Домен (математический анализ)

«Регион (математика)» перенаправляется сюда. Не путать с регионом Макбит .

В математическом анализе область топологическом или регион — это непустое , связное и открытое множество в пространстве , в частности любое непустое связное открытое подмножество реального координатного пространства R. н или комплексное координатное пространство C н . Связное открытое подмножество координатного пространства часто используется для определения области определения функции , но в целом функции могут быть определены на множествах, которые не являются топологическими пространствами.

Основная идея связанного подмножества пространства восходит к XIX веку, но точные определения немного различаются от поколения к поколению, от автора к автору и от издания к изданию, поскольку концепции развивались, а термины переводились между немецкими, французскими и английскими произведениями. . В английском языке некоторые авторы используют термин домен , [1] некоторые используют термин регион , [2] некоторые используют оба термина как взаимозаменяемые, [3] а некоторые определяют эти два термина немного по-разному; [4] некоторые избегают двусмысленности, придерживаясь такой фразы, как « непустое связное открытое подмножество» . [5]

Соглашения [ править ]

Одним из распространенных соглашений является определение домена как связного открытого множества, а региона — как объединения доменов, не имеющих ни одной, некоторых или всех своих предельных точек . [6] или Закрытая область закрытая область — это объединение области и всех ее предельных точек.

Различные степени гладкости границы области необходимы для выполнения различных свойств функций, определенных в области, таких как интегральные теоремы ( теорема Грина , теорема Стокса ), свойства пространств Соболева , а также для определения мер на границе и пространствах. следов (обобщенных функций , определенных на границе). Обычно рассматриваемыми типами областей являются области с непрерывной границей, липшицевой границей , C 1 граница и так далее.

Ограниченная область — это область, которая ограничена , т. е. содержится в некотором шаре. Ограниченная область определяется аналогично. или Внешний домен внешний домен — это домен, дополнение которого ограничено; иногда на его границе накладываются условия гладкости.

В комплексном анализе комплексная область (или просто область ) — это любое связное открытое подмножество плоскости C. комплексной Например, вся комплексная плоскость является областью, как и открытый единичный диск , открытая верхняя полуплоскость и т. д. Часто комплексная область определения служит областью определения голоморфной функции . При изучении нескольких комплексных переменных определение области расширяется и включает в себя любое связное открытое подмножество C. н .

В евклидовых пространствах протяженность одно-, двух- и трехмерных областей называются соответственно длиной , площадью и объемом .

Исторические заметки [ править ]

Определение . Открытое множество называется связным, если его нельзя выразить в виде суммы двух открытых множеств. Открытое связное множество называется доменом.

Русский : Открытое множество точек называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух открытых наборов точек. Открытое связное множество точек называется регионом.

- Константин Каратеодори , ( Каратеодори, 1918 , стр. 222)

По словам Ханса Хана , [7] Понятие области как открытого связного множества было введено Константином Каратеодори в его знаменитой книге ( Carathéodory 1918 ). В этом определении Каратеодори рассматривает заведомо непустые непересекающиеся множества.Хан также отмечает, что слово « Gebiet » (« Домен ») ранее иногда использовалось как синоним открытого множества . [8] Грубая концепция старше. В XIX и начале XX века термины «домен» и «регион» часто использовались неофициально (иногда как синонимы) без явного определения. [9]

Однако термин «домен» иногда использовался для обозначения тесно связанных, но несколько разных понятий. Например, в своих влиятельных монографиях по эллиптическим уравнениям в частных производных Карло Миранда использует термин «область» для обозначения открытого связного множества. [10] [11] и резервирует термин «домен» для обозначения внутренне связанного, [12] совершенное множество , каждая точка которого является точкой накопления внутренних точек, [10] вслед за своим бывшим хозяином Мауро Пиконе : [13] согласно этому соглашению, если множество A является областью, то его замыкание A является доменом. [10]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ For instance ( Sveshnikov & Tikhonov 1978 , §1.3 pp. 21–22 ).
  2. ^ Например ( Черчилль 1948 , §1.9, стр. 16–17 ); ( Альфорс 1953 , §2.2 стр. 58 ); ( Рудин 1974 , §10.1, стр. 213 ) сохраняет термин область определения для области определения функции; ( Carathéodory 1964 , стр. 97 ) использует термин «регион» для связного открытого множества и термин «континуум» для связного закрытого множества.
  3. ^ Например ( Таунсенд 1915 , §10, стр. 20 ); ( Кэрриер, Крук и Пирсон, 1966 , §2.2, стр. 32 ).
  4. ^ Например ( Черчилль 1960 , §1.9 стр. 17 ), который не требует, чтобы регион был подключен или открыт.
  5. ^ Например ( Dieudonné 1960 , §3.19, стр. 64–67 ) обычно использует фразу « открытое связное множество» , но позже определяет односвязную область ( §9.7, стр. 215 ); Тао, Теренс (2016). «246А, Примечания 2: сложная интеграция» . Кроме того, ( Бремерманн, 1956 ) назвал область открытым множеством, а область — составным открытым множеством.
  6. ^ Например ( Fuchs & Shabat 1964 , §6, стр. 22–23 );( Крейциг 1972 , §11.1 стр. 469 ); ( Квок 2002 , §1.4, стр. 23.)
  7. ^ См. ( Hahn 1921 , стр. 85, сноска 1 ).
  8. ↑ Хан (1921 , стр. 61, сноска 3 ), комментируя только что данное определение открытого множества («offene Menge»), точно утверждает: — « Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung «Gebiet» in Gebrauch, die wir (§ 5, С. 85) anders verwenden werden » (Вольный английский перевод:-) Раньше для таких наборов точек изредка использовался термин «Gebiet», и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) с. другой смысл » .
  9. ^ Например ( Форсайт 1893 использует термин «регион» ) неформально повсюду (например, §16, стр. 21 неформального выражения ) рядом с частью z -плоскости и определяет область определения точки a для функции f как наибольшую r -окрестность точки а, которой f голоморфна в ( §32, с. 52 ). В первом издании влиятельного учебника ( Whittaker 1902 ) термины «домен» и «регион» используются неформально и, очевидно, как взаимозаменяемые. Во втором издании ( Whittaker & Watson 1915 , §3.21, стр. 44 ) открытая область определяется как внутренняя часть простой замкнутой кривой , а закрытая область или область - как открытая область вместе с ее граничной кривой. ( Goursat 1905 , §262, стр. 10 ) определяет région [область] или aire [площадь] как связную часть плоскости. ( Таунсенд 1915 , §10, стр. 20 ) определяет область или область как связную часть комплексной плоскости, состоящую только из внутренних точек.
  10. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с См. (Миранда 1955 , стр. 1, 1970 , стр. 2).
  11. ^ Именно в первом издании своей монографии Миранда (1955 , стр. 1) использует итальянский термин « campo », означающий буквально «поле», аналогично его значению в сельском хозяйстве : во втором издании книги Зейн К. Моттелер правильно переводит этот термин как «регион».
  12. ^ Внутренне связное множество — это множество, внутренность которого связна.
  13. ^ См. ( Пиконе 1923 , стр. 66).

Ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Domain_(mathematical_analysis)&oldid=1226995879"