Изогеометрический анализ

Изогеометрический анализ — это вычислительный подход, который предлагает возможность интеграции анализа методом конечных элементов (FEA) в обычные NURBS на основе САПР инструменты проектирования . В настоящее время необходимо конвертировать данные между пакетами CAD и FEA для анализа новых проектов во время разработки, что является сложной задачей, поскольку два вычислительно-геометрических подхода различны. Изогеометрический анализ использует сложную геометрию NURBS (основу большинства пакетов САПР) непосредственно в приложении FEA. Это позволяет разрабатывать, тестировать и корректировать модели за один раз, используя общий набор данных. ^[1]

Пионерами этой техники являются Том Хьюз и его группа из Техасского университета в Остине . Эталонной бесплатной программной реализацией некоторых методов изогеометрического анализа является GeoPDE. ^[2]^[3] Аналогично, другие реализации можно найти в Интернете. Например, ПетИГА ^[4] представляет собой открытую среду для высокопроизводительного изогеометрического анализа, в значительной степени основанную на PETSc . Кроме того, MIGFEM — это еще один код IGA, который реализован в Matlab и поддерживает обогащение IGA Partition of Unity для 2D и 3D разрушения. Более того, G+Smo ^[5] — это открытая библиотека C++ для изогеометрического анализа. В частности, ФЕАП ^[6] это программа анализа методом конечных элементов, которая включает библиотеку изогеометрического анализа FEAP IsoGeometric (версия FEAP84 и версия FEAP85).

Преимущества IGA по сравнению с FEA

Изогеометрический анализ дает два основных преимущества по сравнению с методом конечных элементов: ^[1]^[7]

Ошибка геометрической аппроксимации отсутствует, поскольку область представлена точно ^[1]
Проблемы распространения волн , возникающие, например, в электрофизиологии сердца , акустике и эластодинамике , лучше описываются благодаря уменьшению численной дисперсии и ошибок диссипации. ^[7]

Сетки

В рамках IGA понятия как управляющей сетки , так и физической сетки. определены ^[1]

Управляющая сетка состоит из так называемых контрольных точек и получается кусочно -линейной интерполяцией их . Контрольные точки играют также роль степеней свободы (DOF). ^[1]

Физическая сетка лежит непосредственно на геометрии и состоит из участков и узлов. В зависимости от количества патчей, которые используются в конкретной физической сетке, эффективно используется подход с одним или несколькими патчами. Участок отображается из эталонного прямоугольника в двух измерениях и из эталонного кубоида в трех измерениях: его можно рассматривать как всю вычислительную область или меньшую ее часть. Каждый патч можно разложить на узлы, которые представляют собой точки , линии и поверхности в 1D, 2D и 3D соответственно. Узлы вставляются внутрь узловых пролетов и определяют элементы. Базовые функции $C^{p-m}$ через узлы, с $p$ степень многочлена и $m$ кратность конкретного узла и $C^{\infty }$ между определенным узлом и следующим или предыдущим. ^[1]

Вектор узла

Вектор узла, обычно обозначаемый как $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , представляет собой набор ненисходящих точек. $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ это $i^{th}$ узел, $n$ количество функций, $p$ относится к порядку базисных функций. Узел делит пролет узла на элементы. Вектор узла является однородным или неоднородным в зависимости от того, равноудалены или нет его узлы, если не учитывать их кратность. Если появились первый и последний узлы $p+1$ раз вектор узла называется открытым. ^[1]^[7]

Базовые функции

После того, как дано определение вектора узла, в этом контексте можно ввести несколько типов базисных функций, таких как B-сплайны , NURBS и T-сплайны . ^[1]

B-сплайны

B-сплайны можно получить рекурсивно из кусочно-постоянной функции с помощью $p=0$ : ^[1]

$N_{i,0}(\xi )={\mathcal {I}}_{[\xi _{i},\xi _{i+1})}(s)\quad 1\leq i\leq n$

Используя алгоритм Де Бура , можно генерировать B-сплайны произвольного порядка. $p$ : ^[1]

$N_{i,p}(\xi )={\frac {\xi -\xi _{i}}{\xi _{i+p}-\xi _{i}}}N_{i,p-1}(\xi )+{\frac {\xi _{i+p+1}-\xi }{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+1}}}N_{i+1,p-1}(\xi )\quad 1\leq i\leq n$

справедливо как для однородных, так и для неоднородных векторов узлов. Чтобы предыдущая формула работала корректно, пусть деление двух нулей будет равно нулю, т.е. ${\dfrac {0}{0}}:=0$ .

B-сплайны, сгенерированные таким образом, обладают свойствами как разделения единицы, так и положительности, то есть: ^[1]

$\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi )=1\quad \forall \xi$

$N_{i,p}(\xi )\geq 0\quad \forall \xi$

Чтобы вычислить производные или порядок $k$ принадлежащий $i^{th}$ B-сплайны степени $p$ , можно использовать другую рекурсивную формулу: ^[1]

${\frac {d^{k}}{d^{k}\xi }}N_{i,p}(\xi )={\frac {p!}{(p-k)!}}\sum _{j=0}^{k}\alpha _{k,j}N_{i+j,p-k}(\xi )$

где:

$\alpha _{0,0}=1$

$\alpha _{k,0}={\frac {\alpha _{k-1,0}}{\xi _{i+p-k+1}-\xi _{i}}},$

$\alpha _{k,j}={\frac {\alpha _{k-1,j}-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+j-k+1}-\xi _{i+j}}}\quad j=1,...,k-1,$

$\alpha _{k,k}={\frac {-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+k}}}.$

всякий раз, когда знаменатель $\alpha _{j,j}$ коэффициент равен нулю, весь коэффициент также принудительно равен нулю.

Кривую B-сплайна можно записать следующим образом: ^[7]

${\textbf {C}}(\xi )=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi ){\textbf {B}}_{i}$

где $n$ количество базисных функций $N_{i,p}$ , и ${\textbf {B}}_{i}\in \mathbb {R} ^{d}$ это $i^{th}$ пункт управления, с. $d$ размерность пространства, в которое погружена кривая.

Распространение на двумерный случай легко получить на основе кривых B-сплайнов. ^[7] В частности, поверхности B-сплайна представлены как: ^[7]

${\textbf {S}}(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta ){\textbf {B}}_{i,j}$

где $n$ и $m$ - это номера базисных функций $N_{i,p}$ и $M_{j,q}$ определено на двух разных векторах узлов $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , ${\mathcal {H}}=\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{m+q+1}\}$ , ${\textbf {B}}_{i,j}$ теперь представляет собой матрицу контрольных точек (также называемую сетью управления).

Наконец, тела B-сплайнов, для которых необходимы три набора базисных функций B-сплайнов и тензор контрольных точек, можно определить как: ^[7]

${\textbf {S}}(\xi ,\eta ,\zeta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta )L_{k,r}(\zeta ){\textbf {B}}_{i,j,k}$

НУРБС

В IGA базисные функции также используются для разработки вычислительной области, а не только для представления численного решения. По этой причине они должны обладать всеми свойствами, позволяющими точно представлять геометрию. Например, B-сплайны из-за своей внутренней структуры не способны создавать правильные круглые формы. ^[1] Чтобы обойти эту проблему, вводятся неоднородные рациональные B-сплайны, также известные как NURBS, следующим образом: ^[1]

$R_{i}^{p}(s)={\frac {N_{i,p}(s)\omega _{i}}{W(s)}}$

где $N_{i,p}$ представляет собой одномерный B-сплайн, $W(s)=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(s)\omega _{i}$ называется весовой функцией и, наконец, $\omega _{i}$ это $i^{th}$ масса.

Следуя идее, развитой в подразделе о B-сплайнах, кривая NURBS генерируется следующим образом: ^[1]

${\textbf {C}}(s)=\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{p}(s){\textbf {B}}_{i}$

с ${\textbf {B}}_{i}$ $i^{th}$ вектор контрольных точек.

Распространение базисных функций NURBS на многообразия более высоких размерностей (например, 2 и 3) определяется следующим образом: ^[1]

$R_{i,j}^{p,q}(s,t)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)\omega _{i,j}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)\omega _{a,b}}}$

$R_{i,j,k}^{p,q,r}(s,t,w)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)L_{k,r}(w)\omega _{i,j,k}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}\sum _{c=1}^{l}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)L_{c,r}(w)\omega _{a,b,c}}}$

В IGA есть три метода, позволяющие расширить пространство базисных функций, не затрагивая геометрию и ее параметризацию. ^[1]

Первый из них известен как вставка узла (или h-уточнение в рамках FEA), где ${\overline {\Xi }}=\{{\overline {\xi _{1}}}=\xi _{1},{\overline {\xi _{2}}},...,{\overline {\xi _{n+m+p+1}}}=\xi _{n+p+1}\}$ получается из $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ с добавлением большего количества узлов, что подразумевает увеличение как количества базисных функций, так и контрольных точек. ^[1]

Второй метод называется повышением степени (или p-уточнением в контексте МКЭ), которое позволяет повысить полиномиальный порядок базисных функций. ^[1]

Наконец, третий метод, известный как k-уточнение (не имеющий аналога в FEA), основан на двух предыдущих методах, т.е. сочетает в себе повышение порядка со вставкой уникального узла в $\Xi$ . ^[1]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т Коттрелл, Дж. Остин; Хьюз, Томас-младший; Базилевс, Юрий (октябрь 2009 г.). Изогеометрический анализ: на пути к интеграции CAD и FEA . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-470-74873-2 . Проверено 22 сентября 2009 г.
^ «GeoPDE: бесплатный программный инструмент для изогеометрического анализа PDE» . 2010 . Проверено 7 ноября 2010 г.
^ де Фалько, К.; А. Реали; Р. Васкес (2011). «GeoPDE: исследовательский инструмент для изогеометрического анализа PDE». Адв. англ. Программное обеспечение . 42 (12): 1020–1034. дои : 10.1016/j.advengsoft.2011.06.010 .
^ «PetIGA: основа для высокопроизводительного изогеометрического анализа» . 2012. Архивировано из оригинала 14 июля 2014 года . Проверено 7 августа 2012 г.
^ «G+Smo: библиотека C++ для изогеометрического анализа, разработанная в RICAM, Линц» . 2017 . Проверено 9 июля 2017 г.
^ «FEAP: FEAP — это программа анализа методом конечных элементов общего назначения, предназначенная для исследовательских и образовательных целей и разработанная в Калифорнийском университете в Беркли» . 2018 . Проверено 21 апреля 2018 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Пеголотти, Лука; Деде, Лука; Квартерони, Альфио (январь 2019 г.). «Изогеометрический анализ электрофизиологии сердца человека: численное моделирование уравнений бидоменов в предсердиях» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 343 : 52–73. Бибкод : 2019CMAME.343...52P . дои : 10.1016/j.cma.2018.08.032 . hdl : 11311/1066014 . S2CID 53613848 .

Внешние ссылки

[cottrell-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т Коттрелл, Дж. Остин; Хьюз, Томас-младший; Базилевс, Юрий (октябрь 2009 г.). Изогеометрический анализ: на пути к интеграции CAD и FEA . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-470-74873-2 . Проверено 22 сентября 2009 г.

[geopdes-2] «GeoPDE: бесплатный программный инструмент для изогеометрического анализа PDE» . 2010 . Проверено 7 ноября 2010 г.

[3] де Фалько, К.; А. Реали; Р. Васкес (2011). «GeoPDE: исследовательский инструмент для изогеометрического анализа PDE». Адв. англ. Программное обеспечение . 42 (12): 1020–1034. дои : 10.1016/j.advengsoft.2011.06.010 .

[PetIGA-4] «PetIGA: основа для высокопроизводительного изогеометрического анализа» . 2012. Архивировано из оригинала 14 июля 2014 года . Проверено 7 августа 2012 г.

[G+Smo-5] «G+Smo: библиотека C++ для изогеометрического анализа, разработанная в RICAM, Линц» . 2017 . Проверено 9 июля 2017 г.

[FEAP-6] «FEAP: FEAP — это программа анализа методом конечных элементов общего назначения, предназначенная для исследовательских и образовательных целей и разработанная в Калифорнийском университете в Беркли» . 2018 . Проверено 21 апреля 2018 г.

[Pegolotti-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Пеголотти, Лука; Деде, Лука; Квартерони, Альфио (январь 2019 г.). «Изогеометрический анализ электрофизиологии сердца человека: численное моделирование уравнений бидоменов в предсердиях» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 343 : 52–73. Бибкод : 2019CMAME.343...52P . дои : 10.1016/j.cma.2018.08.032 . hdl : 11311/1066014 . S2CID 53613848 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]