Jump to content

Метод дополнения Шура

В численном анализе метод дополнения Шура , названный в честь Иссая Шура непересекающихся , является базовой и самой ранней версией метода декомпозиции областей , также называемого итеративным субструктурированием . Задача конечных элементов разбивается на непересекающиеся подобласти, и неизвестные внутри подобластей исключаются. Оставшаяся система дополнений Шура по неизвестным, связанным с субдоменными интерфейсами, решается методом сопряженных градиентов .

Способ и реализация

[ редактировать ]

Предположим, мы хотим решить уравнение Пуассона

в некоторой области Ω. Дискретизируя эту задачу, мы получаем N -мерную линейную систему AU = F. Метод дополнения Шура разбивает линейную систему на подзадачи. Для этого разделим Ω на две подобласти Ω 1 , Ω 2, которые имеют общий интерфейс Γ. Пусть U 1 , U 2 и U Γ — степени свободы, связанные с каждой подобластью и с интерфейсом. Тогда мы можем записать линейную систему как

где F 1 , F 2 и F Γ — компоненты вектора нагрузки в каждой области.

Метод дополнения Шура основывается на том, что мы можем найти значения на интерфейсе, решив меньшую систему

для значений интерфейса U Γ , где мы определяем дополнения Шура матрицу

Важно отметить, что вычисление любых величин, включающих или включает в себя решение отдельных задач Дирихле в каждой области, и это можно делать параллельно. Следовательно, нам не нужно явно хранить матрицу дополнения Шура; достаточно знать, как умножить на него вектор.

Как только мы узнаем значения в интерфейсе, мы сможем найти внутренние значения, используя два отношения

что можно делать параллельно.

Умножение вектора на дополнение Шура — это дискретная версия оператора Пуанкаре–Стеклова , также называемая отображением Дирихле в Неймана .

Преимущества

[ редактировать ]

У этого метода есть два преимущества. Во-первых, параллельно можно выполнить исключение внутренних неизвестных в подобластях, то есть решение задач Дирихле. Во-вторых, переход к дополнению Шура уменьшает число обусловленностей и, следовательно, имеет тенденцию к уменьшению количества итераций. Для задач второго порядка, таких как уравнение Лапласа или линейная упругость , матрица системы имеет число обусловленности порядка 1/ h. 2 , где h – характерный размер элемента. Однако дополнение Шура имеет номер обусловленности только порядка 1/ h .

Для выступлений метод дополнения Шура сочетается с предобусловливанием, по крайней мере, диагональным предобусловливателем . Метод Неймана-Неймана и метод Неймана-Дирихле представляют собой метод дополнения Шура с определенными видами предобусловливателей.

Когда используется быстрая функция, особенно в недорогих параллельных компьютерах, метод дополнения Шура относительно эффективен. [1]

  1. ^ Сория Герреро, метод дополнения М. Шура (PDF) . п. 150 . Проверено 14 февраля 2024 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7d8100585034e07a2d55c253356536d0__1707912540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7d/d0/7d8100585034e07a2d55c253356536d0.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Schur complement method - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)