Строительство проекта

«Продж» перенаправляется сюда. Информацию о программном обеспечении для картографического преобразования см. в PROJ . Информацию о векторной операции см. в разделе Векторная проекция .

В алгебраической геометрии Proj — конструкция, аналогичная «спектр кольца» конструкции аффинных схем , которая создает объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не функториальна , является фундаментальным инструментом в теории схем .

В этой статье все кольца будут считаться коммутативными и единичными.

Проект градуированного кольца

Проект как набор

Позволять $S$ — коммутативное градуированное кольцо , где

$$S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}$$

– разложение в прямую сумму, связанное с градацией. Неактуальный идеал ​ $S$ – идеал элементов положительной степени

$$S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.$$

Мы говорим, что идеал однороден, если он порождается однородными элементами. Затем в виде набора

$$\operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.$$

Для краткости иногда будем писать $X$ для $\operatorname {Proj} S$.

пространство

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зарисского , на $\operatorname {Proj} S$ определив замкнутые множества как множества вида

$V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},$

где $a$ представляет собой однородный идеал $S$. Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что $V(a)$ образуют замкнутые множества топологии на $X$.

Действительно, если $(a_{i})_{i\in I}$ представляют собой семью идеалов, то мы имеем ${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ и если набор индексов I конечен, то ${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

Эквивалентно, мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

$D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.$

Распространенным сокращением является обозначение $D(Sf)$ к $D(f)$, где $Sf$ идеал , порожденный $f$. Для любого идеала $a$, наборы $D(a)$ и $V(a)$ являются дополнительными, и, следовательно, то же доказательство, что и раньше, показывает, что множества $D(a)$ сформировать топологию на $\operatorname {Proj} S$. Преимущество этого подхода в том, что множества $D(f)$, где $f$ распространяется по всем однородным элементам кольца $S$, составляют основу этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа $\operatorname {Proj} S$, как необходим и аналогичный факт для спектра кольца.

Проект как схема

Также строим пучок на $\operatorname {Proj} S$, называемый «структурным пучком», как в аффинном случае, что превращает его в схему . Как и в случае с конструкцией Spec, существует множество путей: наиболее прямой из них, который также очень напоминает построение регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, заключается в следующем. Для любого открытого набора $U$ из $\operatorname {Proj} S$ (который по определению представляет собой набор однородных простых идеалов $S$ не содержащий $S_{+}$) мы определяем кольцо $O_{X}(U)$ быть набором всех функций

$f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}$

(где $S_{(p)}$ обозначает подкольцо кольца частных $S_{p}$ состоящие из долей однородных элементов одной степени) такие, что для каждого простого идеала $p$ из $U$:

1. $f(p)$ является элементом $S_{(p)}$;
2. Существует открытое подмножество $V\subseteq U$ содержащий $p$ и однородные элементы $s,t$ из $S$ одинаковой степени такой, что для каждого простого идеала $q$ из $V$:
   • $t$ не в $q$;
   • $f(q)=s/t$

Из определения непосредственно следует, что $O_{X}(U)$ сформировать связку колец $O_{X}$ на $\operatorname {Proj} S$, и можно показать, что пара ( $\operatorname {Proj} S$, $O_{X}$) на самом деле является схемой (это достигается путем демонстрации того, что каждое из открытых подмножеств $D(f)$ на самом деле является аффинной схемой).

Пучок, связанный с градуированным модулем

Основное свойство $S$ для приведенной конструкции была возможность формировать локализации $S_{(p)}$ для каждого простого идеала $p$ из $S$. Этим свойством обладает и любой градуированный модуль $M$ над $S$, и, следовательно, с соответствующими незначительными изменениями предыдущий раздел строится для любого такого $M$ пучок, обозначаемый ${\tilde {M}}$, из $O_{X}$-модули включены $\operatorname {Proj} S$. Этот пучок квазикогерентен по построению. Если $S$ порождается конечным числом элементов степени $1$ (например, кольцо полиномов или его однородное частное), все квазикогерентные пучки на $\operatorname {Proj} S$ возникают из градуированных модулей этой конструкцией. Соответствующий градуированный модуль не является уникальным.

Извилистый пучок Серра

Сопутствующую информацию и классический пучок скручивания Серра см. в разделе «Тавтологическое расслоение» .

Особым случаем пучка, ассоциированного с градуированным модулем, является случай, когда мы берем $M$ быть $S$ себя с другой градуировкой: а именно, положим степень $d$ элементы $M$ быть степенью $(d+1)$ элементы $S$, так

$$M_{d}=S_{d+1}$$

и обозначим $M=S(1)$. Затем мы получаем ${\tilde {M}}$ как квазикогерентный пучок на $\operatorname {Proj} S$, обозначенный $O_{X}(1)$ или просто ${\mathcal {O}}(1)$ называемый скручивающим пучком Серра , . Это можно проверить ${\mathcal {O}}(1)$ на самом деле является обратимым пучком .

Одна из причин полезности ${\mathcal {O}}(1)$ заключается в том, что он восстанавливает алгебраическую информацию $S$ которое было потеряно, когда при строительстве $O_{X}$, мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec A для кольца A глобальные сечения структурного пучка образуют само A , тогда как глобальные сечения ${\mathcal {O}}_{X}$ здесь образуют только элементы нулевой степени $S$. Если мы определим

${\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)$

затем каждый ${\mathcal {O}}(n)$ содержит степень- $n$ информация о $S$, обозначенный $S_{n}$, и вместе они содержат всю потерянную информацию об оценках. Аналогично для любого пучка градуированных ${\mathcal {O}}_{X}$-модули $N$ мы определяем

$N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)$

и ожидайте, что этот «скрученный» пучок будет содержать оценочную информацию о $N$. В частности, если $N$ пучок, связанный с градуированным $S$-модуль $M$ мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию об оценках $M$. Это предполагает, хотя и ошибочно, что $S$ на самом деле можно восстановить по этим пучкам; как

$$\bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))$$

однако это верно в том случае, если $S$ - кольцо полиномов, см. ниже. Этой ситуации следует противопоставить тот факт, что функтор spec сопряжен с функтором глобальных сечений в категории локально окольцованных пространств .

Проективное n -пространство

Основная статья: Алгебраическая геометрия проективных пространств

Если $A$ является кольцом, мы определяем проективное n -пространство над $A$ быть схемой

$\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].$

Градуировка на кольце полиномов $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ определяется, позволяя каждому $x_{i}$ иметь степень одного и каждого элемента $A$, градус ноль. Сравнивая это с определением ${\mathcal {O}}(1)$, выше мы видим, что разделы ${\mathcal {O}}(1)$ на самом деле являются линейными однородными полиномами, порожденными $x_{i}$ сами себя. Это предполагает другую интерпретацию ${\mathcal {O}}(1)$, а именно как пучок «координат» для $\operatorname {Proj} S$, поскольку $x_{i}$ буквально являются координатами для проективного $n$-космос.

Примеры проектов

Продж по аффинной линии

Если мы позволим базовому кольцу быть $A=\mathbb {C} [\lambda ]$, затем

$$X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)$$

имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой $\mathbb {A} _{\lambda }^{1}$ слои которого представляют собой эллиптические кривые, за исключением точек $\lambda =0,1$ где кривые вырождаются в узловые кривые. Итак, существует расслоение

$${\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}$$

что также является гладким морфизмом схем (что можно проверить с помощью критерия Якобиана ).

Проективные гиперповерхности и разновидности

Проективная гиперповерхность $\operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)$ является примером трехмерного многообразия Ферма квинтики , которое также является многообразием Калаби – Яу . Помимо проективных гиперповерхностей, любое проективное многообразие, вырезанное системой однородных многочленов

$$f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0$$

в $(n+1)$-переменные можно преобразовать в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры

$${\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}$$

дающее вложение проективных многообразий в проективные схемы.

пространство

Основная статья: Взвешенное проективное пространство

Взвешенные проективные пространства можно построить с использованием кольца полиномов, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство $\mathbb {P} (1,1,2)$ соответствует взятию $\operatorname {Proj}$ кольца $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ где $X_{0},X_{1}$ иметь вес $1$ пока $X_{2}$ имеет вес 2.

Биградные кольца

Конструкция проекта распространяется на биградуированные и многоградусные кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца

$$A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]$$

со степенью каждого образующего $1$. Тогда тензорное произведение этих алгебр по $\mathbb {C}$ дает биградуированную алгебру

$${\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}$$

где $X_{i}$ иметь вес $(1,0)$ и $Y_{i}$ иметь вес $(0,1)$. Тогда конструкция проекта дает

$${\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}$$

которое является продуктом проективных схем. Существует вложение таких схем в проективное пространство путем взятия тотальной градуированной алгебры

$$S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }$$

где степень $(a,b)$ элемент рассматривается как степень $(a+b)$ элемент. Это означает, $k$-th сорт кусок $S_{\bullet }$ это модуль

$$S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}$$

Кроме того, схема ${\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })$ теперь поставляется с биградуированными шкивами ${\mathcal {O}}(a,b)$ которые являются тензорным произведением пучков $\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)$ где

$$\pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })$$

и

$$\pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })$$

являются каноническими проекциями, возникающими в результате инъекций этих алгебр из тензорной диаграммы произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект

Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S пучком алгебр и в результате дает схему, которую можно рассматривать как расслоение колец Proj. Эта конструкция часто используется, например, для построения проективных пространственных расслоений над базовой схемой .

Предположения

Формально, пусть X — любая схема , а S — пучок градуированных $O_{X}$-алгебры (определение которых аналогично определению $O_{X}$-модули на локально окольцованном пространстве ): т. е. пучок с разложением в прямую сумму

$S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}$

где каждый $S_{i}$ это $O_{X}$-модуль такой, что для любого открытого подмножества в X S U ( U ) является $O_{X}(U)$-алгебра и полученное разложение в прямую сумму

$S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)$

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что $S_{0}=O_{X}$. Сделаем дополнительное предположение, что S — квазикогерентный пучок ; это предположение о «непротиворечивости» сечений над разными открытыми множествами, необходимое для продолжения построения.

Строительство

В этой установке мы можем построить схему $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ «проекционное» отображение p на X такое, что для любого открытого аффинного U X и ,

$(\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).$

Это определение предполагает, что мы построим $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ предварительно определив схемы $Y_{U}$ для каждого открытого аффинного U , установив

$Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),$

и карты $p_{U}\colon Y_{U}\to U$, а затем покажем, что эти данные можно склеить «поверх» каждого пересечения двух открытых аффинов U и V, чтобы сформировать схему Y , которую мы определяем как $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$. Нетрудно показать, что определение каждого $p_{U}$ быть отображением, соответствующим включению $O_{X}(U)$ в S ( U ) как элементы нулевой степени, дает необходимую согласованность $p_{U}$, в то время как консистенция $Y_{U}$ сами по себе следуют из предположения квазикогерентности на S .

Извилистый пучок

Если S обладает дополнительным свойством, которое $S_{1}$ является когерентным пучком и локально порождает S над $S_{0}$ (то есть, когда мы переходим к стеблю пучка S в точке x из X , которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо $O_{X,x}$ то элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над $O_{X,x}$ а также сгенерировать стебель как алгебру над ним), то мы можем сделать дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффином U Proj S ( U ) несет обратимый пучок O(1) , и только что сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки могут быть склеены так же, как и $Y_{U}$ выше; полученный пучок на $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ также обозначается O (1) и служит примерно той же цели для $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ как это делает скручивающий пучок на Proj кольца.

Проект квазикогерентного пучка

Позволять ${\mathcal {E}}$ быть квазикогерентным пучком на схеме $X$. Пучок симметрических алгебр $\mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})$ естественно, является квазикогерентным пучком градуированных $O_{X}$-модули, порожденные элементами степени 1. Полученную схему обозначим через $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$. Если ${\mathcal {E}}$ имеет конечный тип, то его канонический морфизм $p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X$ является проективным морфизмом .

Для любого $x\in X$, слой указанного морфизма над $x$ это проективное пространство $\mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))$ связанный с двойственным векторным пространством ${\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)$ над $k(x)$.

Если ${\mathcal {S}}$ представляет собой квазикогерентный пучок градуированных $O_{X}$-модули, генерируемые ${\mathcal {S}}_{1}$ и такое, что ${\mathcal {S}}_{1}$ имеет конечный тип, то $\mathbf {Proj} {\mathcal {S}}$ представляет собой закрытую подсхему $\mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})$ и тогда проективно $X$. Фактически, каждая замкнутая подсхема проективной $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ имеет такую ​​форму.

Проективные пространственные пучки

Основная статья: Проективное пространство

В качестве частного случая, когда ${\mathcal {E}}$ локально свободен от ранга $n+1$, мы получаем проективное расслоение $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ над $X$ относительного размера $n$. Действительно, если мы возьмем открытое покрытие X аффинами открытыми $U=\operatorname {Spec} (A)$ так что при ограничении каждым из них ${\mathcal {E}}$ свободен над A , то

$\mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},$

и, следовательно, $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, например семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Более подробную информацию смотрите в основной статье.

Пример глобального проекта

Global proj можно использовать для построения карандашей Лефшеца . Например, пусть $X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}$ и возьмем однородные многочлены $f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ степени к. Можно рассматривать идеальный пучок ${\mathcal {I}}=(sf+tg)$ из ${\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ и построим глобальный проект этого факторпучка алгебр ${\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}$. Это можно явно описать как проективный морфизм $\operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}$.

См. также

• Проективное пространство
• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Проективизация

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157