Схема высокого разрешения

Схемы высокого разрешения используются при численном решении уравнений в частных производных , где требуется высокая точность при наличии скачков напряжения или разрывов. Они обладают следующими свойствами:

Пространственная точность второго или более высокого порядка достигается на гладких участках решения.
Решения свободны от паразитных колебаний и покачиваний.
Высокая точность достигается в области скачков и разрывов.
Число точек сетки, содержащих волну, невелико по сравнению со схемой первого порядка с аналогичной точностью.

Общие методы часто недостаточны для точного разрешения явлений крутого градиента; они обычно вызывают нефизические эффекты, такие как размытие раствора или паразитные колебания . Со времени публикации теоремы Годунова о барьере порядка , которая доказала, что линейные методы не могут обеспечить неколеблющиеся решения выше первого порядка ( Годунов 1954 , Годунов 1959 ), эти трудности привлекли большое внимание, и был разработан ряд методов, которые в значительной степени преодолевают эти проблемы. . Чтобы избежать ложных или нефизических колебаний при наличии ударов, уменьшения общего отклонения особенно привлекательны схемы, демонстрирующие характеристику (TVD). Два метода, которые оказались особенно эффективными, — это MUSCL ( монотонные восходящие схемы для законов сохранения ), метод ограничения потока/наклона ( van Leer 1979 , Hirsch 1991 , Anderson, Tannehill & Pletcher 2016 , Laney 1998 , Toro 1999 ) и метод WENO ( Взвешенный по существу неколебательный метод ) ( Шу 1998 , Шу 2009 ). Оба метода обычно называют схемами высокого разрешения (см. диаграмму).

Методы MUSCL обычно имеют точность второго порядка в гладких областях (хотя они могут быть сформулированы для более высоких порядков) и обеспечивают хорошее разрешение и монотонные решения вокруг разрывов. Они просты в реализации и эффективны в вычислительном отношении.

Для задач, включающих как шоки, так и сложную гладкую структуру решения, схемы WENO могут обеспечить более высокую точность, чем схемы второго порядка, а также хорошее разрешение вокруг разрывов. В большинстве приложений, как правило, используется схема WENO пятого порядка точности, тогда как схемы более высокого порядка могут использоваться там, где проблема требует повышенной точности в гладких областях.

Метод целостной дискретизации систематически анализирует динамику масштаба подсетки для алгебраического построения замыканий для численной дискретизации, которые одновременно точны к любому заданному порядку ошибки в гладких областях и автоматически адаптируются для удовлетворения быстрых изменений сетки посредством алгебраического изучения структур подсеток ( Робертс, 2003). ). Веб-сервис анализирует любые PDE в классе, которые могут быть отправлены .

См. также

Ссылки

Годунов, Сергей К. (1954). доктор философии Диссертация: Различные методы исследования ударных волн (Диссертация). Московский государственный университет.
Годунов, Сергей К. (1959). «Разностная схема численного решения разрывного решения гидродинамических уравнений». Мат. Сборник . 47 : 271–306. переведено совместное издание США. Рез. Служба, JPRS 7226, 1969 г.
Хартен, А. (1983). «Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения». Дж. Компьютер. Физ . 49 (3): 357–393. Бибкод : 1983JCoPh..49..357H . дои : 10.1016/0021-9991(83)90136-5 . hdl : 2060/19830002586 .
Хирш, Чарльз (1991). Методы расчета невязких и вязких течений . Численный расчет внутренних и внешних потоков. Том. 2. Уайли. ISBN 978-0-471-92452-4 .
Лэйни, Калберт Б. (1998). Вычислительная газодинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-39360-8 .
Робертс, Эй Джей (2003). «Целостный подход конечных разностей последовательно моделирует линейную динамику». Математика вычислений . 72 (241): 247–262. arXiv : math/0003135 . дои : 10.1090/S0025-5718-02-01448-5 . S2CID 11525980 .
Шу, CW. (1998). «Принципиально неколебательные и взвешенные существенные неколебательные схемы для гиперболических законов сохранения. В: Кокберн». В Квартерони, Альфио (ред.). Расширенная численная аппроксимация нелинейных гиперболических уравнений . Конспект лекций по математике. Том. 1697. Спрингер. стр. 325–432. дои : 10.1007/BFb0096355 . hdl : 2060/19980007543 . ISBN 978-3-540-49804-9 .
Шу, CW. (2009). «Взвешенные по существу неколебательные схемы высокого порядка для задач с доминированием конвекции». Обзор СИАМ . 51 (1): 82–126. Бибкод : 2009SIAMR..51...82S . дои : 10.1137/070679065 .
Андерсон, Дейл; Таннехилл, Джон К.; Плетчер, Ричард Х. (2016). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (3-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-4665-7830-2 .
Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики: практическое введение (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-662-03915-1 .
ван Леер, Б. (1979). «К предельной консервативной разностной схеме V. Продолжение метода Годунова второго порядка». Дж. Компьютер. Физ . 32 (1): 101–136. Бибкод : 1979JCoPh..32..101V . дои : 10.1016/0021-9991(79)90145-1 .