Теоретико-множественная топология

Пространство целых чисел имеет мощность $\aleph _{0}$, а действительные числа имеют мощность $2^{\aleph _{0}}$. Топологии обоих пространств имеют мощность $2^{\aleph _{0}}$. Это примеры кардинальных функций — темы теоретико-множественной топологии.

В математике теорию теоретико-множественная топология — это предмет, сочетающий в себе множеств и общую топологию . Он фокусируется на топологических вопросах, которые не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC).

изучаемые в теоретико-

Пространства Даукера

Основная статья: Пространство Даукера

В математической области общей топологии пространство Даукера — это топологическое пространство имеющее T4 _, , но не счетно паракомпактное .

Даукер предположил, что пространств Даукера не существует, и эта гипотеза не была решена до тех пор, пока М. Е. Рудин не построил одно пространство. в 1971 году. Контрпример Рудина представляет собой очень большое пространство ( мощности $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}$) и, как правило, ведет себя не очень хорошо . Золтан Балог подарил первую ZFC конструкцию небольшого ( континуума мощности ) примера, который вёл себя более хорошо, чем у Рудина. Используя теорию ПКФ , М. Койман и С. Шелах построили подпространство мощности Даукера Рудина $\aleph _{\omega +1}$ это тоже Даукер.

Нормальные пространства Мура

Основная статья: Гипотеза нормального пространства Мура

Известная проблема — это нормальный вопрос о пространстве Мура , вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Кардинальные функции

Основная статья: Кардинальная функция

Кардинальные функции широко используются в топологии как инструмент описания различных топологических свойств . Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии не существует конечных кардинальных чисел», предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, так, чтобы они никогда не принимали в качестве значений конечные кардинальные числа; для этого необходимо изменить некоторые определения, приведенные ниже, например, добавив « $\;\;+\;\aleph _{0}$» в правую часть определений и т. д.)

• Возможно, простейшими кардинальными инвариантами топологического пространства X являются его мощность и мощность его топологии, обозначаемые соответственно | Х | и о ( Х ).
• Вес мощность w( X ) топологического пространства X это наименьшая возможная базы для X. — Когда w( X ) $\leq \aleph _{0}$ Пространство X называется секундно-счетным .
  • The $\pi$-вес пространства X — это наименьшая мощность $\pi$-база X. для (А $\pi$-base — это набор непустых открытий, надмножества которых включают все открытия.)
• Характер X топологического пространства в точке x — это наименьшая мощность локальной базы для x . Характер ​ пространства X ​
  $\chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.$
  Когда $\chi (X)\leq \aleph _{0}$ пространство X называется первым счетным .
• Плотность подмножества d( X пространства X это наименьшая мощность плотного X. — ) Когда ${\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}$ пространство X называется сепарабельным .
• Число Линделёфа L( X ) пространства X — это наименьшая бесконечная мощность такая, что каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности не более L( X ). Когда ${\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}$ пространство X называется пространством Линделефа .
• Ячеистость ​ пространства X равна
  ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ представляет собой семейство взаимно непересекающихся непустых открытых подмножеств $X\}$.
  • Наследственная клеточность (иногда расширенная ) — это наименьшая верхняя граница клеточности ее подмножеств:
    $s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}$
    или
    $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ с подпространства топологией дискретна $\}$.
• Плотность в t ( x , X ) топологического пространства X точке $x\in X$ это наименьшее кардинальное число $\alpha$ такой, что всякий раз, когда $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ для некоторого подмножества Y из X существует подмножество Z из Y с | Я | ≤ $\alpha$, такой, что $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$. Символически,
  $t(x,X)=\sup {\big \{}\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y){\big \}}.$
  Тесность пространства X равна $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$. Когда t(X) = $\aleph _{0}$ пространство X называется счетно порожденным или счетно тесным .
  • Повышенная теснота пространства X , $t^{+}(X)$ самый маленький правильный кардинал $\alpha$ такой, что для любого $Y\subseteq X$, $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ существует подмножество Z из Y с мощностью меньше $\alpha$, такой, что $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$.

Аксиома Мартина

Основная статья: аксиома Мартина

Для любого кардинала k мы определяем утверждение, обозначаемое MA( k ):

Для любого частичного порядка P, удовлетворяющего условию счетной цепи (далее ccc), и любого семейства D плотных множеств в P такого, что |D| ⩽ k , существует фильтр F на P такой, F ∩ d непусто что для d из D. любого

Поскольку теорема ZFC гласит, что MA( c ) не работает, аксиома Мартина формулируется как:

Аксиома Мартина (MA): для каждого k < c выполняется MA( k ).

В этом случае (для применения ccc) антицепь — это подмножество A из P такое, что любые два различных члена A несовместимы (два элемента называются совместимыми, если под ними обоими существует общий элемент в частичном порядке). ). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревьев .

И ( $2^{\aleph _{0}}$) неверно: [0, 1] — компактное хаусдорфово пространство , которое сепарабельно и поэтому ccc. В нем нет изолированных точек , поэтому точки в нем нигде не плотны, а представляют собой объединение $2^{\aleph _{0}}$ много точек.

Эквивалентная формулировка: если X — компактное топологическое пространство Хаусдорфа , удовлетворяющее ccc, то X не является объединением k или меньшего количества нигде не плотных подмножеств.

Аксиома Мартина имеет ряд других интересных комбинаторных , аналитических и топологических следствий:

• Объединение k или меньшего количества нулевых множеств в безатомной σ-конечной борелевской мере на польском пространстве является нулевым. В частности, объединение k или меньшего количества подмножеств R меры Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
• Компакт Хаусдорфово пространство X с |X| < 2 ^к секвенциально компактна , т. е. каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Ни один неглавный ультрафильтр на N не имеет базы мощности < k .
• Эквивалентно для любого из β N \ N мы имеем χ( x ) ≥ k , где χ — характер x x , и поэтому χ(β N ) ≥ k .
• И ( $\aleph _{1}$) подразумевает, что произведением топологических пространств ccc является ccc (это, в свою очередь, означает отсутствие прямых Суслина ).
• MA + ¬CH означает, что существует группа Уайтхеда несвободная ; Шела использовал это, чтобы показать, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.

Принуждение

Основная статья: Принуждение (математика)

Принуждение — это метод, изобретенный Полом Коэном для доказательства последовательности и независимости результатов. Впервые он был использован в 1963 году для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума от теории множеств Цермело – Френкеля . Форсирование было значительно переработано и упрощено в 1960-х годах и оказалось чрезвычайно мощным методом как в теории множеств, так и в таких областях математической логики , как теория рекурсии .

Интуитивно, форсирование состоит из расширения теоретической вселенной V до более крупной вселенной V *. Например, в этой большей вселенной можно было бы иметь много новых подмножеств ω = { 0,1,2 ,…}, которых не было в старой вселенной, и тем самым нарушать гипотезу континуума . На первый взгляд это невозможно, но это всего лишь еще одна версия парадокса Кантора о бесконечности. В принципе, можно было бы рассмотреть

$V^{*}=V\times \{0,1\},\,$

идентифицировать $x\in V$ с $(x,0)$, а затем ввести расширенное отношение членства, включающее «новые» множества вида $(x,1)$. Принуждение — это более сложная версия этой идеи, сводящая расширение к существованию одного нового набора и позволяющая точно контролировать свойства расширенной вселенной.

См. основные статьи о таких приложениях, как случайные числа .

Дальнейшее чтение

• Кеннет Кунен ; Джерри Э. Воган, ред. (1984). Справочник по теоретико-множественной топологии . Северная Голландия. ISBN  0-444-86580-2 .