Светоотражающая подкатегория

В математике A полная подкатегория категории B из называется отражающей в B , функтор включения A когда в B имеет левый сопряженный . ^[1]^: 91 Это сопряжение иногда называют отражателем или локализацией . ^[2] Двойственно A называется корефлективным в B, когда функтор включения имеет правый сопряженный .

Неформально рефлектор действует как своего рода завершающая операция. Он добавляет любые «недостающие» части структуры таким образом, что их повторное отражение не имеет дальнейшего эффекта.

Определение

Полная подкатегория A категории B называется отражающей в B, если для каждого B - объекта B существует A -объект $A_{B}$ и B - морфизм $r_{B}\colon B\to A_{B}$ такой, что для каждого B -морфизма $f\colon B\to A$ к A -объекту $A$ существует единственный A -морфизм ${\overline {f}}\colon A_{B}\to A$ с ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$ .

Пара $(A_{B},r_{B})$ называется -отражением B . A Морфизм $r_{B}$ называется стрелкой А-отражения. (Хотя часто для краткости мы говорим о $A_{B}$ только как А -отражение В ).

Это эквивалентно утверждению, что функтор вложения $E\colon \mathbf {A} \hookrightarrow \mathbf {B}$ является правым сопряженным. Левый сопряженный функтор $R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {A}$ называется отражателем . Карта $r_{B}$ является единицей этого присоединения.

Отражатель назначается $B$ А - объект $A_{B}$ и $Rf$ для B -морфизма $f$ определяется коммутационной диаграммой

Если все стрелки A -отражения являются (экстремальными) эпиморфизмами , то подкатегория A называется (экстремальной) эпирефлексивной . Аналогично, оно является двуотражательным , если все отражающие стрелки являются биморфизмами .

Все эти понятия являются частным случаем общего обобщения: $E$ -рефлексивная подкатегория, где $E$ — класс морфизмов.

The $E$ -отражающая оболочка класса А объектов определяется как наименьшая $E$ -рефлексивная подкатегория, содержащая A . Таким образом, мы можем говорить об отражающей оболочке, надотражающей оболочке, экстремальной надотражающей оболочке и т. д.

Антиотражающая подкатегория — это полная подкатегория A такая, что единственные объекты B имеющие стрелку A -отражателя, — это те, которые уже находятся в A. , ^{[ нужна ссылка ]}

Двойственными понятиям к вышеупомянутым понятиям являются корефлексивная стрелка, корефлекционная стрелка, (моно)корефлективная подкатегория, корефлективная оболочка, антикорефлективная подкатегория.

Примеры

Алгебра

Категория абелевых групп Ab является рефлексивной подкатегорией групп категории Grp . Рефлектор — это функтор, который отправляет каждую группу к ее абелианизации . В свою очередь, категория групп является рефлексивной подкатегорией категории инверсных полугрупп . ^[3]
Точно так же категория коммутативных ассоциативных алгебр является отражающей подкатегорией всех ассоциативных алгебр, где рефлектор факторизуется по коммутаторному идеалу . Это используется при построении симметрической алгебры из тензорной алгебры .
Двойственным образом категория антикоммутативных ассоциативных алгебр является отражающей подкатегорией всех ассоциативных алгебр, где рефлектор факторизуется по антикоммутаторному идеалу. Это используется при построении внешней алгебры из тензорной алгебры.
Категория полей является рефлексивной подкатегорией категории областей целостности (с инъективными гомоморфизмами колец в качестве морфизмов). Рефлектор — это функтор, который отправляет каждую целую область в ее поле дробей .
Категория абелевых периодических групп является корефлективной подкатегорией категории абелевых групп. Коррефлектор — это функтор, отправляющий каждую группу в ее торсионную подгруппу .
Все категории элементарных абелевых групп , абелевых р -групп и р -групп являются отражающими подкатегориями категории групп, а ядра отображений отражений являются важными объектами изучения; см. теорему о фокальной подгруппе .
Категория групп является коррефлективной подкатегорией категории моноидов : правый сопряженный отображает моноид в его группу единиц . ^[4]

Топология

Категория пространств Колмогорова (пространств T ₀ ) является отражающей подкатегорией Top , категории топологических пространств , а фактор Колмогорова является отражателем.
Категория вполне регулярных пространств CReg является рефлексивной подкатегорией Top . Взяв частное Колмогорова, можно увидеть, что подкатегория тихоновских пространств также является рефлексивной.
Категория всех компактных хаусдорфовых пространств является рефлексивной подкатегорией категории всех тихоновских пространств (и категории всех топологических пространств ^[2]^: 140). Рефлектор задается компактификацией Стоуна-Чеха .
Категория всех полных метрических пространств с равномерно непрерывными отображениями является рефлексивной подкатегорией категории метрических пространств . Рефлектор — это завершение метрического пространства на предметах и расширение плотностью на стрелках. ^[1]^: 90
Категория пучков — это отражающая подкатегория предпучков топологического пространства. Рефлектором является снопификация, приписывающая предпучку пучок участков пучка его зародышей.
Категория Seq секвенциальных пространств является кофлективной подкатегорией Top . Последовательное корефлексирование топологического пространства $(X,\tau )$ это пространство $(X,\tau _{\mathrm {seq} })$ , где топология $\tau _{\text{seq}}$ является более тонкой топологией, чем $\tau$ состоящее из всех последовательно открытых множеств в $X$ (т. е. дополнения к последовательно замкнутым множествам). ^[5]

Функциональный анализ

Категория банаховых пространств является рефлексивной подкатегорией категории нормированных пространств и ограниченных линейных операторов . Рефлектор – это функтор пополнения нормы.

Теория категорий

Для любого узла Гротендика ( C , J ) топосы пучков C на ( C , J ) являются отражающей подкатегорией топосов предпучков на остается со специальным дополнительным свойством, заключающимся в том, что функтор рефлектора точным . Рефлектор — это функтор сучификации a : Presh( C ) → Sh( C , J ), а присоединенная пара ( a , i ) — важный пример геометрического морфизма в теории топоса.

Характеристики

Компоненты единицы являются изоморфизмами . ^[2]^: 140^[1]
Если D является отражающей подкатегорией C , то функтор включения D → C создает все пределы которые присутствуют в C. , ^[2]^: 141
Отражающая подкатегория имеет все копределы , которые присутствуют в окружающей категории. ^[2]^: 141
Монада , индуцированная присоединением рефлектора/локализации, является идемпотентной. ^[2]^: 158

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс, 1909–2005 гг. (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 89. ИСБН 0387984038 . OCLC 37928530 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Рил, Эмили (09 марта 2017 г.). Теория категорий в контексте . Минеола, Нью-Йорк. п. 140. ИСБН 9780486820804 . OCLC 976394474 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Лоусон (1998), с. 63, Теорема 2.
^ «Coreflective подкатегория в nLab» . ncatlab.org . Проверено 2 апреля 2019 г.
^ Адамек, Херрлих и Стрекер 2004 , Пример 4.26 A(2).

Ссылки

Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья .
Питер Фрейд , Андре Щедров (1990). Категории, Аллегории . Математическая библиотека Том 39. Северная Голландия . ISBN 978-0-444-70368-2 .
Херлих, Хорст (1968). Топологические отражения и основные отражения . Конспект лекций по математике 78. Берлин: Springer .
Марк В. Лоусон (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-3316-7 .

[Mac_Lane-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс, 1909–2005 гг. (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 89. ИСБН 0387984038 . OCLC 37928530 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[Rhiel-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Рил, Эмили (09 марта 2017 г.). Теория категорий в контексте . Минеола, Нью-Йорк. п. 140. ИСБН 9780486820804 . OCLC 976394474 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[3] Лоусон (1998), с. 63, Теорема 2.

[4] «Coreflective подкатегория в nLab» . ncatlab.org . Проверено 2 апреля 2019 г.

[FOOTNOTEAdámekHerrlichStrecker2004Example_4.26_A(2)-5] Адамек, Херрлих и Стрекер 2004 , Пример 4.26 A(2).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]