Гильбертова метрика

В математике метрика Гильберта , также известная как проективная метрика Гильберта , представляет собой явно определенную функцию расстояния на ограниченном выпуклом подмножестве евклидова n -мерного пространства R. ^н . Он был введен Дэвидом Гильбертом ( 1895 ) как обобщение формулы Кэли для расстояния в модели Кэли-Клейна гиперболической геометрии , где выпуклое множество представляет собой n -мерный открытый единичный шар . Метрика Гильберта была применена к теории Перрона – Фробениуса и к построению гиперболических пространств Громова .

Определение

Пусть Ω — выпуклая открытая область евклидова пространства , не содержащая прямой. Для заданных двух различных точек A и B в Ω пусть X и Y в которых прямая AB пересекает границу Ω, где порядок точек равен X , A , B , Y. — точки , Тогда гильбертово расстояние d ( A , B ) является логарифмом двойного отношения этой четверки точек:

$d(A,B)=\log \left({\frac {|YA|}{|YB|}}{\frac {|XB|}{|XA|}}\right).$

Функция d распространяется на все пары точек, полагая d ( A , A ) = 0, и определяет метрику на Ω. Если одна из точек A и B лежит на границе Ω, то d можно формально определить как +∞, что соответствует предельному случаю приведенной выше формулы когда один из знаменателей равен нулю.

Вариант этой конструкции возникает для замкнутого выпуклого конуса K в банаховом пространстве V (возможно, бесконечномерном). конус K Кроме того, предполагается, что заостренный , т.е. K ∩ (− K ) = {0}, и, таким образом, K определяет частичный порядок $\leq _{K}$ на В. ​Учитывая любые векторы v и w из K \ {0}, сначала определяют

$M(v/w)=\inf\{\lambda :v\leq _{K}\lambda w\},\quad m(v/w)=\sup\{\mu :\mu w\leq _{K}v\}.$

Тогда псевдометрика Гильберта на K \ {0} определяется по формуле

$d(v,w)=\log {\frac {M(v/w)}{m(v/w)}}.$

Он инвариантен при изменении масштаба v и w , таким образом, сводится к метрике в пространстве лучей K , что интерпретируется как проективизация K с помощью положительных констант и (чтобы d было конечным, необходимо ограничиться интерьер К ). Более того, если K ⊂ R × V — конус над выпуклым множеством Ω,

$K=\{(t,tx):t\in \mathbb {R} ,x\in \Omega \},$

тогда пространство лучей K канонически изоморфно Ω. Если v и w — векторы лучей в K, соответствующие точкам A , B ∈ Ω, то эти две формулы для d дают одно и то же значение расстояния.

Примеры

• В случае, когда область Ω является единичным шаром в R ^н , формула для d совпадает с выражением для расстояния между точками в модели Кэли–Клейна гиперболической геометрии с точностью до мультипликативной константы.
• Если конус K является положительным ортантом в R ^н тогда индуцированную метрику проективизации K часто называют просто проективной метрикой Гильберта . Этот конус соответствует области Ω, которая представляет собой правильный симплекс размерности n − 1.

Мотивация и приложения

• Гильберт ввел свою метрику для того, чтобы построить аксиоматическую метрическую геометрию, в которой существуют треугольники ABC , вершины которых A , B , C не лежат на одной прямой , но одна из сторон равна сумме двух других — отсюда следует, что кратчайший путь соединение двух точек не уникально в этой геометрии. В частности, это происходит, когда выпуклое множество Ω является евклидовым треугольником и прямые продолжения отрезков AB , BC , AC не пересекают внутреннюю часть одной из сторон Ω.
• Гаррет Биркгоф использовал метрику Гильберта и принцип банахового сжатия , чтобы переформулировать теорему Перрона – Фробениуса в конечномерной линейной алгебре и ее аналоги для интегральных операторов с положительными ядрами. Идеи Биркгофа получили дальнейшее развитие и использовались для установления различных нелинейных обобщений теоремы Перрона-Фробениуса, которые нашли значительное применение в информатике, математической биологии, теории игр, теории динамических систем и эргодической теории.
• Обобщая более ранние результаты Андерса Карлссона и Геннадия Носкова, Ив Бенуа определил систему необходимых и достаточных условий ограниченной выпуклой области в R. ^н , наделенное своей гильбертовой метрикой, быть гиперболическим пространством Громова .
• К. Верникос и К. Уолш показали, что шары в метрике Гильберта и асимптотические шары приблизительно эквивалентны с точностью до постоянных множителей.
• К. Верникос и К. Уолш, затем расширенные Дэвидом Маунтом и Ахмедом Абделькадером, показали, что шары в областях метрики Гильберта и Макбита примерно эквивалентны с точностью до постоянных множителей.

Ссылки

• де ла Арп, Пьер (1993). «О метрике Гильберта» . У Грэма Нибло; Мартин Роллер (ред.). Геометрическая теория групп, Том 1 . Конспекты лекций Лондонской математической серии. Том. 1. Издательство Кембриджского университета . стр. 97–119. дои : 10.1017/CBO9780511661860.009 . МР   1238518 .
• Медведь, HS (1991). «Метрика детали и гиперболическая метрика» (PDF) . амер. Математика. Ежемесячно . 98 . Математическая ассоциация Америки : 109–123. МР   1089455 .
• Бенуа, Ив (2003). «Гиперболические выпуклости и квазисимметричные функции». Опубл. Математика. Инст. Высшие исследования Sci. (на французском языке). 97 : 181–237.
• Биркгоф, Гаррет (1957). «Расширения теоремы Йенча». Пер. амер. Математика. Соц. 85 : 219–227.
• Нильсен, Франк; Сан, Ке (2017), «Кластеризация в проективной геометрии Гильберта: тематические исследования симплекса вероятностей и эллиптопа корреляционных матриц», Геометрические структуры информации , сигналов и коммуникационных технологий, стр. 297–331, arXiv : 1704.00454 , doi : 10.1007/978-3-030-02520-5_11 , ISBN  978-3-030-02519-9 , S2CID   125430592
• Нильсен, Франк; Шао, Летиция (2017), О шарах в полигональной геометрии Гильберта , том. 77, LIPics-Leibniz International Proceedings in Informatics (SoCG), заархивировано из оригинала 20 декабря 2021 г.
• Бушелл, П.Дж. (1973). «Метрика Гильберта и отображения положительного сжатия в банаховом пространстве». Арх. Рацион. Мех. Анальный. 52 : 330–338.
• Гильберт, Дэвид (1895). «О прямой как кратчайшем соединении двух точек» . Математические летописи . 46 . Шпрингер Берлин / Гейдельберг: 91–96. дои : 10.1007/BF02096204 . ISSN   0025-5831 . ЖФМ   26.0540.02 . S2CID   124861055 .
• Пападопулос, Афанасий; Троянов, Марк (2014). Справочник по гильбертовой геометрии . Европейское математическое общество.
• Лемменс, Бас; Нуссбаум, Роджер (2012). Нелинейная теория Перрона-Фробениуса . Кембриджские трактаты по математике. Том. 189. Издательство Кембриджского университета .
• Верникос, Константин; Уолш, Кормак (25 сентября 2018 г.), «Аппроксимируемость флагами выпуклых тел и рост объема гильбертовой геометрии», arXiv : 1809.09471v1 [ math.MG ]
• Абделькадер, Ахмед; Маунт, Дэвид М. (2018), «Экономические множества Делоне для аппроксимации выпуклых тел», 16-й Скандинавский симпозиум и семинары по теории алгоритмов (SWAT 2018) , 101 : 4:1–4:12, doi : 10.4230/LIPIcs.SWAT. 2018.4