2-группа

В математике , особенно в теории категорий , 2-группа — это группоид , способный умножать объекты , делая его похожим на группу . Они являются частью более крупной иерархии n- групп . Они были представлены Хоанг Сюань Синем в конце 1960-х годов под названием gr-категории . ^[1]^[2] и они также известны как категориальные группы .

Определение [ править ]

2-группа — это моноидальная категория G, которой каждый морфизм обратим в и каждый объект имеет слабый обратный. (Здесь слабым обратным объектом x является объект y такой, что xy и yx оба изоморфны единичному объекту.)

Строгие 2-группы [ править ]

Большая часть литературы посвящена строгим 2-группам . Строгая 2-группа — это строгая моноидальная категория , в которой каждый морфизм обратим и каждый объект имеет строгий обратный (так что xy и yx фактически равны единичному объекту).

Строгая 2-группа — это групповой объект из категории (малых) категорий ; как таковые, их можно было бы назвать групповыми категориями . И наоборот, строгая 2-группа является объектом категории в категории групп ; как таковые, их также называют категориальными группами . Их также можно отождествить со скрещенными модулями , и чаще всего они изучаются именно в такой форме. Таким образом, 2-группы в целом можно рассматривать как ослабление скрещенных модулей.

Каждая 2-группа эквивалентна строгой 2-группе , хотя это невозможно сделать когерентно: она не распространяется на 2-групп . гомоморфизмы ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры [ править ]

Учитывая ( малую ) категорию C , мы можем рассмотреть 2- Aut C. группу Это моноидальная категория, объектами которой являются автоэквивалентности C (т.е. эквивалентности F : C → C ), чьи морфизмы являются естественными изоморфизмами между такими автоэквивалентностями, а умножение автоэквивалентностей задается их композицией.

Учитывая топологическое пространство X и точку x в этом пространстве, существует фундаментальная 2-группа в X точке x , обозначаемая Π ₂ ( X , x ). В качестве моноидальной категории объекты представляют собой петли в точке x с умножением, заданным конкатенацией, а морфизмы представляют собой гомотопии между циклами, сохраняющие базовую точку, причем эти морфизмы идентифицируются, если они сами гомотопны.

Свойства [ править ]

Слабые обратные всегда можно задать последовательно: ^[3] можно определить функтор на любой 2-группе G , который ставит в соответствие слабый обратный каждому объекту, так что каждый объект связан с назначенным для него слабым обратным методом присоединенной эквивалентностью в моноидальной категории G .

Учитывая бикатегорию B и объект x из B , существует автоморфизмов 2-группа x x в B записываемая Aut _B . , Объекты — это автоморфизмы x с умножением, заданным композицией, а морфизмы — это обратимые 2-морфизмы между ними. Если B — 2-группоид (поэтому все объекты и морфизмы слабо обратимы) и x — его единственный объект, то Aut _B x — единственные данные, оставшиеся B. в Таким образом, 2-группы могут быть отождествлены с однообъектными 2-группоидами , так же, как группы могут быть отождествлены с однообъектными группоидами, а моноидальные категории могут быть отождествлены с однообъектными бикатегориями.

Если G объекты G образуют группу, называемую основной группой G — строгая 2-группа, то и записываемую G ₀ . Это не будет работать для произвольных 2-групп ; однако если отождествить изоморфные объекты, то эквивалентности образуют группу, называемую фундаментальной группой G G и записываемую π ₁ классы . (Обратите внимание, что даже для строгой 2-группы фундаментальная группа будет только факторгруппой базовой группы.)

Как моноидальная категория, любая 2-группа G имеет единичный объект I _G . Группа автоморфизмов I аргументу _G является абелевой группой по Экмана–Хилтона , записанная Aut( I _G ) или π ₂ G .

Фундаментальная группа группы G действует по обе стороны от π ₂ G , а ассоциатор группы G определяет элемент группы когомологий H ³(π ₁ г , π ₂ г ). Фактически, 2-группы классифицируются 1 следующим образом: даны группа π _, абелева группа π ₂ , групповое действие π ₁ на π ₂ и элемент из H ³(π ₁ , π ₂ ), существует единственная ( с точностью до эквивалентности) 2-группа G, у которой π ₁ G изоморфна π ₁ , π ₂ G изоморфна π ₂ и остальные данные соответствуют ей.

Элемент H ³(π ₁ , π ₂ ), ассоциированный с 2-группой , иногда называют ее инвариантом Синха , поскольку он был разработан Гротендика учеником Хоанг Сюань Синем .

Фундаментальная 2-группа [ править ]

Как упоминалось выше, фундаментальной 2-группой топологического пространства X и точки x является 2-группа Π ₂ ( X , x ), объектами которой являются петли в точке x с умножением, заданным конкатенацией, а морфизмы являются базисно-точечными. сохранение гомотопий между петлями, при этом эти морфизмы идентифицируются, если они сами гомотопны.

И наоборот, для любой 2-группы G можно найти единственное ( с точностью до слабой гомотопической эквивалентности ) точечное связное пространство ( X , x ), фундаментальная 2-группа которого есть G и чьи гомотопические группы π _n тривиальны при n > 2. В таким образом, 2-группы классифицируют заостренные связные слабые гомотопические 2-типы. Это обобщение конструкции пространств Эйленберга–Мак Лейна .

Если X — топологическое пространство с базовой точкой x , то фундаментальная группа X в точке x совпадает с фундаментальной группой фундаментальной 2-группы X в точке x ; то есть,

\pi _{1}(X,x)=\pi _{1}(\Pi _{2}(X,x)).\!

Этот факт является источником термина «фундаментальный» в обоих его двухгрупповых случаях.

Сходным образом,

\pi _{2}(X,x)=\pi _{2}(\Pi _{2}(X,x)).\!

Таким образом, как первая, так и вторая гомотопические группы пространства содержатся внутри его фундаментальной 2-группы . Поскольку эта 2-группа также определяет действие π ₁ ( X , x ) на π ₂ ( X , x ) и элемент группы когомологий H ³(π ₁ ( X , x ), π ₂ ( X , x )), это именно те данные, которые необходимы для формирования Постникова башни X, если X — заостренная связная гомотопия 2-типа.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Хоанг, Сюань Синь (1975), «Gr-categories» , Диссертация , заархивировано из оригинала 21 июля 2015 г.
^ Баэз, Джон К. (2023). «Диссертация Хоанг Сюань Синя: категоризация теории групп». arXiv : 2308.05119 [ math.CT ].
^ Баэз Хвала 2004

Ссылки [ править ]

Баэз, Джон С .; Лауда, Аарон Д. (2004), «Многомерная алгебра V: 2-группы» (PDF) , Теория и приложения категорий , 12 : 423–491, arXiv : math.QA/0307200
Баэз, Джон С .; Стивенсон, Дэнни (2009), «Классифицирующее пространство топологической 2-группы», Баас, Нильс; Фридлендер, Эрик; Ярен, Бьёрн; Оствар, Пол Арне (ред.), Алгебраическая топология. Симпозиум Абеля 2007 , Шпрингер, Берлин, стр. 1–31, arXiv : 0801.3843
Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж. (июль 1991 г.), «Классифицирующее пространство скрещенного комплекса», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 110 (1): 95–120, Бибкод : 1991MPCPS.110...95B , doi : 10.1017 /S0305004100070158
Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж.; Сивера, Рафаэль (август 2011 г.), Нонабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , EMS Tracts in Mathematics, vol. 15, arXiv : math/0407275 , doi : 10.4171/083 , ISBN 978-3-03719-083-8 , МР 2841564 , Збл 1237.55001
Пфайффер, Хендрик (2007), «2-группы, триалгебры и их категории Хопфа представлений», Advances in Mathematics , 212 (1): 62–108, arXiv : math/0411468 , doi : 10.1016/j.aim.2006.09. 014
Сегарра, Антонио Мартинес; Эредиа, Бенхамин А.; Ремедиос, Хосуэ (2012), «Двойные группоиды и гомотопические 2-типы», Applied Categorical Structures , 20 (4): 323–378, arXiv : 1003.3820 , doi : 10.1007/s10485-010-9240-1

Внешние ссылки [ править ]

[1] Хоанг, Сюань Синь (1975), «Gr-categories» , Диссертация , заархивировано из оригинала 21 июля 2015 г.

[2] Баэз, Джон К. (2023). «Диссертация Хоанг Сюань Синя: категоризация теории групп». arXiv : 2308.05119 [ math.CT ].

[3] Баэз Хвала 2004

[1]

[2]

[3]