Проективизация
 |
В математике проективизация — это которая сопоставляет ненулевому векторному пространству V проективное пространство P ( V ) одномерными подпространствами V. процедура , , элементы которого являются В более общем смысле, любое подмножество S из V, замкнутое относительно скалярного умножения, определяет подмножество P ( V ), линиями, содержащимися в S, и называется проективизацией S. образованное
Характеристики
[ редактировать ]- Проективизация — это частный случай факторизации действием : группы проективное пространство P ( V ) — это факторизация открытого множества V \{0} ненулевых векторов по действию мультипликативной группы основного поля скалярными преобразованиями. Размерность ( P на в V ) смысле алгебраической геометрии единицу меньше размерности векторного V. пространства
- Проективизация функториальна по отношению к инъективным линейным отображениям: если
- является линейным отображением с тривиальным ядром , то f определяет алгебраическое отображение соответствующих проективных пространств,
- , общая линейная группа GL( V ) действует на проективном пространстве P ( V ) автоморфизмами В частности .
Проективное завершение
[ редактировать ]Соответствующая процедура встраивает векторное пространство V над полем K в проективное пространство P ( V ⊕ K ) той же размерности. Каждому вектору v из V он сопоставляет линию, натянутую на вектор ( v , 1) из V ⊕ K .
Обобщение
[ редактировать ]В алгебраической геометрии существует процедура, которая сопоставляет проективному многообразию Proj S градуированную коммутативную алгебру S (при некоторых технических ограничениях на S ). Если S — алгебра полиномов в векторном пространстве V , то Proj S — это P ( S ) . Эта конструкция Прожа порождает контравариантный функтор из категории градуированных коммутативных колец и сюръективных градуированных отображений в категорию проективных схем .