Jump to content

Макбет регион

Область Макбита вокруг точки x в выпуклом теле K и масштабированная область Макбита вокруг точки x в выпуклом теле K

В математике область Макбита — это явно определенная область в выпуклом анализе на ограниченном выпуклом подмножестве евклидова d -мерного пространства. . Идею предложил Александр Макбит ( 1952 ). [1] и дублирован Г. Эвальдом, Д. Г. Ларманом и К. А. Роджерсом в 1970 году. [2] Области Макбита использовались для решения некоторых сложных задач при изучении границ выпуклых тел. [3] В последнее время они стали использоваться при изучении выпуклых приближений и других аспектов вычислительной геометрии . [4] [5]

Определение

[ редактировать ]

Пусть K — ограниченное выпуклое множество в евклидовом пространстве . Учитывая точку x и масштабатор λ, область Макбита вокруг точки x в масштабе λ равна:

Масштабированная область Макбита в точке x определяется как:

Можно увидеть, что это пересечение K с отражением K вокруг x, масштабируемым по λ.

Пример использования

[ редактировать ]
  • Регионы Макбита можно использовать для создания аппроксимации по отношению к расстоянию Хаусдорфа выпуклых форм с точностью до фактора комбинаторная сложность нижней оценки. [5]
  • Области Макбита можно использовать для аппроксимации шаров в метрике Гильберта , например, для любого выпуклого K , содержащего x и a. затем: [4] [6]
  • Метод Дикина

Характеристики

[ редактировать ]
  • The центрально симметричен относительно x.
  • Области Макбита представляют собой выпуклые множества .
  • Если и затем . [3] [4] По сути, если две области Макбита пересекаются, вы можете масштабировать одну из них, чтобы вместить другую.
  • Если некоторый выпуклый K в содержащий как шар радиуса r, так и полупространство H , полупространство которого не пересекается с шаром, и шапку нашего выпуклого множества имеет ширину, меньшую или равную , мы получаем для x центр тяжести K в ограничивающей гиперплоскости H. [3]
  • Учитывая выпуклое тело в канонической форме, то любая шапочка K шириной не более затем , где x — центр тяжести основания колпачка. [5]
  • Учитывая выпуклый K и некоторую константу , то для любой точки x в шапке C группы K мы знаем . В частности, когда , мы получаем . [5]
  • Учитывая выпуклое тело K и шапку C тела K , если x находится в K и мы получаем . [5]
  • Учитывая небольшой и выпуклый в канонической форме существует некоторая совокупность центрально-симметричные непересекающиеся выпуклые тела и шапки такой, что для некоторой постоянной и в зависимости от d имеем: [5]
    • Каждый имеет ширину , и
    • Если C — любая крышка шириной должно существовать i , чтобы и
  1. ^ Макбит, AM (сентябрь 1952 г.). «Теорема о неоднородных решетках». Анналы математики . 56 (2): 269–293. дои : 10.2307/1969800 . JSTOR   1969800 .
  2. ^ Эвальд, Г.; Ларман, генеральный директор; Роджерс, Калифорния (июнь 1970 г.). «Направления отрезков и r-мерных шаров на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве». Математика . 17 (1): 1–20. дои : 10.1112/S0025579300002655 .
  3. ^ Jump up to: а б с Барань, Имре (8 июня 2001 г.). «Техника М-областей и шапочных покрытий: обзор». Рендиконти ди Палермо . 65 : 21–38.
  4. ^ Jump up to: а б с Абделькадер, Ахмед; Маунт, Дэвид М. (2018). «Экономичные множества Делоне для аппроксимации выпуклых тел». 16-й Скандинавский симпозиум и семинары по теории алгоритмов (SWAT 2018) . 101 : 4:1–4:12. doi : 10.4230/LIPIcs.SWAT.2018.4 .
  5. ^ Jump up to: а б с д и ж Арья, Сунил; да Фонсека, Гильерме Д.; Маунт, Дэвид М. (декабрь 2017 г.). «О комбинаторной сложности аппроксимации многогранников». Дискретная и вычислительная геометрия . 58 (4): 849–870. arXiv : 1604.01175 . дои : 10.1007/s00454-016-9856-5 . S2CID   1841737 .
  6. ^ Верникос, Константин; Уолш, Кормак (2021). «Флаговая аппроксимация выпуклых тел и рост объема гильбертовой геометрии». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 54 (5): 1297–1314. arXiv : 1809.09471 . дои : 10.24033/asens.2482 . S2CID   53689683 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 9b5f086aa7dd7bcf88429bf77aee7349__1695006720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9b/49/9b5f086aa7dd7bcf88429bf77aee7349.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Macbeath region - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)