Двойной (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , двойственность — это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами противоположной категории C. ^на. Учитывая утверждение относительно категории C , путем замены источника и цели каждого морфизма , а также замены порядка составления двух морфизмов, соответствующее двойственное утверждение получается относительно противоположной категории C. ^на. Двойственность как таковая — это утверждение, что истина инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение истинно относительно C , то его двойственное утверждение верно и относительно C. ^на. Кроме того, если утверждение ложно относительно C , то его двойственное утверждение должно быть ложным относительно C. ^на.

Учитывая конкретную категорию C , часто бывает, что противоположная категория C ^насамо по себе является абстрактным. С ^нане обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называется находящейся в двойственности с C , если D и C ^на эквивалентны как категории .

В случае, когда C и его противоположность C ^на эквивалентны, такая категория самодуальна. ^[1]

Формальное определение [ править ]

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двусортный язык первого порядка, в котором объекты и морфизмы представляют собой отдельные виды, а отношения объекта являются источником или целью морфизма и символом для составления двух морфизмов.

Пусть σ — любое утверждение на этом языке. Образуем двойственный σ ^на следующее:

Поменяйте местами каждое появление «источника» в σ на «цель».
Поменяйте местами порядок составления морфизмов. То есть заменить каждое вхождение $g\circ f$ с $f\circ g$

Неформально эти условия гласят, что двойственное утверждение формируется путем перестановки стрелок и композиций .

Двойственность — это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ ^на верно для C ^на. ^[2]^[3]

Примеры [ править ]

Морфизм $f\colon A\to B$ является мономорфизмом , если $f\circ g=f\circ h$ подразумевает $g=h$ . Выполняя двойную операцию, получаем утверждение, что $g\circ f=h\circ f$ подразумевает $g=h.$ Для морфизма $f\colon B\to A$ , именно это и означает, что f является эпиморфизмом . Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом.

Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C ^на является эпиморфизмом.

Примером может служить изменение направления неравенств в частичном порядке . Таким образом, если X — множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ _new с помощью

x ≤ _new y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Этот пример с порядками является особым случаем, поскольку частичные заказы соответствуют определенному виду категории, в которой Hom( A , B ) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетке , мы обнаружим, что встречи и соединения поменялись ролями. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности , примененная к решеткам.

Пределы и копределы — двойственные понятия.
Расслоения и корасслоения — примеры двойственных понятий в алгебраической топологии и теории гомотопий . В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана – Хилтона .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. стр. 62. ISBN 978-0-521-42261-1 .
^ Мак Лейн 1978 , с. 33.
^ Аводи 2010 , с. 53-55.

«Двойная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Принцип двойственности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Двойственность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN 1441931236 . OCLC 851741862 .
День рождения, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 100-1 53–55. ISBN 978-0199237180 . OCLC 740446073 .

[AdamekRosicky1994-1] Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. стр. 62. ISBN 978-0-521-42261-1 .

[FOOTNOTEMac_Lane197833-2] Мак Лейн 1978 , с. 33.

[FOOTNOTEAwodey201053-55-3] Аводи 2010 , с. 53-55.

[1]

[2]

[3]