, ISBN 978-1-4398-2027-8 .
- ^ Лю, GR, 2-е изд.: Методы без сетки , 2009 г. , CRC Press. 978-1-4200-8209-9
- ^ В. Цзэн, Г. Р. Лю. Сглаженные методы конечных элементов (S-FEM): обзор и последние разработки. Архив вычислительных методов в технике , 2016, doi: 10.1007/s11831-016-9202-3
- ^ GR Лю. Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: теория части I и приложения части II к задачам механики твердого тела. Международный журнал численных методов в технике , 81: 1093-1126, 2010 г.
- ^ Лю, GR, 2-е изд.: Методы без сетки , 2009 г. , CRC Press. 978-1-4200-8209-9
- ^ Лю Г. Р., Чжан Г. Ю., Дай К. Ю., Ван Ю. Ю., Чжун Чж., Ли Г. И. и Хань X, Метод линейной точечной интерполяции (LC-PIM) для двумерных задач механики твердого тела, Международный журнал вычислительных методов , 2 (4): 645-665, 2005.
- ^ GR Лю, GR Чжан. Методы интерполяции сглаженных точек на основе краев. Международный журнал вычислительных методов , 5(4): 621-646, 2008 г.
- ^ GR Лю, GR Чжан. Нормированное G-пространство и ослабленная слабая (W2) формулировка метода интерполяции сглаженных точек на основе ячеек. Международный журнал вычислительных методов , 6(1): 147-179, 2009 г.
- ^ Чен, Дж. С., Ву, Коннектикут, Юн, С. и Ю, Ю. (2001). Стабилизированное конформное узловое интегрирование для бессеточных методов Галеркина. Межд. Дж. Нумер. Мет. англ. 50: 435–466.
- ^ GR Лю и GY Чжан. Решение задач эластичности с верхней границей: уникальное свойство метода линейной точечной интерполяции (LC-PIM). Международный журнал численных методов в технике , 74: 1128-1161, 2008.
- ^ Чжан ZQ, Лю GR, Верхние и нижние границы собственных частот: свойство сглаженных методов конечных элементов, Международный журнал численных методов в технике, Vol. 84 Выпуск: 2, 149-178, 2010 г.
- ^ Лю Г.Р., Нгуен-Тхой Т., Нгуен-Суан Х., Лам К.Ю. (2009) Узловой сглаженный метод конечных элементов (NS-FEM) для определения верхних границ решений задач механики твердого тела. Компьютеры и конструкции; 87:14-26.
- ^ Лю Г. Р., Нгуен-Тхой Т., Лам К. Ю. (2009) Метод сглаженных конечных элементов на основе краев (ES-FEM) для анализа статических, свободных и вынужденных вибраций в твердых телах. Журнал звука и вибрации; 320:1100-1130.
- ^ Нгуен-Тхой Т., Лю Г.Р., Лам К.Ю., Чжан Г.И. (2009)Метод сглаженных конечных элементов на основе граней (FS-FEM) для трехмерных задач линейной и нелинейной механики твердого тела с использованием четырехузловых тетраэдрических элементов. Международный журнал численных методов в технике ; 78:324-353
- ^ Лю Г. Р., Дай К. Ю., Нгуен-Той Т (2007) Сглаженный метод конечных элементов для задач механики. Вычислительная механика; 39:859-877
- ^ Дай К.Ю., Лю Г.Р. (2007)Анализ свободной и вынужденной вибрации с использованием сглаженного метода конечных элементов (SFEM). Журнал звука и вибрации; 301: 803-820.
- ^ Дай К.Ю., Лю Г.Р., Нгуен-Тхой Т (2007)Метод конечных элементов n-стороннего полигонального сглаженного (nSFEM) для механики твердого тела. Конечные элементы в анализе и проектировании; 43: 847－860.
- ^ Перейти обратно: а б Ли Ю, Лю Г.Р., Чжан Г.И. Адаптивный подход NS/ES-FEM для двумерных контактных задач с использованием треугольных элементов, Конечные элементы в анализе и проектировании, том 47, выпуск: 3, 256–275, 2011 г.
- ^ Цзян С., Чжан ZQ, Лю GR, Хань X, Цзэн В., Метод выборочных сглаженных конечных элементов на основе ребер/узлов с использованием тетраэдров для сердечно-сосудистых тканей, Инженерный анализ с граничными элементами, том 59, 62-77, 2015
- ^ Лю Г.Р., Нгуен-Тхой Т., Лам К.Ю. (2009)Новый FEM путем масштабирования градиента штаммов с помощью фактора α (αFEM). Вычислительная механика; 43:369-391
- ^ Лю GR, Нгуен-Суан Х, Нгуен-Тхой Т, Сюй Икс (2009) Новая слабая форма и сверхконвергентный альфа-метод конечных элементов (SαFEM) для задач механики с использованием треугольных сеток. Журнал вычислительной физики; 228:4055-4087
- ^ Цзэн В., Лю Г. Р., Ли Д., Донг XW (2016) Бета-метод конечных элементов (βFEM) на основе метода сглаживания для моделирования пластичности кристаллов. Компьютеры и конструкции; 162:48-67
- ^ Цзэн В., Лю Г.Р., Цзян С., Нгуен-Тхой Т., Цзян Й. (2016)Обобщенный бета-метод конечных элементов с методами связанного сглаживания для механики твердого тела. Инженерный анализ с граничными элементами; 73:103-119
- ^ Цуй XY, Лю GR, Ли GY и др. Формулировка тонкой пластины без степеней свободы вращения, основанная на методе радиальной точечной интерполяции и треугольных ячейках, Международный журнал численных методов в инженерии, том 85, выпуск: 8, 958-986, 2011.
- ^ Лю GR, Нгуен-Суан Х, Нгуен-Тхой Т, Теоретическое исследование сглаженных моделей FEM (S-FEM): свойства, точность и скорость сходимости, Международный журнал численных методов в инженерии, том. 84 Выпуск: 10, 1222-1256, 2010 г.
- ^ Лю Г.Р., Нурбахшния Н., Чжан Ю.В., Новый сингулярный метод ES-FEM для моделирования сингулярных полей напряжений вблизи вершин трещин для задач линейного разрушения, Engineering Fracture Mechanics Vol.78 Выпуск: 6 Страницы: 863-876, 2011
- ^ Лю GR, Чен Л, Нгуен-Тхой Т и др. Новый сглаженный метод конечных элементов на основе сингулярных узлов (NS-FEM) для решения проблем разрушения с верхней границей, Международный журнал численных методов в инженерии, том 83, выпуск: 11, 1466-1497, 2010 г.
- ^ Цзэн В., Лю Г. Р., Китамура Й., Нгуен-Суан Х. «Трехмерная ES-FEM для задач механики разрушения упругих твердых тел», Engineering Fracture Mechanics Vol. 114, 127-150, 2013 г.
- ^ Цзэн В., Лю GR, Цзян С., Донг XW, Чен HD, Бао Ю, Цзян Ю. «Эффективный метод анализа разрушения, основанный на методе интеграла виртуального закрытия трещины, реализованном в CS-FEM», Applied Mathematical Modeling Vol. 40, Выпуск: 5-6, 3783-3800, 2016 г.
- ^ Чжан ZQ, Лю GR, Метод сглаженных конечных элементов на основе краев (ES-FEM) с использованием трехузловых треугольных элементов для трехмерного нелинейного анализа пространственных мембранных структур, Международный журнал численных методов в инженерии , Vol. 86 Выпуск: 2 135-154, 2011 г.
- ^ Цзян С., Лю Г.Р., Хань X, Чжан ZQ, Цзэн В., Сглаженный метод конечных элементов для анализа анизотропной большой деформации пассивных желудочков кролика в диастолу, Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии , Vol. 31 Выпуск: 1,1-25, 2015 г.
- ^ Лю Г.Р., Цзэн В., Нгуен-Сюань Х. Обобщенный метод сглаженных конечных элементов на основе стохастических ячеек (GS_CS-FEM) для механики твердого тела, Конечные элементы в анализе и проектировании, том 63, 51-61, 2013
- ^ Чжан З.Б., Ву С.К., Лю Г.Р. и др. Нелинейные проблемы переходной теплопередачи с использованием Meshfree ES-PIM, Международный журнал нелинейных наук и численного моделирования, том 11, выпуск: 12, 1077-1091, 2010 г.
- ^ Ву С.К., Лю GR, Цуй XY и др. Метод интерполяции сглаженных точек по краям (ES-PIM) для анализа теплопередачи в системе быстрого производства, Международный журнал по теплопередаче и массопереносу , том 53, выпуск: 9–10, 1938–1950, 2010 г.
- ^ Хэ ZC, Ченг А.Г., Чжан Г.И. и др. Уменьшение дисперсионной ошибки для акустических задач с использованием метода сглаженных конечных элементов на основе краев (ES-FEM), Международный журнал численных методов в инженерии, том. 86 Выпуск: 11 Страницы: 1322-1338, 2011 г.
- ^ Хэ ZC, Лю GR, Чжун ZH и др. Совмещенный метод ES-FEM/BEM для решения задач взаимодействия жидкости и конструкции, Инженерный анализ с граничными элементами Vol. 35 Выпуск: 1, 140-147, 2011 г.
- ^ Чжан ZQ, Лю GR, Верхняя и нижняя границы собственных частот: свойство сглаженных методов конечных элементов, Международный журнал численных методов в технике, том 84, выпуск: 2,149-178, 2010 г.
- ^ Нгуен-Тхой Т., Лю Г.Р., Нгуен-Суан Х. и др. Адаптивный анализ с использованием метода сглаженных конечных элементов на основе узлов (NS-FEM), Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, том. 27 Выпуск: 2, 198-218, 2011 г.
- ^ Тран Т.Н., Лю Г.Р., Нгуен-Суан Х. и др. Метод сглаженных конечных элементов на основе краев для анализа первично-двойной приспособляемости конструкций, Международный журнал численных методов в инженерии, том 82, выпуск: 7, 917-938, 2010 г.
- ^ Цзэн В., Ларсен Дж. М., Лю ГР. Конечно-элементное моделирование кристаллических материалов на основе метода сглаживания кристаллопластичности, Международный журнал пластичности, том 65, 250-268, 2015
- ^ Перейти обратно: а б Магоме, Нозоми; Морита, Наоки; Канеко, Сигеки; Мицумэ, Наото (январь 2024 г.). «S-версия метода конечных элементов повышенной непрерывности с B-сплайн-функциями» . Журнал вычислительной физики . 497 : 112593. doi : 10.1016/j.jcp.2023.112593 . ISSN 0021-9991 .