Свойство гомотопического подъема

В математике , в частности в теории гомотопии в алгебраической топологии , свойство подъема гомотопии (также известное как пример свойства правого подъема или аксиома покрывающей гомотопии ) является техническим условием непрерывной функции из топологического пространства E в другое, Б. ​Он предназначен для поддержки образа E «над» B , позволяя гомотопии , имеющей место в B, «наверх» в E. перемещаться

Например, покрывающая карта обладает свойством однозначного локального поднятия путей до данного листа; единственность состоит в том, что слои накрывающего отображения являются дискретными пространствами . Свойство гомотопического подъема будет сохраняться во многих ситуациях, таких как проекция в векторном расслоении , расслоении или расслоении , где не обязательно должен быть уникальный способ подъема.

Формальное определение

Предположим, что все отображения являются непрерывными функциями между топологическими пространствами. Учитывая карту $\pi \colon E\to B$, и пространство $Y\,$, один говорит, что $(Y,\pi )$ обладает свойством гомотопического подъема, или что $\pi \,$ обладает свойством гомотопического подъема относительно $Y$, если:

• для любой гомотопии $f_{\bullet }\colon Y\times I\to B$, и
• для любой карты ${\tilde {f}}_{0}\colon Y\to E$ подъем $f_{0}=f_{\bullet }|_{Y\times \{0\}}$ (т.е. так, чтобы $f_{\bullet }\circ \iota _{0}=f_{0}=\pi \circ {\tilde {f}}_{0}$),

существует гомотопия ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon Y\times I\to E$ подъем $f_{\bullet }$ (т.е. так, чтобы $f_{\bullet }=\pi \circ {\tilde {f}}_{\bullet }$), что также удовлетворяет ${\tilde {f}}_{0}=\left.{\tilde {f}}\right|_{Y\times \{0\}}$.

Следующая диаграмма отображает эту ситуацию:

Внешний квадрат (без пунктирной стрелки) коммутирует тогда и только тогда, когда гипотезы о подъемном свойстве верны. Лифтинг ${\tilde {f}}_{\bullet }$ соответствует пунктирной стрелке, заставляющей диаграмму коммутировать. Эта диаграмма двойственна диаграмме свойства гомотопического расширения ; эту двойственность широко называют двойственностью Экмана – Хилтона .

Если карта $\pi$ удовлетворяет свойству гомотопического подъема относительно всех пространств $Y$, затем $\pi$ называется расслоением , или иногда просто говорят, что $\pi$ обладает свойством гомотопического подъема .

Более слабое понятие расслоения — это расслоение Серра , для которого подъем гомотопии требуется только для всех комплексов CW. $Y$.

подъема

Существует общее обобщение свойства поднятия гомотопии и свойства расширения гомотопии . Учитывая пару пробелов $X\supseteq Y$, для простоты обозначим $T\mathrel {:=} (X\times \{0\})\cup (Y\times [0,1])\subseteq X\times [0,1]$. Дана дополнительно карта $\pi \colon E\to B$, один говорит, что $(X,Y,\pi )$ обладает свойством расширения гомотопического подъема, если:

• Для любой гомотопии $f\colon X\times [0,1]\to B$, и
• Для любого подъема ${\tilde {g}}\colon T\to E$ из $g=f|_{T}$, существует гомотопия ${\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E$ который охватывает $f$ (т.е. такой, что $\pi {\tilde {f}}=f$) и расширяется ${\tilde {g}}$ (т.е. такой, что $\left.{\tilde {f}}\right|_{T}={\tilde {g}}$).

Свойство гомотопического подъема $(X,\pi )$ получается путем принятия $Y=\emptyset$, так что $T$ выше это просто $X\times \{0\}$.

Свойство гомотопического продолжения $(X,Y)$ получается путем принятия $\pi$ быть постоянным отображением, так что $\pi$ не имеет значения, поскольку каждое отображение в E тривиально является подъемом постоянного отображения в точку образа $\pi$.

См. также

• Покрытие пространства
• Расслоение

Ссылки

• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00548-6 .
• Ху, Сзе-Цен (1959). Гомотопическая теория (третье издание, изд. 1965 г.). Academic Press Inc. Нью-Йорк: ISBN  0-12-358450-7 .
• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-94087-8 .
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0 .
• Жан-Пьер Маркиз (2006) «Путь к эпистемологии математики: теория гомотопии», страницы 239–260 в книге «Архитектура современной математики» , Дж. Феррейрос и Дж. Джей Грей , редакторы, Oxford University Press ISBN   978-0-19-856793-6

Внешние ссылки

• А.В. Чернавский (2001) [1994], "Накрывающая гомотопия" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Свойство гомотопического подъема в n лаборатории