Схема (математика)

В математике схема математическая — это структура , которая расширяет понятие алгебраического разнообразия несколькими способами, например, с учетом кратностей (уравнения x = 0 и x ² = 0 определяют одно и то же алгебраическое многообразие, но разные схемы) и позволяют «многообразия», определенные над любым коммутативным кольцом (например, кривые Ферма определяются над целыми числами ).

Теория схем была представлена ​​Александром Гротендиком в 1960 году в его трактате «Элементы алгебраической геометрии »; одной из его целей была разработка формализма, необходимого для решения глубоких проблем алгебраической геометрии , таких как гипотезы Вейля (последняя из которых была доказана Пьером Делинем ). Теория схем, сильно основанная на коммутативной алгебре , позволяет систематически использовать методы топологии и гомологической алгебры . Теория схем также объединяет алгебраическую геометрию с большей частью теории чисел , что в конечном итоге привело Уайлса к доказательству Великой теоремы Ферма .

Формально схема — это топологическое пространство вместе с коммутативными кольцами для всех его открытых множеств , возникающее в результате склейки спектров (пространств простых идеалов ) коммутативных колец вдоль их открытых подмножеств. Другими словами, это окольцованное пространство , локально являющееся спектром коммутативного кольца.

Относительная точка зрения состоит в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма X → Y схем (называемого схемой X над Y ), а не для отдельной схемы. Например, при изучении алгебраических поверхностей может оказаться полезным рассматривать семейства алгебраических поверхностей над любой Y. схемой Во многих случаях семейство всех многообразий данного типа само по себе можно рассматривать как многообразие или схему, известную как пространство модулей .

Некоторые подробные определения теории схем см. в глоссарии теории схем .

Развитие

Истоки алгебраической геометрии главным образом лежат в изучении полиномиальных уравнений над действительными числами . К 19 веку стало ясно (особенно в работах Жана-Виктора Понселе и Бернхарда Римана ), что алгебраическая геометрия была упрощена за счет работы над полем комплексных чисел , которое имеет то преимущество, что оно алгебраически замкнуто . В начале 20 века постепенно привлекли внимание два вопроса, вызванные проблемами теории чисел: как можно развивать алгебраическую геометрию в любом алгебраически замкнутом поле, особенно в положительной характеристике ? (Инструменты топологии и комплексного анализа, используемые для изучения комплексных многообразий, здесь, похоже, не применимы.) А как насчет алгебраической геометрии над произвольным полем?

Nullstellensatz Гильберта предлагает подход к алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем k : максимальные идеалы в кольце полиномов k [ x ₁ ,..., x _n ] находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством k ^н из n - наборов элементов из k , а простые идеалы соответствуют неприводимым алгебраическим множествам из k ^н , известные как аффинные многообразия. Вдохновленные этими идеями, Эмми Нётер и Вольфганг Крулль разработали предмет коммутативной алгебры в 1920-х и 1930-х годах. Их работы обобщают алгебраическую геометрию в чисто алгебраическом направлении: вместо изучения простых идеалов в кольце многочленов можно изучать простые идеалы в любом коммутативном кольце. Например, Крулл определил размерность любого коммутативного кольца в терминах простых идеалов. По крайней мере, когда кольцо нётерово , он доказал многие свойства, которые можно было бы ожидать от геометрического понятия размерности.

Коммутативную алгебру Нётер и Крулла можно рассматривать как алгебраический подход к аффинным алгебраическим многообразиям. Однако многие аргументы в алгебраической геометрии работают лучше для проективных многообразий , главным образом потому, что проективные многообразия компактны . С 1920-х по 1940-е годы Б.Л. ван дер Варден , Андре Вейль и Оскар Зариски применяли коммутативную алгебру как новую основу алгебраической геометрии в более богатом наборе проективных (или квазипроективных ) многообразий. В частности, топология Зарисского является полезной топологией многообразия над любым алгебраически замкнутым полем, заменяющей в некоторой степени классическую топологию комплексного многообразия (основанную на топологии комплексных чисел).

Для приложений к теории чисел Ван дер Варден и Вейль сформулировали алгебраическую геометрию над любым полем, не обязательно алгебраически замкнутым. Вейль был первым, кто определил абстрактное многообразие (не вложенное в проективное пространство ) путем склеивания аффинных многообразий вдоль открытых подмножеств на модели многообразий в топологии. Эта общность понадобилась ему для построения якобиана многообразия кривой над любым полем. показали, что якобианы являются проективными многообразиями (Позже Вейль, Чоу и Мацусака .)

Алгебраические геометры итальянской школы часто пользовались несколько туманным понятием общей точки алгебраического многообразия. То, что верно для общей точки, верно и для «большинства» точек многообразия. Вейля В «Основах алгебраической геометрии» (1946) общие точки строятся путем взятия точек из очень большого алгебраически замкнутого поля, называемого универсальной областью . Хотя это работало как основа, это было неудобно: для одного и того же сорта существовало много разных родовых точек. (В более поздней теории схем каждое алгебраическое многообразие имеет одну общую точку.)

В 1950-х годах Клод Шевалле , Масаеши Нагата и Жан-Пьер Серр , частично мотивированные гипотезами Вейля, связывающими теорию чисел и алгебраическую геометрию, еще больше расширили объекты алгебраической геометрии, например, путем обобщения разрешенных базовых колец. Слово «схема» впервые было использовано на семинаре Шевалле 1956 года, на котором Шевалле развивал идеи Зариского. По мнению Пьера Картье , именно Андре Мартино подсказал Серру возможность использования спектра произвольного коммутативного кольца как основу алгебраической геометрии.

Происхождение схем

Затем Гротендик дал решающее определение схемы, подведя итоги ряда экспериментальных предложений и частичных разработок. Он определил спектр X коммутативного кольца R как пространство простых идеалов R O топология Зарисского), но дополнил его пучком колец : каждому открытому подмножеству U он поставил в соответствие коммутативное кольцо с естественной топологией (известной как _Х ( У ). Эти объекты Spec( R ) являются аффинными схемами; тогда общая схема получается «склейкой» аффинных схем.

Большая часть алгебраической геометрии фокусируется на проективных или квазипроективных многообразиях над полем k ; на самом деле k часто считается комплексным числом. Схемы такого рода весьма специфичны по сравнению с произвольными схемами; сравните примеры ниже. Тем не менее удобно, что Гротендик разработал обширную теорию произвольных схем. Например, обычно пространство модулей сначала строят как схему, а затем изучают, является ли оно более конкретным объектом, таким как проективное многообразие. Кроме того, приложения к теории чисел быстро приводят к схемам над целыми числами, которые не определены ни в одном поле.

Определение

Аффинная схема — это локально окольцованное пространство , изоморфное спектру Spec ( R коммутативного кольца R. ) Схема допускающее — это локально окольцованное пространство X, покрытие открытыми множествами U _i , такое, что каждое U _i (как локально окольцованное пространство) является аффинной схемой. В частности, X имеет пучок O _X , который ставит в соответствие каждому открытому подмножеству U коммутативное кольцо O _X ( U ), называемое кольцом регулярных функций на U . Можно думать о схеме как о покрытой «координатными диаграммами», которые являются аффинными схемами. Определение означает именно то, что схемы получаются склейкой аффинных схем с использованием топологии Зарисского.

Раньше это называлось предсхемой , а схема определялась как отдельная предсхема. Термин «предсхема» вышел из употребления, но его все еще можно найти в старых книгах, таких как «Элементы алгебраической геометрии» Гротендика и «Красная книга» Мамфорда .

Базовым примером аффинной схемы является аффинное n -пространство над полем k для натурального числа n . По определению, А ^н
_k — спектр кольца многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ]. В духе теории схем аффинное n -пространство фактически может быть определено над любым коммутативным кольцом R , что означает Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]).

Категория схем

Схемы образуют категорию с морфизмами, определяемыми как морфизмы локально окольцованных пространств. (См. также: морфизм схем .) Для схемы Y схема X над Y (или Y - схема ) означает морфизм X → Y схем. Схема X над коммутативным кольцом R означает морфизм X → Spec( R ).

Алгебраическое многообразие над полем k можно определить как схему над k с определенными свойствами. Существуют разные соглашения о том, какие именно схемы следует называть разновидностями. Один стандартный выбор состоит в том, что многообразие над k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k .

Морфизм f : X → Y схем определяет гомоморфизм обратного образа на кольцах регулярных функций f *: O ( Y ) → O ( X ). В случае аффинных схем эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между морфизмами Spec( A ) → Spec( B ) схем и гомоморфизмами колец B → A . В этом смысле теория схем полностью включает в себя теорию коммутативных колец.

Поскольку Z является исходным объектом в категории коммутативных колец , категория схем имеет Spec( Z ) в качестве терминального объекта .

схемы X над коммутативным кольцом R точка R - X R Для означает сечение морфизма X → Spec( ) . Записывается X ( R для множества R -точек X. ) В примерах это определение реконструирует старое понятие множества решений определяющих уравнений X со значениями в R . Когда R является полем k , X ( k называется множеством k - рациональных X. ) также точек

, для схемы X кольцом R и любой коммутативной R - алгеброй S точка S - над коммутативным X В более общем смысле означает морфизм Spec( S ) → X над R . Записывается X ( S для множества S -точек X. ) (Это обобщает старое наблюдение о том, что, учитывая некоторые уравнения над полем k , можно рассматривать множество решений уравнений в любом расширении поля E поля k .) Для схемы X над R назначение S ↦ X ( S ) равно функтор R от коммутативных -алгебр к множествам. Важно отметить, что схема X над R определяется этим функтором точек .

Расслоенное произведение схем существует всегда. То есть для любых схем X и Z с морфизмами в схему Y расслоенное произведение X × _Y Z (в смысле теории категорий ) существует в категории схем. Если X и Z — схемы над полем k , их послойное произведение над Spec( k ) можно назвать произведением X × Z в категории k -схем. Например, произведение аффинных пространств A ^м и А ^н над k — аффинное пространство A ^{м + н} более К. ​

Поскольку категория схем имеет расслоенные произведения, а также терминальный объект Spec( Z ), она имеет все конечные пределы .

Примеры

Здесь и далее все рассматриваемые кольца коммутативны:

• Любая аффинная схема Spec( R ) является схемой.
• Полином f над полем k , f ∈ k [ x ₁ , ..., x _n ] , определяет замкнутую подсхему f = 0 в аффинном пространстве A. ^н над k , называемая аффинной гиперповерхностью . Формально это можно определить как
  $$\operatorname {Spec} k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f).$$
  Например, если принять k за комплексное число, уравнение x ² = и ² ( y +1) определяет особую кривую в аффинной плоскости A ²
  _C , называемая узловой кубической кривой .
• кольца R и натурального числа n Для любого коммутативного проективное пространство P ^н
  _R можно построить как схему путем склеивания n + 1 копий аффинного n -пространства над R вдоль открытых подмножеств. Это фундаментальный пример, побуждающий выйти за рамки аффинных схем. Ключевое преимущество проективного пространства перед аффинным пространством состоит в том, что P ^н
  _R собственный ​ над R ; это алгебро-геометрическая версия компактности. Связанное с этим наблюдение заключается в том, что комплексное проективное пространство CP ^н — компакт в классической топологии (на основе топологии C ), тогда как C ^н нет (при n > 0).
• Однородный многочлен f положительной степени в кольце полиномов R [ x ₀ , ..., x _n ] определяет замкнутую подсхему f = 0 в проективном пространстве P ^н над R , называемая проективной гиперповерхностью . В терминах конструкции Proj эту подсхему можно записать как
  $$\operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).$$
  Например, замкнутая подсхема x ³ + и ³ = г ³ П ​ ²
  _Q — эллиптическая кривая над рациональными числами .
• Линия с двумя началами (над полем k ) — это схема, определяемая путем начала с двух копий аффинной линии над k и склеивания двух открытых подмножеств A ¹ − 0 по тождественному отображению. Это простой пример неразделенной схемы. В частности, он не является аффинным.
• Простая причина выйти за рамки аффинных схем состоит в том, что открытое подмножество аффинной схемы не обязательно должно быть аффинным. Например, пусть X = A ^н − 0 , скажем, над комплексными числами C ; тогда X не аффинна при n ≥ 2. (Ограничение на n необходимо: аффинная прямая минус начало координат изоморфна аффинной схеме Spec( C [ x , x ⁻¹ ]) . Чтобы показать, что X не аффинно, вычисляется, что каждая регулярная функция на X расширяется до регулярной функции на A. ^н , когда n ≥ 2. (Это аналог леммы Хартогса в комплексном анализе, хотя и легче доказать.) То есть включение f : X → A ^н индуцирует изоморфизм из O (A ^н ) знак равно C [ Икс ₁ , ...., Икс _п ] до О ( Икс ) . Если бы X был аффинным, из этого следовало бы, что f был изоморфизмом. Но f не сюръективен и, следовательно, не является изоморфизмом. Следовательно, схема X не является аффинной.
• Пусть k — поле. Тогда схема ${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ представляет собой аффинную схему, в основе топологического пространства которой лежит компактификация Стоуна – Чеха натуральных чисел (с дискретной топологией). Фактически, простые идеалы этого кольца находятся во взаимно однозначном соответствии с ультрафильтрами на натуральных числах, с идеалом ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$ соответствующий главному ультрафильтру, связанному с положительным целым числом n . Это топологическое пространство нульмерно , и, в частности, каждая точка является неприводимой компонентой . Поскольку аффинные схемы квазикомпактны , это пример квазикомпактной схемы с бесконечным числом неприводимых компонент. (Напротив, нётерова схема имеет лишь конечное число неприводимых компонентов.)

Примеры морфизмов

Примеры морфизмов также полезно рассматривать как примеры схем, поскольку они демонстрируют свою техническую эффективность для инкапсуляции многих объектов изучения алгебраической и арифметической геометрии.

Арифметические поверхности

Если мы рассмотрим полином $f\in \mathbb {Z} [x,y]$ тогда аффинная схема $X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))$ имеет канонический морфизм на $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ и называется арифметической поверхностью . Волокна $X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})$ тогда являются алгебраическими кривыми над конечными полями $\mathbb {F} _{p}$. Если $f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c$ является эллиптической кривой , то слои по ее дискриминантному множеству, порожденные $\Delta _{f}$ где

$$\Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}$$

все являются сингулярными схемами. Например, если $p$ является простым числом и

$$X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}\right)$$

тогда его дискриминант $-27p^{2}$. В частности, эта кривая сингулярна над простыми числами $3,p$.

Мотивация для схем

Вот некоторые способы, которыми схемы выходят за рамки старых представлений об алгебраических многообразиях и их значении.

• Расширения полей. Учитывая некоторые полиномиальные уравнения от n переменных над полем k , можно изучить множество X ( k ) решений уравнений в наборе произведений k. ^н . Если поле k алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), то можно основывать алгебраическую геометрию на таких множествах, как X ( k ): определить топологию Зарисского на X ( k ), рассмотреть полиномиальные отображения между различными множествами этого типа, и так далее. Но если k не алгебраически замкнуто, то множество X ( k ) недостаточно богато. Действительно, можно изучать решения X ( E ) данных уравнений в любом расширении поля E поля k , но эти множества не определяются X ( k ) в каком-либо разумном смысле. Например, плоская кривая X над действительными числами, определяемыми x ² + и ² = −1 имеет X ( R ) пустое, но X ( C ) не пустое. (На самом деле, X ( C ) можно отождествить с C − 0.) Напротив, схема X над полем k имеет достаточно информации, чтобы определить множество X ( E ) E -рациональных точек для каждого поля расширения E поля k. . (В частности, замкнутая подсхема A ²
  _R определяется x ² + и ² = −1 — непустое топологическое пространство.)
• Общий пункт. Точки аффинной прямой A ¹
  _C как схема — это ее комплексные точки (по одной на каждое комплексное число) вместе с одной общей точкой (замыканием которой является вся схема). Типовая точка — это образ естественного морфизма Spec( C ( x )) → A ¹
  _C , где C ( x ) — поле рациональных функций одной переменной. Чтобы понять, почему полезно иметь в схеме реальную «общую точку», рассмотрим следующий пример.
• Пусть X — плоская кривая y ² = x ( x −1)( x −5) над комплексными числами. Это закрытая подсхема A. ²
  _С. ​Ее можно рассматривать как разветвленное двойное накрытие аффинной прямой A. ¹
  _C путем проецирования на координату x . Слой морфизма X → A ¹ над общей точкой A ¹ является в точности точкой общего положения X , что дает морфизм
  $$\operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).$$
  Это, в свою очередь, эквивалентно степени -2. расширению полей
  $$\mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).$$
  Таким образом, наличие фактической общей точки многообразия приводит к геометрическому отношению между морфизмом алгебраических многообразий степени 2 и соответствующим расширением функциональных полей степени 2 . Это обобщает отношение между фундаментальной группой (которая классифицирует накрывающие пространства в топологии) и группой Галуа (которая классифицирует некоторые расширения полей ). Гротендика Действительно, теория этальной фундаментальной группы рассматривает фундаментальную группу и группу Галуа на одном и том же основании.

• Нильпотентные элементы . Пусть X — замкнутая подсхема аффинной прямой A ¹
  _C определяется x ² = 0, иногда называемая жирной точкой . Кольцо регулярных функций на X — это C [ x ]/( x ² ); в частности, регулярная функция x на X нильпотентна , но не равна нулю. Чтобы указать смысл этой схемы: две регулярные функции на аффинной прямой имеют одно и то же ограничение на X тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое значение и первую производную в начале координат. Разрешение таких нередуцированных схем привносит идеи исчисления и бесконечно малых в алгебраическую геометрию.
• В качестве более сложного примера можно описать все нульмерные замкнутые подсхемы степени 2 в гладком комплексном многообразии Y . Такая подсхема состоит либо из двух различных комплексных точек Y , либо из подсхемы, изоморфной X = Spec C [ x ]/( x ² ), как в предыдущем пункте. Подсхемы последнего типа определяются комплексной точкой y из Y вместе с прямой в касательном пространстве T _y Y . Это еще раз указывает на то, что нередуцированные подсхемы имеют геометрический смысл, связанный с производными и касательными векторами.

Когерентные пучки

Основная статья: Связный пучок

Центральной частью теории схем является понятие когерентных пучков , обобщающее понятие (алгебраических) векторных расслоений . Для схемы X начинают с рассмотрения абелевой категории O X _{-модулей} , которые представляют собой пучки абелевых групп на X , образующие модуль над пучком регулярных функций O _X . В частности, модуль М над коммутативным кольцом R определяет ассоциированный O _X -модуль ~ M на X = Spec( R ). Квазикогерентный пучок на схеме X означает O _X -модуль, который является пучком, ассоциированным с модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X . Наконец, когерентный пучок (скажем, на нетеровой схеме X ) — это O _X -модуль, который представляет собой пучок, ассоциированный с конечно порожденным модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X .

Когерентные пучки включают важный класс векторных расслоений , которые представляют собой пучки, локально возникающие из конечно порожденных свободных модулей . Примером может служить касательное расслоение гладкого многообразия над полем. Однако когерентные пучки богаче; например, векторное расслоение на замкнутой подсхеме Y схемы X можно рассматривать как когерентный пучок на X , который равен нулю вне Y (путем построения прямого образа ). Таким образом, когерентные пучки на схеме X включают информацию обо всех замкнутых X. подсхемах Более того, пучковые когомологии обладают хорошими свойствами для когерентных (и квазикогерентных) пучков. Полученная в результате теория когомологий когерентных пучков является, пожалуй, основным техническим инструментом в алгебраической геометрии.

Обобщения

Схема, рассматриваемая как функтор точек, представляет собой функтор, который представляет собой пучок множеств топологии Зарисского в категории коммутативных колец и который локально в топологии Зарисского является аффинной схемой. Это можно обобщить несколькими способами. Один из них — использовать этальную топологию . Майкл Артин определил алгебраическое пространство как функтор, который представляет собой пучок в этальной топологии и локально в этальной топологии является аффинной схемой. Эквивалентно, алгебраическое пространство — это фактор схемы по этальному отношению эквивалентности. Мощный результат, теорема Артина о представимости , дает простые условия для представления функтора в алгебраическом пространстве.

Дальнейшим обобщением является идея стека . Грубо говоря, алгебраические стеки обобщают алгебраические пространства, имея алгебраическую группу , прикрепленную к каждой точке, которая рассматривается как группа автоморфизмов этой точки. Например, любое действие алгебраической группы G алгебраическое многообразие X определяет факторстек [ X / G ], который запоминает подгруппы стабилизатора для действия G. на В более общем смысле, пространства модулей в алгебраической геометрии часто лучше всего рассматривать как стопки, тем самым отслеживая группы автоморфизмов классифицируемых объектов.

Гротендик первоначально представил стеки как инструмент теории происхождения . В этой формулировке стопки представляют собой (неформально говоря) пучки категорий. Исходя из этого общего понятия, Артин определил более узкий класс алгебраических стопок (или «стеков Артина»), которые можно рассматривать как геометрические объекты. К ним относятся стеки Делиня–Мамфорда (аналогичные орбифолдам в топологии), для которых группы стабилизаторов конечны, и алгебраические пространства, для которых группы стабилизаторов тривиальны. Теорема Киля – Мори гласит, что алгебраический стек с конечными группами стабилизаторов имеет грубое пространство модулей , которое является алгебраическим пространством.

Другой тип обобщения — обогащение структурного пучка, приближающее алгебраическую геометрию к теории гомотопий . В этом случае, известном как производная алгебраическая геометрия или «спектральная алгебраическая геометрия», структурный пучок заменяется гомотопическим аналогом пучка коммутативных колец (например, пучком кольцевых спектров E-бесконечности ). Эти пучки допускают алгебраические операции, ассоциативные и коммутативные только с точностью до отношения эквивалентности. Факторизация по этому отношению эквивалентности дает структурный пучок обычной схемы. Однако отказ от частного приводит к теории, которая может запоминать более высокую информацию, точно так же, как производные функторы в гомологической алгебре дают более высокую информацию о таких операциях, как тензорное произведение и функтор Hom на модулях.

См. также

• Плоский морфизм , Гладкий морфизм , Правильный морфизм , Конечный морфизм , Плоский морфизм
• Стабильная кривая
• Бирациональная геометрия
• Этальные когомологии , группа Чоу , теория Ходжа
• Групповая схема , Абелево многообразие , Линейная алгебраическая группа , Редуктивная группа
• Модули алгебраических кривых
• Схемы поклейки

Ссылки

• Арапура, Дону (2011), «Амплитуда Фробениуса, ультрапроизведения и исчезновение в сингулярных пространствах», Illinois Journal of Mathematics , 55 (4): 1367–1384, arXiv : 0806.1033 , doi : 10.1215/ijm/1373636688 , MR   3082873
• Картье, Пьер (2001), «Безумный рабочий день: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция понятий пространства и симметрии», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/ С0273-0979-01-00913-2 , МР   1848254
• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Уодсворт, ISBN  978-0-534-03723-9 , МР   0780183
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998). Геометрия схем . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-98637-1 . МР   1730819 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Хартшорн, Робин (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 .
• Игорь Робертович Шафаревич (2013). Основная алгебраическая геометрия 2: схемы и комплексные многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3642380099 . МР   0456457 .
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-850284-5 . МР   1917232 .
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/b62130 . ISBN  978-3-540-63293-1 . МР   1748380 .
• Вистоли, Анджело (2005), «Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math..... 12512В , МР   2223406

Внешние ссылки

• Дэвид Мамфорд, Можно ли объяснить схемы биологам?
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ — раздел комментариев содержит некоторые интересные дискуссии по теории схем (включая сообщения Теренса Тао ).