Гомотопия

Эта статья о топологии. Для химии см. Гомотопные группы .

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет собой одну из возможных гомотопий.

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от древнегреческого : ὁμός homós «одинаковый, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна из них может «непрерывно деформироваться» в другую. , такая деформация называется гомотопией ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / , да- МО -те-пи ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ to oʊ p iː / , HOH -moh-toh-pee ) между двумя функциями. Заметным применением гомотопии является определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии .

На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно сгенерированными пространствами , комплексами CW или спектрами .

Формальное определение

Гомотопия между вложениями тора двумя в R ³ : как «поверхность пончика» и как «поверхность кофейной кружки». Это также пример изотопии .

Формально, гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из a топологическое пространство X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция $H:X\times [0,1]\to Y$ от произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y такое, что $H(x,0)=f(x)$ и $H(x,1)=g(x)$ для всех $x\in X$.

Если мы подумаем о втором параметре H : в момент 0 у нас как о времени, то H описывает непрерывную деформацию f , а в момент 1 в g есть функция f у нас есть функция g . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g при перемещении ползунка от 0 к 1 и наоборот.

Альтернативное обозначение состоит в том, что гомотопия между двумя непрерывными функциями $f,g:X\to Y$ представляет собой семейство непрерывных функций $h_{t}:X\to Y$ для $t\in [0,1]$ такой, что $h_{0}=f$ и $h_{1}=g$и карта $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ является непрерывным от $X\times [0,1]$ к $Y$. Обе версии совпадают, установив $h_{t}(x)=H(x,t)$. Недостаточно требовать каждую карту $h_{t}(x)$ быть непрерывным.

зацикленная вверху справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями Анимация , f и g тора в R. ³ . X — тор, Y — R ³ , f — некоторая непрерывная функция от тора до R ³ это переносит тор во встроенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g — некоторая непрерывная функция, которая переводит тор в форму вложенной поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h _t (X) как функцию параметра t , где t меняется со временем от 0 до 1 в каждом цикле цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t снова меняется от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.

Свойства

Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Гомотопность — это эквивалентности на множестве всех непрерывных функций от X до Y. отношение Это гомотопическое отношение совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f ₁ , g ₁ : X → Y гомотопны и f ₂ , g ₂ : Y → Z гомотопны, то их композиции f ₂ ∘ f ₁ и g ₂ ∘ g ₁ : X → Z также гомотопны.

Примеры

• Если $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ даны $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ и $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$, то карта $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ данный $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$ является гомотопией между ними.
• В более общем смысле, если $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ является выпуклым подмножеством евклидова пространства и $f,g:[0,1]\to C$ пути с одинаковыми концами, то существует линейная гомотопия (или гомотопия прямой ), заданная формулой

  ${\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}$

• Позволять $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ — тождественная функция на единичном n - диске ; то есть набор $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$. Позволять $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ быть постоянной функцией $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ который отправляет каждую точку в начало координат . Тогда гомотопией между ними является следующее:

  ${\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}$

Гомотопическая эквивалентность

Учитывая два топологических пространства X и Y , гомотопическая эквивалентность между X и Y представляет собой пару непрерывных отображений f : X → Y и g : Y → X , таких, что g ∘ f гомотопно тождественному отображению id _X и f ∘ g. гомотопен id _Y . Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными или принадлежащими к одному и тому же гомотопическому типу . Интуитивно понятно, что два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга посредством операций сгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

эквивалентность

Гомеоморфизм (не только гомотопно — это частный случай гомотопической эквивалентности, в котором g ∘ f равно тождественному отображению id _X ему), а f ∘ g равно id _Y . Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:

• Сплошной диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете непрерывно деформировать диск вдоль радиальных линий до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно — бесконечное множество, а другое — конечное).
• Лента Мёбиуса и раскрученная (замкнутая) лента гомотопически эквивалентны, поскольку обе ленты можно непрерывно деформировать в окружность. Но они не гомеоморфны.

Примеры

• Первый пример гомотопической эквивалентности: $\mathbb {R} ^{n}$ с точкой, обозначенной $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$. Часть, которую необходимо проверить, — это существование гомотопии. $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ между $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ и $p_{0}$, проекция $\mathbb {R} ^{n}$ на начало координат. Это можно описать как $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$.
• Существует гомотопическая эквивалентность между $S^{1}$ ( 1-сфера ) и $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$.
  • В более общем смысле, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$.
• Любой пучок волокон $\pi :E\to B$ с волокнами $F_{b}$ гомотопия, эквивалентная точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальные и базовые пространства. Это обобщает два предыдущих примера, поскольку $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$представляет собой пучок волокон с волокном $\mathbb {R} _{>0}$.
• Каждое векторное расслоение представляет собой расслоение с гомотопией слоя, эквивалентной точке.
• $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}$ для любого $0\leq k<n$, написав $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}$ как общее пространство расслоения $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$, затем применив приведенные выше гомотопические эквивалентности.
• Если подкомплекс $A$ комплекса ХО $X$ стягиваемо, то факторпространство $X/A$ гомотопически эквивалентен $X$.
• Деформационная ретракция является гомотопической эквивалентностью.

Нуль-гомотопия

Функция $f$ называется нуль-гомотопной, если она гомотопна постоянной функции. (гомотопия из $f$ к постоянной функции иногда называют нулевой-гомотопией .) Например, отображение $f$ из единичного круга $S^{1}$ в любое пространство $X$ является нуль-гомотопным именно тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения единичного круга $D^{2}$ к $X$ это согласуется с $f$ на границе.

Из этих определений следует, что пространство $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из $X$ самому себе, что всегда является гомотопической эквивалентностью, является нуль-гомотопным.

Инвариантность

Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y — гомотопически эквивалентные пространства, то:

• X тогда линейно связен и только тогда, когда Y таков.
• X односвязен тогда и только тогда, когда Y односвязен.
• Особые) гомологий и когомологий X Y и группы изоморфны ( .
• Если X и Y линейно связны, то группы фундаментальные X и Y изоморфны, как и высшие гомотопические группы . (Без предположения о линейной связности имеем π ₁ ( X , x ₀ ) изоморфно π ₁ ( Y , f ( x ₀ )), где f : X → Y — гомотопическая эквивалентность и x ₀ ∈ X .)

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не гомотопически-инвариантна).

Варианты

гомотопия

Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, которые сохраняют элементы подпространства фиксированными. Формально: если f и g — непрерывные отображения из X в Y , а K — подмножество X K , то мы говорим, что f и g гомотопны относительно , если существует гомотопия H : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме того, если g — ретракция от X к K а f тождественное отображение, это называется ретрактом сильной деформации X , к K. — Когда K — точка, термин «точечная гомотопия» используется .

Изотопия

Узел поскольку не эквивалентен узлу -трилистнику, один из них не может быть деформирован в другой посредством непрерывного пути гомеоморфизмов объемлющего пространства. Таким образом, они не являются изотопными.

Когда две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно задаться вопросом, можно ли их соединить «через вложения». Это порождает концепцию изотопии , которая является гомотопией H в использованных ранее обозначениях, такой, что для каждого фиксированного H t ( x , t ) дает вложение.

Близкая, но другая концепция — это концепция изотопии окружающей среды .

Требование изотопности двух вложений является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение интервала [−1, 1] в действительные числа, определяемые формулой f ( x ) = − x, изотопно не тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до тождества должна была бы поменять местами конечные точки, а это означало бы, что им придется «проходить» друг через друга. Более того, f изменил ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако отображения гомотопны; одна гомотопия от f до единицы равна H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная формулой H ( x , y ) = 2 yx − x .

Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, которые совпадают на границе, можно показать как изотопные, используя прием Александера . По этой причине отображение единичного круга в R ² определенный как f ( x , y ) = (− x , − y на 180 градусов ), изотопен повороту вокруг начала координат, и поэтому тождественная карта и f изотопны, поскольку их можно соединить поворотами.

В геометрической топологии — например, в теории узлов — идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла К ₁ и К ₂ в трехмерном пространстве . Узел — это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между кругом и его образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узла, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое посредством пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся в момент t = 0, дающая вложение K ₁ , заканчивающаяся в момент t = 1, давая вложение K ₂ , с все промежуточные значения, соответствующие вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучаемая в этом контексте, представляет собой изотопию большего пространства, рассматриваемую в свете ее воздействия на вложенное подмногообразие. Узлы K ₁ и K ₂ считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая перемещается от К ₁ до К ₂ . Это подходящее определение в топологической категории.

Похожий язык используется для обозначения эквивалентного понятия в контекстах, где существует более строгое понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией .

Времениподобная гомотопия

На лоренцевом многообразии некоторые кривые выделяются как времениподобные (представляющие что-то, что движется только вперед, а не назад, во времени, в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, в которой кривая остается времениподобной при непрерывном переходе от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времяподобная кривая (CTC) на лоренцевом многообразии не является времениподобной гомотопной точке (т. е. нулевой времениподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть просто связно (кривой любого типа), но при этом быть времениподобным многосвязным .

Свойства

Свойства подъема и расширения

Основная статья: Свойство гомотопического подъема

Если у нас есть гомотопия H : X × [0,1] → Y и покрытие p : Y → Y и дано отображение h ₀ : X → Y такое, что H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ называется подъем × h 0 _: ), то мы можем поднять все H до отображения H ○ X [0, 1] → Y такого, p что H = H . Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .

Еще одно полезное свойство, связанное с гомотопией, — это свойство расширения гомотопии .которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями из подмножества некоторого множества до самого этого множества. Это полезно при работе с кофибрациями .

Группы

Основная статья: Гомотопическая группа

Поскольку связь двух функций $f,g\colon X\to Y$ будучи гомотопным относительно подпространства, является отношением эквивалентности, мы можем рассмотреть классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y . Если мы исправим $X=[0,1]^{n}$, единичный интервал [0, 1] пересекся сам с собой n раз, и возьмем его границу $\partial ([0,1]^{n})$ как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую $\pi _{n}(Y,y_{0})$, где $y_{0}$ находится в образе подпространства $\partial ([0,1]^{n})$.

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В случае $n=1$, ее еще называют фундаментальной группой .

Категория гомотопии

Основная статья: Категория гомотопии

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория — это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами — классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если его можно выразить как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальными гомотопическими инвариантами: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне групп гомологий, одинаковы: H _n ( f ) = ЧАС _п ( г ) : ЧАС _п ( Икс ) → ЧАС _п ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно связны путями и гомотопия между f и g указана, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп, также одинаковы: π _n ( f ) = π _n ( г ) : π _п ( Икс ) → π _п ( Y ).

Приложения

На основе концепции гомотопии методы вычисления алгебраических . и дифференциальных уравнений разработаны К методам решения алгебраических уравнений относится гомотопического продолжения. метод и метод продолжения (см. числовое продолжение ). К методам дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .

Теорию гомотопии можно использовать в качестве основы теории гомологий : можно представить функтор когомологий в пространстве X путем отображения X в подходящее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого основанного CW-комплекса X множество $[X,K(G,n)]$ базовых гомотопических классов базовых отображений из X в пространство Эйленберга – Маклейна $K(G,n)$ находится в естественной биекции с n -й когомологий сингулярной группой $H^{n}(X,G)$ пространства X. ​Говорят, что омега-спектры пространств Эйленберга-Маклейна представляют собой пространства сингулярных когомологий с коэффициентами из G .

См. также

• Слоистая гомотопическая эквивалентность (относительная версия гомотопической эквивалентности)
• Гомеотопия
• Теория гомотопических типов
• Группа классов сопоставления
• Гипотеза Пуанкаре
• Регулярная гомотопия

Источники

• Армстронг, Массачусетс (1979). Базовая топология . Спрингер. ISBN  978-0-387-90839-7 .
• «Гомотопия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Изотопия (в топологии)» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN  978-0-387-94426-5 .