Метод дополнения Шура
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( февраль 2024 г. ) |
В численном анализе метод дополнения Шура , названный в честь Иссая Шура непересекающихся , является базовой и самой ранней версией метода декомпозиции областей , также называемого итеративным субструктурированием . Задача конечных элементов разбивается на непересекающиеся подобласти, и неизвестные внутри подобластей исключаются. Оставшаяся система дополнений Шура по неизвестным, связанным с субдоменными интерфейсами, решается методом сопряженных градиентов .
Способ и реализация
[ редактировать ]Предположим, мы хотим решить уравнение Пуассона
в некоторой области Ω. Дискретизируя эту задачу, мы получаем N -мерную линейную систему AU = F. Метод дополнения Шура разбивает линейную систему на подзадачи. Для этого разделим Ω на две подобласти Ω 1 , Ω 2, которые имеют общий интерфейс Γ. Пусть U 1 , U 2 и U Γ — степени свободы, связанные с каждой подобластью и с интерфейсом. Тогда мы можем записать линейную систему как
где F 1 , F 2 и F Γ — компоненты вектора нагрузки в каждой области.
Метод дополнения Шура основывается на том, что мы можем найти значения на интерфейсе, решив меньшую систему
для значений интерфейса U Γ , где мы определяем дополнения Шура матрицу
Важно отметить, что вычисление любых величин, включающих или включает в себя решение отдельных задач Дирихле в каждой области, и это можно делать параллельно. Следовательно, нам не нужно явно хранить матрицу дополнения Шура; достаточно знать, как умножить на него вектор.
Как только мы узнаем значения в интерфейсе, мы сможем найти внутренние значения, используя два отношения
что можно делать параллельно.
Умножение вектора на дополнение Шура — это дискретная версия оператора Пуанкаре–Стеклова , также называемая отображением Дирихле в Неймана .
Преимущества
[ редактировать ]У этого метода есть два преимущества. Во-первых, параллельно можно выполнить исключение внутренних неизвестных в подобластях, то есть решение задач Дирихле. Во-вторых, переход к дополнению Шура уменьшает число обусловленностей и, следовательно, имеет тенденцию к уменьшению количества итераций. Для задач второго порядка, таких как уравнение Лапласа или линейная упругость , матрица системы имеет число обусловленности порядка 1/ h. 2 , где h – характерный размер элемента. Однако дополнение Шура имеет номер обусловленности только порядка 1/ h .
Для выступлений метод дополнения Шура сочетается с предобусловливанием, по крайней мере, диагональным предобусловливателем . Метод Неймана-Неймана и метод Неймана-Дирихле представляют собой метод дополнения Шура с определенными видами предобусловливателей.
Когда используется быстрая функция, особенно в недорогих параллельных компьютерах, метод дополнения Шура относительно эффективен. [1]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Сория Герреро, метод дополнения М. Шура (PDF) . п. 150 . Проверено 14 февраля 2024 г.