Метод Лакса – Фридриха

Метод Лакса-Фридрихса , названный в честь Питера Лакса и Курта О. Фридрихса , представляет собой численный метод решения гиперболических уравнений в частных производных, основанный на конечных разностях . Метод можно описать как схему FTCS (вперед во времени, с центром в пространстве) с числовым рассеивающим членом 1/2. Можно рассматривать метод Лакса – Фридрихса как альтернативу схеме Годунова , где можно избежать решения задачи Римана на каждой границе раздела ячеек за счет добавления искусственной вязкости.

Иллюстрация линейной задачи

Рассмотрим одномерное линейное гиперболическое уравнение в частных производных для $u(x,t)$ формы: $u_{t}+au_{x}=0$ в домене $b\leq x\leq c,\;0\leq t\leq d$ с начальным состоянием $u(x,0)=u_{0}(x)\,$ и граничные условия ${\begin{aligned}u(b,t)&=u_{b}(t)\\u(c,t)&=u_{c}(t).\end{aligned}}$

Если дискретизировать область $(b,c)\times (0,d)$ к сетке с равноотстоящими друг от друга точками с интервалом $\Delta x$ в $x$ -направление и $\Delta t$ в $t$ -направлении введем приближение ${\tilde {u}}$ из $u$ $u_{i}^{n}={\tilde {u}}(x_{i},t^{n})~~{\text{ with }}~~{\begin{array}{l}x_{i}=b+i\,\Delta x,\\t^{n}=n\,\Delta t\end{array}}~~{\text{ for }}~~{\begin{array}{l}i=0,\ldots ,N,\\n=0,\ldots ,M,\end{array}}$ где $N={\frac {c-b}{\Delta x}},\,M={\frac {d}{\Delta t}}$ являются целыми числами, представляющими количество интервалов сетки. Тогда метод Лакса – Фридрихса для аппроксимации уравнения в частных производных определяется следующим образом: ${\frac {u_{i}^{n+1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=0$

Или переписать это, чтобы найти неизвестное $u_{i}^{n+1},$ $u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}\left(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)-a{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)$

Где начальные значения и граничные узлы взяты из ${\begin{aligned}u_{i}^{0}&=u_{0}(x_{i})\\u_{0}^{n}&=u_{b}(t^{n})\\u_{N}^{n}&=u_{c}(t^{n}).\end{aligned}}$

Расширения нелинейных задач

Нелинейный гиперболический закон сохранения определяется через функцию потока $f$ : $u_{t}+(f(u))_{x}=0.$

В случае $f(u)=au$ , мы получаем скалярную линейную задачу. Обратите внимание, что в целом $u$ представляет собой вектор с $m$ уравнения в нем. Обобщение метода Лакса-Фридрихса на нелинейные системы принимает вид ^{[ 1 ]} $u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}\left(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right).$

Этот метод является консервативным и точным первого порядка, следовательно, весьма диссипативным. Однако его можно использовать в качестве строительного блока для построения числовых схем высокого порядка для решения гиперболических уравнений в частных производных, так же, как временные шаги Эйлера можно использовать в качестве строительного блока для создания числовых интеграторов высокого порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Заметим, что этот метод можно записать в форме сохранения: $u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),$ где ${\hat {f}}_{i-1/2}^{n}={\frac {1}{2}}\left(f_{i-1}+f_{i}\right)-{\frac {\Delta x}{2\Delta t}}\left(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}\right).$

Без дополнительных условий $u_{i}^{n}$ и $u_{i-1}^{n}$ в дискретном потоке, ${\hat {f}}_{i-1/2}^{n}$ , получаем схему FTCS , которая, как известно, безусловно неустойчива для гиперболических задач.

Стабильность и точность

Этот метод является явным и имеет первый порядок точности по времени и первый порядок точности в пространстве ( $O(\Delta t)+O({\Delta x^{2}}/{\Delta t}))$ предоставил $u_{0}(x),\,u_{b}(t),\,u_{c}(t)$ являются достаточно гладкими функциями. В этих условиях метод устойчив тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: $\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.$

( Анализ устойчивости фон Неймана может показать необходимость этого условия устойчивости.) Метод Лакса – Фридрихса классифицируется как имеющий диссипацию второго порядка и дисперсию третьего порядка . ^{[ 2 ]} Для функций, имеющих разрывы , схема демонстрирует сильную диссипацию и дисперсию; ^{[ 3 ]} см. цифры справа.

Ссылки

^ ЛеВек, Рэндалл Дж. (1992). Численные методы исследования законов сохранения . Базель: Birkhäuser Verlag. п. 125. ИСБН 978-3-0348-8629-1 . OCLC 828775522 .
^ Чу, К.К. (1978), Численные методы в механике жидкости , Достижения в прикладной механике, том. 18, Нью-Йорк: Академик Пресс , с. 304, ISBN 978-0-12-002018-8
^ Томас, Дж.В. (1995), Численные дифференциальные уравнения в частных производных: методы конечных разностей , Тексты по прикладной математике, том. 22, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , §7.8, ISBN 978-0-387-97999-1

ДюШато, Поль; Захманн, Дэвид (2002), Прикладные дифференциальные уравнения в частных производных , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41976-3
Пресс, Уильям Х; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 20.1.2. Метод Лакса» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

[1] ЛеВек, Рэндалл Дж. (1992). Численные методы исследования законов сохранения . Базель: Birkhäuser Verlag. п. 125. ИСБН 978-3-0348-8629-1 . OCLC 828775522 .

[2] Чу, К.К. (1978), Численные методы в механике жидкости , Достижения в прикладной механике, том. 18, Нью-Йорк: Академик Пресс , с. 304, ISBN 978-0-12-002018-8

[3] Томас, Дж.В. (1995), Численные дифференциальные уравнения в частных производных: методы конечных разностей , Тексты по прикладной математике, том. 22, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , §7.8, ISBN 978-0-387-97999-1

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]