Гомотопическая группа

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первой и простейшей гомотопической группой является фундаментальная группа , обозначаемая $\pi _{1}(X),$ который записывает информацию о циклах в пространстве . Интуитивно понятно, что гомотопические группы записывают информацию об основной форме или дырах топологического пространства.

Чтобы определить n -ю гомотопическую группу, сохраняющие базовую точку отображения n -мерной сферы (с базовой точкой ) в заданное пространство (с базовой точкой) собираются в классы эквивалентности , называемые гомотопическими классами . Два отображения гомотопны, если одно непрерывно деформируется в другое. Эти гомотопические классы образуют группу , называемую n-й гомотопической группой . $\pi _{n}(X),$ данного пространства X с базовой точкой. Топологические пространства с разными гомотопическими группами никогда не являются гомеоморфными топологические пространства , но негомеоморфные иметь одни и те могут же гомотопические группы.

Понятие гомотопии путей было введено Камиллой Жорданом .

Введение

В современной математике принято изучать категорию , связывая с каждым объектом этой категории более простой объект, который все еще сохраняет достаточную информацию об интересующем объекте. Гомотопические группы — это такой способ ассоциирования групп с топологическими пространствами.

Тор ​

Сфера ​

Эта связь между топологией и группами позволяет математикам применять идеи теории групп к топологии . Например, если два топологических объекта имеют разные гомотопические группы, они не могут иметь одинаковую топологическую структуру — факт, который может быть трудно доказать, используя только топологические средства. Например, тор отличается от сферы : у тора есть «дырка»; сфера этого не делает. Однако, поскольку непрерывность (основное понятие топологии) имеет дело только с локальной структурой, формально определить очевидное глобальное различие может быть сложно. Однако гомотопические группы несут информацию о глобальной структуре.

Что касается примера: первая гомотопическая группа тора $T$ является

$$\pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},$$

потому что универсальной накрытой тора является евклидова плоскость $\mathbb {R} ^{2},$ отображение на тор $T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.$ Здесь фактор относится к категории топологических пространств, а не к группам или кольцам. С другой стороны, сфера $S^{2}$ удовлетворяет:

$$\pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,$$

потому что каждую петлю можно сжать до постоянного отображения ( гомотопических групп см. В гомотопических группах сфер об этом и более сложных примерах ). Следовательно, тор не гомеоморфен сфере.

Определение

В н -сфере $S^{n}$ мы выбираем базовую точку a . Для пространства X с базовой точкой b определим $\pi _{n}(X)$ быть множеством гомотопических классов отображений

$$f:S^{n}\to X\mid f(a)=b$$

которые отображают базовую точку a в базовую точку b . В частности, классы эквивалентности задаются гомотопиями, постоянными в базовой точке сферы. Эквивалентно, определите $\pi _{n}(X)$ быть группой гомотопических классов отображений $g:[0,1]^{n}\to X$ из n -куба в X , которые переводят границу n - куба в b .

Состав в основной группе

Для $n\geq 1,$ гомотопические классы образуют группу . Чтобы определить групповую операцию, напомним, что в фундаментальной группе произведение $f\ast g$ из двух петель $f,g:[0,1]\to X$ определяется установкой

$$f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$$

Идея композиции фундаментальной группы заключается в последовательном прохождении первого пути и второго пути или, что то же самое, в соединении двух их областей вместе. Концепция композиции, которую мы хотим для n -й гомотопической группы, та же самая, за исключением того, что теперь области, которые мы склеиваем, представляют собой кубы, и мы должны склеить их вдоль грани. Поэтому мы определяем сумму отображений $f,g:[0,1]^{n}\to X$ по формуле

$$(f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$$

Для соответствующего определения в терминах сфер определим сумму $f+g$ карт $f,g:S^{n}\to X$ быть $\Psi$ состоит из h , где $\Psi$ это карта из $S^{n}$ к клиновой сумме двух n -сфер, которая сжимает экватор, а h - это отображение клиновой суммы двух n -сфер в X , которое определяется как f на первой сфере и g на второй.

Если $n\geq 2,$ затем $\pi _{n}$ является абелевым . Кроме того, подобно фундаментальной группе, для пространства линейной связности любые два выбора базовой точки приводят к изоморфным $\pi _{n}.$

Соблазнительно попытаться упростить определение гомотопических групп, опуская базовые точки, но это обычно не работает для неодносвязных пространств , даже для пространств линейной связности. Набор гомотопических классов отображений сферы в пространство линейной связности не является гомотопической группой, но по существу представляет собой набор орбит фундаментальной группы на гомотопической группе и, вообще говоря, не имеет естественной групповой структуры.

Выход из этих трудностей был найден путем определения высших гомотопических группоидов фильтрованных пространств и n -кубов пространств. Они связаны с относительными гомотопическими группами и с n -адическими гомотопическими группами соответственно. Тогда высшая гомотопическая теорема Ван Кампена позволяет получить некоторую новую информацию о гомотопических группах и даже о гомотопических типах. Дополнительную информацию и ссылки см. в разделе «Теория групп многомерности» и ссылках ниже.

Гомотопические группы и дыры

Топологическое пространство имеет дыру с d -мерной границей тогда и только тогда, когда оно содержит d -мерную сферу, которую невозможно непрерывно сжать в одну точку. Это справедливо тогда и только тогда, когда существует отображение ${\textstyle S^{d}\to X}$ которая не гомотопна постоянной функции . Это справедливо тогда и только тогда, когда d -я гомотопическая группа X нетривиальна. Короче говоря, X имеет дырку с d -мерной границей, если и только если $\pi _{d}(X)\not \cong 0$.

Длинная точная последовательность расслоения

Позволять $p:E\to B$ , сохраняющим базовую точку, быть расслоением Серра со слоем $F,$ то есть отображение, обладающее свойством гомотопического подъема относительно комплексов CW . Предположим, что B линейно связен. Тогда существует длинная точная последовательность гомотопических групп

$$\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.$$

Здесь карты с участием $\pi _{0}$ не являются гомоморфизмами групп , поскольку $\pi _{0}$ не являются группами, но они точны в том смысле, что образ равен ядру .

Пример: расслоение Хопфа . Пусть В равно $S^{2}$ и E равны $S^{3}.$ Пусть p — расслоение Хопфа , имеющее слой $S^{1}.$ Из длинной точной последовательности

$$\cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots$$

и тот факт, что $\pi _{n}(S^{1})=0$ для $n\geq 2,$ мы находим это $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ для $n\geq 3.$ В частности, $\pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .$

В случае накрытия, когда слой дискретен, мы имеем следующее: $\pi _{n}(E)$ изоморфен $\pi _{n}(B)$ для $n>1,$ что $\pi _{n}(E)$ встраивается инъективно в $\pi _{n}(B)$ за все позитивное $n,$ и подгруппа что $\pi _{1}(B)$ что соответствует вложению $\pi _{1}(E)$ имеет смежные классы в биекции с элементами слоя.

Когда расслоение является слоем отображения или, двойственно, корасслоением является конус отображения , тогда результирующая точная (или дуально, коточная) последовательность задается последовательностью Пуппе .

Однородные пространства и сферы

Существует множество реализаций сфер как однородных пространств , которые предоставляют хорошие инструменты для вычисления гомотопических групп групп Ли и классификации главных расслоений в пространствах, состоящих из сфер.

группа

Существует расслоение

$$SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}$$

давая длинную точную последовательность

$$\cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots$$

который вычисляет гомотопические группы низкого порядка $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ для $i<n-1,$ с $S^{n-1}$ является $(n-2)$- связан. В частности, существует расслоение

$$SO(3)\to SO(4)\to S^{3}$$

нижние гомотопические группы которых можно вычислить явно. С $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ и есть расслоение

$$\mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$$

у нас есть $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ для $i>1.$ Используя это и тот факт, что $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ которую можно вычислить с помощью системы Постникова , мы имеем длинную точную последовательность

$${\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}$$

С $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ у нас есть $\pi _{2}(SO(4))=0.$ Кроме того, средняя строка дает $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ поскольку соединительная карта $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ тривиально. Также мы можем знать $\pi _{4}(SO(4))$ имеет двухторсионный.

Применение к связкам сфер

Милнор использовал этот факт $\pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ классифицировать расслоения трех сфер по $S^{4},$ в частности, ему удалось найти экзотические сферы , которые представляют собой гладкие многообразия, называемые сферами Милнора, гомеоморфными только $S^{7},$ не диффеоморфен . Обратите внимание, что любое расслоение сфер можно построить из $4$- векторное расслоение , имеющее структурную группу $SO(4)$ с $S^{3}$ может иметь структуру ориентированного риманова многообразия .

Сложное проективное пространство

Существует расслоение

$$S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}$$

где $S^{2n+1}$ это единичная сфера в $\mathbb {C} ^{n+1}.$ С помощью этой последовательности можно показать односвязность $\mathbb {CP} ^{n}$ для всех $n.$

Методы расчета

Вычисление гомотопических групп, как правило, намного сложнее, чем вычисление некоторых других гомотопических инвариантов, изучаемых в алгебраической топологии. В отличие от теоремы Зейферта-Ван Кампена для фундаментальной группы и теоремы об вырезании сингулярных гомологии и когомологии , не существует простого известного способа вычисления гомотопических групп пространства путем разбиения его на более мелкие пространства. Однако методы, разработанные в 1980-х годах с использованием теоремы Ван Кампена о типе для высших гомотопических группоидов, позволили провести новые расчеты гомотопических типов и, следовательно, гомотопических групп. Пример результата см. в статье Эллиса и Михайлова за 2010 год.

Для некоторых пространств, таких как торы , все высшие гомотопические группы (то есть вторые и высшие гомотопические группы) тривиальны . Это так называемые асферические пространства . Однако, несмотря на интенсивные исследования по вычислению гомотопических групп сфер, даже в двух измерениях полный список не известен. Чтобы вычислить даже четвертую гомотопическую группу $S^{2}$ нужны гораздо более продвинутые методы, чем можно предположить из определений. В частности, именно для этой цели была построена спектральная последовательность Серра .

Некоторые гомотопические группы n -связных пространств можно вычислить путем сравнения с группами гомологий с помощью теоремы Гуревича .

Список методов вычисления гомотопических групп

• Длинная точная последовательность гомотопических групп расслоения.
• Теорема Гуревича , имеющая несколько версий.
• Теорема Блейкера–Мэсси , также известная как вырезание гомотопических групп.
• Теорема Фрейденталя о подвеске , следствие вырезания гомотопических групп.

группы

Существует также полезное обобщение гомотопических групп: $\pi _{n}(X),$ называемые относительными гомотопическими группами $\pi _{n}(X,A)$ на пару $(X,A),$ где A — подпространство ​ $X.$

Конструкция мотивирована тем, что для включения $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ на каждой гомотопической группе существует индуцированное отображение $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ что вообще-то не является инъекцией. Действительно, элементы ядра известны, если рассматривать представитель $f:I^{n}\to X$ и взяв базовую гомотопию $F:I^{n}\times I\to X$ на постоянную карту $x_{0},$ или другими словами $H_{I^{n}\times 1}=f,$ в то время как ограничение на любой другой граничный компонент $I^{n+1}$ тривиально. Таким образом, мы имеем следующую конструкцию:

Элементами такой группы являются гомотопические классы базовых отображений. $D^{n}\to X$ которые несут границу $S^{n-1}$ в А. ​Две карты $f,g$ называются гомотопными относительно A , если они гомотопны по гомотопии, сохраняющей базовую точку $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ такая, что для каждого p в $S^{n-1}$ и т в $[0,1],$ элемент $F(p,t)$ в А. находится Заметим, что обычные гомотопические группы восстанавливаются для частного случая, когда $A=\{x_{0}\}$ — это синглтон, содержащий базовую точку.

Эти группы абелевы для $n\geq 3(E)$ но для $n=2$ сформировать верхнюю группу скрещенного модуля с нижней группой $\pi _{1}(A).$

Существует также длинная точная последовательность относительных гомотопических групп, которую можно получить с помощью последовательности Пуппе :

$\cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots$

Связанные понятия

Гомотопические группы играют фундаментальную роль в теории гомотопий , что, в свою очередь, стимулировало развитие модельных категорий . можно определить абстрактные гомотопические группы Для симплициальных множеств .

Группы гомологий подобны группам гомотопий в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Однако гомотопические группы часто очень сложны и их трудно вычислить. Напротив, группы гомологий коммутативны (как и высшие гомотопические группы). Поэтому иногда говорят, что «гомология является коммутативной альтернативой гомотопии». Учитывая топологическое пространство $X,$ его n -я гомотопическая группа обычно обозначается через $\pi _{n}(X),$ и его n -я группа гомологий обычно обозначается через $H_{n}(X).$

См. также

• Расслоение
• расслоение Хопфа
• инвариант Хопфа
• Теория узлов
• Гомотопический класс
• Гомотопические группы сфер
• Топологический инвариант
• Гомотопическая группа с коэффициентами
• Остроконечный набор

Ссылки

• Рональд Браун , "Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии", Гомологии, гомотопия и приложения , 1 (1999) 1–78.
• Рональд Браун , Филип Дж. Хиггинс, Рафаэль Сивера, Нонабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , EMS Tracts in Mathematics Vol. 15 703 страницы, Европейская математика. Общество, Цюрих, 2011. два : 10.4171/083 MR 2841564
• Чех, Эдуард (1932), «Многомерные гомотопические группы», Труды Международного конгресса математиков, Цюрих .
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-79540-1
• «Гомотопическая группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хопф, Хайнц (1931), «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность» , Mathematical Annals , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 .
• Кампс, Клаус Х.; Портер, Тимоти (1997). Абстрактная гомотопия и простая теория гомотопии . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing. дои : 10.1142/9789812831989 . ISBN  981-02-1602-5 . МР   1464944 .
• Тода, Хироши (1962). Методы композиции в гомотопических группах сфер . Анналы математических исследований. Том. 49. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-09586-8 . МР   0143217 .
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. стр. XXI+744. ISBN  978-0-387-90336-1 . МР   0516508 .