Счетно генерируемое пространство

В математике топологическое пространство $X$ называется счетно порожденным, если топология $X$ определяется счетными множествами аналогично тому, как топология секвенциального пространства (или пространства Фреше ) определяется сходящимися последовательностями.

Счетно-порожденные пространства — это в точности пространства, обладающие счетной теснотой , поэтому и название счетно тугой также используется .

Определение

Топологическое пространство $X$ называется счетно генерируется, если для каждого подмножества $V\subseteq X,$ $V$ закрыт в $X$ всякий раз, когда для каждого счетного подпространства $U$ из $X$ набор $V\cap U$ закрыт в $U$ . Эквивалентно, $X$ счетно порожден тогда и только тогда, когда замыкание любого $A\subseteq X$ равно объединению замыканий всех счетных подмножеств $A.$

Счетная герметичность вентилятора

Топологическое пространство $X$ имеет счетная герметичность вентилятора, если для каждой точки $x\in X$ и каждая последовательность $A_{1},A_{2},\ldots$ подмножеств пространства $X$ такой, что $x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,$ существует конечное множество $B_{1}\subseteq A_{1},B_{2}\subseteq A_{2},\ldots$ такой, что $x\in {\overline {{\textstyle \bigcup \limits _{n}}\,B_{n}}}={\overline {B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots }}.$

Топологическое пространство $X$ имеет счетная сильная герметичность вентилятора, если для каждой точки $x\in X$ и каждая последовательность $A_{1},A_{2},\ldots$ подмножеств пространства $X$ такой, что $x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,$ есть точки $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2},\ldots$ такой, что $x\in {\overline {\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}}.$ Каждое сильное пространство Фреше–Урысона обладает сильной счетной веерной плотностью.

Характеристики

Частное счетно - порожденного пространства снова счетно-порождено. Аналогично топологическая сумма счетно порождается счетно-порожденных пространств. Следовательно, счетно-порожденные пространства образуют корефлективную подкатегорию категории топологических пространств . Они представляют собой отражающую оболочку всех счетных пространств.

Любое подпространство счетно-порожденного пространства снова является счетно-порожденным.

Примеры

Всякое секвенциальное пространство (в частности, всякое метризуемое пространство ) счетно порождено.

Пример пространства, которое счётно порождено, но не является последовательным, может быть получено, например, как подпространство пространства Аренса–Форта .

См. также

Конечно сгенерированное пространство - топология, в которой пересечение любого семейства открытых множеств открыто.
Локально закрытое подмножество
Плотность (топология) — функция, возвращающая кардинальные числа. . Плотность — это кардинальная функция, связанная со счетно генерируемыми пространствами и их обобщениями.

Ссылки

Херлих, Хорст (1968). Топологические отражения и основные отражения . Конспект лекций по математике 78. Берлин: Springer .

Внешние ссылки

Глоссарий определений общей топологии [1]
https://web.archive.org/web/20040917084107/http://thales.doa.fmph.uniba.sk/density/pages/slides/sleziak/paper.pdf

Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .