Стоун-Чехская компактификация

дисциплине общей топологии В математической компактификация Стоуна – Чеха (или компактификация Чеха – Стоуна ) — это метод построения универсального отображения топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX . Компактификация Стоуна-Чеха βX топологического пространства X является крупнейшим и наиболее общим компактом Хаусдорфовым пространством, «порожденным» X в том смысле, что любое непрерывное отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX (единственным образом). Если X — тихоновское пространство , то отображение X в его образ в βX является гомеоморфизмом , поэтому X можно рассматривать как ( плотное ) подпространство в βX ; любой другой бикомпакт, плотно содержащий X, фактор -группой βX является . Для общих топологических пространств X отображение X в βX не обязательно должно быть инъективным .

Форма выбора аксиомы необходима, чтобы доказать, что каждое топологическое пространство имеет компактификацию Стоуна – Чеха. Даже для весьма простых пространств X доступное конкретное описание βX часто остается неуловимым. В частности, доказательства непустоты βX \ X не дают явного описания какой-либо конкретной точки из βX \ X .

Компактификация Стоуна-Чеха неявно встречается в статье Андрея Николаевича Тихонова ( 1930 ) и была дана явно Маршаллом Стоуном ( 1937 ) и Эдуардом Чехом ( 1937 ).

История

Андрей Николаевич Тихонов ввел вполне регулярные пространства в 1930 году, чтобы избежать патологической ситуации с хаусдорфовыми пространствами , единственными непрерывными вещественными функциями которых являются постоянные отображения.

В той же статье 1930 года, где Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое тихоновское пространство (т. е. полностью регулярное по Хаусдорфу пространство) имеет хаусдорфову компактификацию (в этой же статье он также доказал теорему Тихонова ). В 1937 году Чех расширил технику Тихонова и ввёл обозначение β X для этой компактификации. Стоун также построил β X в статье 1937 года, хотя и совсем другим методом. Несмотря на то, что статья Тихонова является первой работой на тему компактификации Стоуна-Чеха и несмотря на то, что на статью Тихонова ссылаются и Стоун, и Чех, имя Тихонова редко ассоциируется с β X .

Универсальное свойство и функториальность

Компактификация Стоуна-Чеха топологического пространства X представляет собой компактное хаусдорфово пространство βX вместе с непрерывным отображением i _X : X → βX , которое обладает следующим универсальным свойством : любое непрерывное отображение f : X → K , где K — компактное хаусдорфово пространство. , однозначно продолжается до непрерывного отображения βf : βX → K , т. е. ( βf ) i _X = f .

The universal property of the Stone-Cech compactification expressed in diagram form.

Как обычно для универсальных свойств, это универсальное свойство характеризует βX с точностью до гомеоморфизма .

Как указано ниже в § Конструкции , можно доказать (используя аксиому выбора), что такая компактификация Стоуна–Чеха i _X : X → βX существует для любого топологического пространства X . Более того, образ i _X ( X ) плотен в βX .

Некоторые авторы добавляют предположение, что стартовое пространство X является Тихоновским (или даже локально компактным Хаусдорфовым) по следующим причинам:

• Отображение X в его образ в βX является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда X тихоновское.
• Отображение X в его образ в βX является гомеоморфизмом открытого подпространства тогда и только тогда, когда X локально компактно по Хаусдорфу.

Конструкцию Стоуна-Чеха можно выполнить для более общих пространств X , но в этом случае отображение X → βX не обязательно должно быть гомеоморфизмом образа X (а иногда даже не является инъективным).

Как обычно для подобных универсальных конструкций, свойство расширения делает β функтором . из Top ( категория топологических пространств ) в CHaus (категория компактных хаусдорфовых пространств) Далее, если мы позволим U быть функтором включения из CHaus в Top , отображения из βX в K (для K в CHaus ) взаимно однозначно соответствуют отображениям из X в UK (рассмотрев их ограничение на X и используя универсальное свойство βX ). т.е.

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , UK ),

что означает, что β сопряжена слева с U . Это подразумевает, что является отражающей подкатегорией Top β с отражателем CHaus .

Примеры

Если X — компактное хаусдорфово пространство, то оно совпадает с его компактификацией Стоуна–Чеха.

Компактификация Стоуна-Чеха первого несчетного порядкового числа. $\omega _{1}$, с порядковой топологией , является порядковым номером $\omega _{1}+1$. Компактификация Стоуна-Чеха удаленной тихоновской планки представляет собой тихоновскую планку.

Конструкции

Строительство с использованием продуктов

Одна из попыток построить компактификацию Стоуна-Чеха X состоит в том, чтобы взять замыкание образа X в

$\prod \nolimits _{f:X\to K}K$

где произведение находится по всем отображениям из X в бикомпакты K (или, что то же самое, по образу X посредством правого кановского расширения тождественного функтора категории CHaus бикомпактов вдоль функтора включения CHaus в категорию Top общих топологических пространств). По теореме Тихонова это произведение компактов компактно, поэтому замыкание X в этом пространстве также компактно. Это работает интуитивно, но не работает по технической причине, поскольку совокупность всех таких карт представляет собой правильный класс , а не набор. Есть несколько способов изменить эту идею, чтобы она заработала; например, можно ограничить хаусдорфовые пространства K так, чтобы они имели базовый набор P ( P ( X )) ( набор мощности набора степеней X ), который достаточно велик, чтобы иметь мощность, по крайней мере равную мощности каждого компакта. Хаусдорфово пространство, в которое X можно отобразить плотным образом.

Построение с использованием единичного интервала

Один из способов построения βX состоит в том, чтобы позволить C быть множеством всех непрерывных функций из X в [0, 1] и рассмотреть отображение $e:X\to [0,1]^{C}$ где

$e(x):f\mapsto f(x)$

Это можно рассматривать как непрерывное отображение на свое изображение, если [0, 1] ^С задана топология продукта . По теореме Тихонова имеем, что [0, 1] ^С компактно, поскольку [0, 1] компактно. Следовательно, замыкание X в [0, 1] ^С является компактификацией X .

Фактически это замыкание представляет собой компактификацию Стоуна–Чеха. Чтобы убедиться в этом, нам просто нужно убедиться, что замыкание удовлетворяет соответствующему универсальному свойству. Сначала мы делаем это для K = [0, 1], где желаемое расширение f : X → [0, 1] — это просто проекция на координату f в [0, 1] ^С . Чтобы затем получить это для общего компакта Хаусдорфа K, мы используем вышеизложенное, чтобы отметить, что K можно вложить в некоторый куб, расширить каждую из координатных функций и затем взять произведение этих расширений.

Особым свойством единичного интервала, необходимым для работы этой конструкции, является то, что он является когенератором категории компактных хаусдорфовых пространств: это означает, что если A и B — компактные хаусдорфовы пространства, а f и g — различные отображения из A в B , то существует отображение h : B → [0, 1] такое, что hf и hg различны. В этой конструкции можно использовать любой другой когенератор (или когенерирующий набор).

Строительство с использованием ультрафильтров

См. Также: Топология Stone и Фильтры в топологии § Топология Stone.

Альтернативно, если $X$ дискретна , то можно построить $\beta X$ как совокупность всех ультрафильтров на $X,$ с элементами $X$ соответствующие главным ультрафильтрам . Топология на множестве ультрафильтров, известная как Топология камня порождается множествами вида $\{F:U\in F\}$ для $U$ подмножество $X.$

Снова проверяем универсальное свойство: $f:X\to K$ с $K$ компактный Хаусдорф и $F$ ультрафильтр на $X$ у нас есть база ультрафильтра $f(F)$ на $K,$ продвижение вперед ​ $F.$ Это имеет уникальный предел , потому что $K$ компактен по Хаусдорфу, скажем $x,$ и мы определяем $\beta f(F)=x.$ Можно убедиться, что это непрерывное расширение $f.$

Эквивалентно, можно взять пространство Стоуна полной булевой алгебры всех подмножеств $X$ как компактификация Стоуна-Чеха. На самом деле это та же самая конструкция, поскольку пространство Стоуна этой булевой алгебры представляет собой набор ультрафильтров (или, что эквивалентно, простых идеалов или гомоморфизмов двухэлементной булевой алгебры) булевой алгебры, который совпадает с набором ультрафильтров на $X.$

Конструкцию можно обобщить на произвольные тихоновские пространства, используя максимальные фильтры нулевых множеств . вместо ультрафильтров (Фильтров замкнутых множеств достаточно, если пространство нормальное .)

Построение с использованием C*-алгебр

Компактификация Стоуна–Чеха естественно гомеоморфна спектру C b ₍ X ) . Здесь Cb ₍ X ) обозначает C*-алгебру всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на X с sup-нормой . Обратите внимание, что C _b ( X ) канонически изоморфна алгебре мультипликаторов C ₀ ( X ).

Компактификация натуральных чисел Стоуна – Чеха.

В случае, когда X , локально компактно например N или R , образ X образует открытое подмножество βX или даже любой компактификации (это также необходимое условие, поскольку открытое подмножество компактного хаусдорфова пространства локально компактный). В этом случае часто изучают оставшуюся часть пространства βX \ X . Это замкнутое подмножество в βX и поэтому компактно. Мы рассматриваем N с его дискретной топологией и пишем β N \ N = N * (но это не похоже на стандартное обозначение для общего X ).

Как объяснялось выше, можно рассматривать β N как набор ультрафильтров на N с топологией, порожденной наборами вида $\{F:U\in F\}$ для U подмножество N . Множество N соответствует множеству главных ультрафильтров , а множество N * — множеству свободных ультрафильтров .

Исследование β N , и в частности N *, является основной областью современной теоретико-множественной топологии . Основными результатами, мотивирующими это, являются теоремы Паровиченко , по существу характеризующие его поведение в предположении гипотезы континуума .

В них говорится:

• Каждое компактное хаусдорфово пространство веса не более $\aleph _{1}$ (см. число Алеф ) — это непрерывный образ N * (это не нуждается в гипотезе континуума, но менее интересно при ее отсутствии).
• Если гипотеза континуума верна, то N * — единственное пространство Паровиченко с точностью до изоморфизма.

Первоначально они были доказаны путем рассмотрения булевых алгебр и применения двойственности Стоуна .

Ян ван Милль описал β N как «трехголового монстра» — три головы представляют собой улыбающуюся и дружелюбную голову (поведение в предположении гипотезы континуума), уродливую голову независимости, которая постоянно пытается сбить вас с толку (определяя, что поведение возможно в разных моделях теории множеств), а третья голова — самая маленькая из всех (что о ней можно доказать в ZFC ). Сравнительно недавно было замечено, что эта характеристика не совсем верна — на самом деле существует четвертая глава β N , в которой аксиомы вынуждения свойства и аксиомы типа Рамсея придают β N , почти диаметрально противоположные тем, которые соответствуют гипотезе континуума, давая действительно очень мало карт от N *. Примеры этих аксиом включают комбинацию аксиомы Мартина и аксиомы открытой раскраски , которые, например, доказывают, что ( N *) ² ≠ N *, тогда как гипотеза континуума предполагает обратное.

Приложение: двойственное пространство пространства ограниченных последовательностей действительных чисел.

Компактификацию Стоуна – Чеха β N можно использовать для характеристики $\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$ ( банахово пространство всех ограниченных последовательностей в скалярном поле R или C с супремумной нормой ) и двойственное к нему пространство .

Учитывая ограниченную последовательность $a\in \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$ в скалярном поле существует замкнутый шар B , содержащий образ $a$. $a$ тогда является функцией от N до B . Поскольку N дискретно, а B компактно и хаусдорфово, a непрерывна. По свойству универсальности существует единственное расширение βa : β N → B . Это расширение не зависит от шара B. рассматриваемого нами

Мы определили отображение расширения пространства ограниченных скалярнозначных последовательностей в пространство непрерывных функций над β N .

$\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )\to C(\beta \mathbf {N} )$

Это отображение является биективным, поскольку каждая функция из C ( β N ) должна быть ограничена и затем может быть ограничена ограниченной скалярной последовательностью.

Если мы далее рассмотрим оба пространства с нормой sup, отображение расширения станет изометрией . Действительно, если в приведенной выше конструкции мы возьмем наименьший возможный шар B , мы увидим, что норма sup расширенной последовательности не растет (хотя образ расширенной функции может быть больше).

Таким образом, $\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$ можно отождествить с C ( β N ). Это позволяет нам использовать теорему о представлении Рисса и обнаружить, что двойственное пространство $\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$ можно отождествить с пространством конечных борелевских мер на β N .

Наконец, следует отметить, что этот метод обобщается на L ^∞ пространство произвольного пространства с мерой X . Однако вместо того, чтобы просто рассматривать пространство βX ультрафильтров на X , правильный способ обобщить эту конструкцию — рассмотреть пространство Стоуна Y алгебры меры X : пространства C ( Y ) и L ^∞ ( X ) изоморфны C*-алгебрам до тех пор, пока X удовлетворяет разумному условию конечности (что любое множество положительной меры содержит подмножество конечной положительной меры).

Моноидная операция над компактификацией Стоуна – Чеха натуральных чисел.

Натуральные числа образуют моноид при сложении . Оказывается, эту операцию можно распространить (вообще говоря, несколькими способами, но однозначно при дополнительном условии) на β N , превратив и это пространство в моноид, хотя, как это ни удивительно, некоммутативный.

Для любого подмножества A из N и положительного целого числа n из N мы определяем

$A-n=\{k\in \mathbf {N} \mid k+n\in A\}.$

Учитывая два ультрафильтра F и G на N , мы определяем их сумму как

$F+G={\Big \{}A\subseteq \mathbf {N} \mid \{n\in \mathbf {N} \mid A-n\in F\}\in G{\Big \}};$

можно проверить, что это снова ультрафильтр и что операция + ассоциативна (но не коммутативна) на β N и расширяет сложение на N ; 0 служит нейтральным элементом для операции + над β N . Операция также непрерывна справа в том смысле, что для каждого ультрафильтра F отображение

${\begin{cases}\beta \mathbf {N} \to \beta \mathbf {N} \\G\mapsto F+G\end{cases}}$

является непрерывным.

В более общем смысле, если S — полугруппа с дискретной топологией, операцию S можно расширить до βS , получив ассоциативную операцию, непрерывную справа.

См. также

• Компактификация (математика) - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Одноточечная компактификация — способ расширения некомпактного топологического пространства. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Компактификация Уоллмана - компактификация _{T 1.} топологических пространств

Ссылки

• Чех, Эдуард (1937), «О бикомпактных пространствах», Annals of Mathematics , 38 (4): 823–844, doi : 10.2307/1968839 , hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR   1968839
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы , вып. Я: общая теория (изд. Wiley Classics). Джон Уайли и сыновья. п. 276.
• Хиндман, Нил ; Штраус, Дона (1998), Алгебра в компактификации Стоуна – Чеха. Теория и приложения , Expositions de Gruyter in Mathematics, vol. 27 (2-е исправленное и расширенное издание 2012 г.), Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. xiv+485 стр., doi : 10.1515/9783110809220 , ISBN  978-3-11-015420-7 , МР   1642231
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Кошевникова, И.Г. (2001) [1994], «Компактификация Стоуна-Чеха» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шилдс, Аллен (1987), «Много лет назад», Mathematical Intelligencer , 9 (2): 61–63, doi : 10.1007/BF03025901 , S2CID   189886579
• Стоун, Маршалл Х. (1937), «Приложения теории булевых колец к общей топологии», Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR   1989788
• Тихонов, Андрей (1930), «О топологическом расширении пространств», Mathematical Annals , 102 : 544–561, doi : 10.1007/BF01782364 , ISSN   0025-5831 , S2CID   124737286

Внешние ссылки

• Компактификация Стоуна-Чеха в Planet Math
• Дрор Бар-Натан, ультрафильтры, компактность и компактификация Стоуна-Чеха.