Макбет регион
В математике область Макбита — это явно определенная область в выпуклом анализе на ограниченном выпуклом подмножестве евклидова d -мерного пространства. . Идею предложил Александр Макбит ( 1952 ). [1] и дублирован Г. Эвальдом, Д. Г. Ларманом и К. А. Роджерсом в 1970 году. [2] Области Макбита использовались для решения некоторых сложных задач при изучении границ выпуклых тел. [3] В последнее время они стали использоваться при изучении выпуклых приближений и других аспектов вычислительной геометрии . [4] [5]
Определение
[ редактировать ]Пусть K — ограниченное выпуклое множество в евклидовом пространстве . Учитывая точку x и масштабатор λ, область Макбита вокруг точки x в масштабе λ равна:
Масштабированная область Макбита в точке x определяется как:
Можно увидеть, что это пересечение K с отражением K вокруг x, масштабируемым по λ.
Пример использования
[ редактировать ]- Регионы Макбита можно использовать для создания аппроксимации по отношению к расстоянию Хаусдорфа выпуклых форм с точностью до фактора комбинаторная сложность нижней оценки. [5]
- Области Макбита можно использовать для аппроксимации шаров в метрике Гильберта , например, для любого выпуклого K , содержащего x и a. затем: [4] [6]
- Метод Дикина
Характеристики
[ редактировать ]- The центрально симметричен относительно x.
- Области Макбита представляют собой выпуклые множества .
- Если и затем . [3] [4] По сути, если две области Макбита пересекаются, вы можете масштабировать одну из них, чтобы вместить другую.
- Если некоторый выпуклый K в содержащий как шар радиуса r, так и полупространство H , полупространство которого не пересекается с шаром, и шапку нашего выпуклого множества имеет ширину, меньшую или равную , мы получаем для x центр тяжести K в ограничивающей гиперплоскости H. — [3]
- Учитывая выпуклое тело в канонической форме, то любая шапочка K шириной не более затем , где x — центр тяжести основания колпачка. [5]
- Учитывая выпуклый K и некоторую константу , то для любой точки x в шапке C группы K мы знаем . В частности, когда , мы получаем . [5]
- Учитывая выпуклое тело K и шапку C тела K , если x находится в K и мы получаем . [5]
- Учитывая небольшой и выпуклый в канонической форме существует некоторая совокупность центрально-симметричные непересекающиеся выпуклые тела и шапки такой, что для некоторой постоянной и в зависимости от d имеем: [5]
- Каждый имеет ширину , и
- Если C — любая крышка шириной должно существовать i , чтобы и
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Макбит, AM (сентябрь 1952 г.). «Теорема о неоднородных решетках». Анналы математики . 56 (2): 269–293. дои : 10.2307/1969800 . JSTOR 1969800 .
- ^ Эвальд, Г.; Ларман, генеральный директор; Роджерс, Калифорния (июнь 1970 г.). «Направления отрезков и r-мерных шаров на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве». Математика . 17 (1): 1–20. дои : 10.1112/S0025579300002655 .
- ^ Jump up to: а б с Барань, Имре (8 июня 2001 г.). «Техника М-областей и шапочных покрытий: обзор». Рендиконти ди Палермо . 65 : 21–38.
- ^ Jump up to: а б с Абделькадер, Ахмед; Маунт, Дэвид М. (2018). «Экономичные множества Делоне для аппроксимации выпуклых тел». 16-й Скандинавский симпозиум и семинары по теории алгоритмов (SWAT 2018) . 101 : 4:1–4:12. doi : 10.4230/LIPIcs.SWAT.2018.4 .
- ^ Jump up to: а б с д и ж Арья, Сунил; да Фонсека, Гильерме Д.; Маунт, Дэвид М. (декабрь 2017 г.). «О комбинаторной сложности аппроксимации многогранников». Дискретная и вычислительная геометрия . 58 (4): 849–870. arXiv : 1604.01175 . дои : 10.1007/s00454-016-9856-5 . S2CID 1841737 .
- ^ Верникос, Константин; Уолш, Кормак (2021). «Флаговая аппроксимация выпуклых тел и рост объема гильбертовой геометрии». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 54 (5): 1297–1314. arXiv : 1809.09471 . дои : 10.24033/asens.2482 . S2CID 53689683 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Дутта, Кунал; Гош, Ариджит; Жарту, Брюно; Мустафа, Набиль (2019). «Мелкие упаковки, полуалгебраические системы множеств, области Макбита и полиномиальное разбиение» . Дискретная и вычислительная геометрия . 61 (4): 756–777. дои : 10.1007/s00454-019-00075-0 . S2CID 127559205 .