Ферма квинтик тройной

Двумерное сечение трехмерного многообразия Ферма квинтики

В математике трехмерное многообразие Ферма квинтики — это особое трехмерное многообразие квинтики , другими словами, степени 5 и размерности 3 гиперповерхность в 4-мерном комплексном проективном пространстве , определяемая уравнением

$V^{5}+W^{5}+X^{5}+Y^{5}+Z^{5}=0$.

Это тройное многообразие, названное так в честь Пьера де Ферма , является многообразием Калаби–Яу .

Алмаз Ходжа неособой тройки квинтики — это

			1
		0		0
	0		1		0
1		101		101		1
	0		1		0
		0		0
			1

Рациональные кривые

Герберт Клеменс ( 1984 ) предположил, что число рациональных кривых заданной степени в трехмерном многообразии общего положения пятой степени конечно. Трехмерное многообразие Ферма не является общим в этом смысле, и Альберто Альбано и Шелдон Кац ( 1991 ) показали, что его линии содержатся в 50 одномерных семействах вида

$(x:-\zeta x:ay:by:cy)$

для $\zeta ^{5}=1$ и $a^{5}+b^{5}+c^{5}=0$. В более чем одном семействе имеется 375 строк вида

$(x:-\zeta x:y:-\eta y:0)$

для пятых корней единства $\zeta$ и $\eta$.

Ссылки

• Альбано, Альберто; Кац, Шелдон (1991), «Линии на тройном многообразии Ферма и бесконечно малая обобщенная гипотеза Ходжа», Труды Американского математического общества , 324 (1): 353–368, doi : 10.2307/2001512 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   2001512 , МР   1024767
• Клеменс, Герберт (1984), «Некоторые результаты об отображениях Абеля-Якоби», Темы трансцендентальной алгебраической геометрии (Принстон, Нью-Джерси, 1981/1982) , Анналы математических исследований, том. 106, Princeton University Press, стр. 289–304, MR   0756858.
• Кокс, Дэвид А .; Кац, Шелдон (1999), Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия , Математические обзоры и монографии, том. 68, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1059-0 , МР   1677117