Регулярная гомотопия

В математической области топологии регулярная гомотопия относится к особому виду гомотопии между погружениями одного многообразия в другое. Гомотопия должна быть однопараметрическим семейством погружений.

Подобно гомотопическим классам , два погружения определяются как принадлежащие к одному и тому же регулярному гомотопическому классу, если между ними существует регулярная гомотопия. Регулярная гомотопия погружений аналогична изотопии вложений: обе они являются ограниченными типами гомотопий. Другими словами, две непрерывные функции $f,g:M\to N$ гомотопны, если они представляют точки в одних и тех же компонентах путей пространства отображений $C(M,N)$ , учитывая компактно-открытую топологию . Пространство погружений – это подпространство $C(M,N)$ состоящее из погружений, обозначаемых $\operatorname {Imm} (M,N)$ . Два погружения $f,g:M\to N$ , регулярно гомотопны если они представляют точки одной и той же компоненты пути $\operatorname {Imm} (M,N)$ .

Примеры [ править ]

Любые два узла в 3-пространстве эквивалентны по регулярной гомотопии, но не по изотопии.

Теорема Уитни-Граустейна классифицирует регулярные гомотопические классы окружности на плоскости; два погружения регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число поворотов - что эквивалентно полной кривизне ; эквивалентно, тогда и только тогда, когда их карты Гаусса имеют одинаковую степень/ число витков .

Классификация погружений сфер Смейла показывает, что существуют вывороты сфер , которые могут быть реализованы через эту поверхность Морена .

Стивен Смейл классифицировал регулярные гомотопические классы k -сферы, погруженной в $\mathbb {R} ^{n}$ – они классифицируются гомотопическими группами многообразий Стифеля , что является обобщением отображения Гаусса, причем здесь k частных производных не обращаются в нуль. Точнее, набор $I(n,k)$ регулярных гомотопических классов вложений сферы $S^{k}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ находится во взаимно однозначном соответствии с элементами группы $\pi _{k}\left(V_{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right)$ . В случае $k=n-1$ у нас есть $V_{n-1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\cong SO(n)$ . С $SO(1)$ связан ли путь, $\pi _{2}(SO(3))\cong \pi _{2}\left(\mathbb {R} P^{3}\right)\cong \pi _{2}\left(S^{3}\right)\cong 0$ и $\pi _{6}(SO(6))\to \pi _{6}(SO(7))\to \pi _{6}\left(S^{6}\right)\to \pi _{5}(SO(6))\to \pi _{5}(SO(7))$ и по теореме о периодичности Ботта имеем $\pi _{6}(SO(6))\cong \pi _{6}(\operatorname {Spin} (6))\cong \pi _{6}(SU(4))\cong \pi _{6}(U(4))\cong 0$ и поскольку $\pi _{5}(SO(6))\cong \mathbb {Z} ,\ \pi _{5}(SO(7))\cong 0$ тогда у нас есть $\pi _{6}(SO(7))\cong 0$ . Поэтому все погружения сфер $S^{0},\ S^{2}$ и $S^{6}$ в евклидовых пространствах еще одного измерения являются регулярными гомотопными. В частности, сферы $S^{n}$ встроенный в $\mathbb {R} ^{n+1}$ признать выворот, если $n=0,2,6$ . Следствием его работы является то, что существует только один регулярный гомотопический класс 2 -сферы, погруженной в $\mathbb {R} ^{3}$ . В частности, это означает, что существуют сферические вывороты , т.е. можно вывернуть 2-сферу «наизнанку».

Оба эти примера состоят в сведении регулярной гомотопии к гомотопии; впоследствии это было существенно обобщено в подходе гомотопического принципа (или h -принципа).

Невырожденная гомотопия [ править ]

Для локально выпуклых в замкнутом кривых пространстве можно также определить невырожденную гомотопию. Здесь однопараметрическое семейство погружений должно быть невырожденным (т. е. кривизна никогда не может исчезнуть). Существует два различных невырожденных гомотопических класса. ^[1] Дальнейшие ограничения неисчезающего кручения приводят к 4 различным классам эквивалентности. ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Фельдман, Э.А. (1968). «Деформации кривых замкнутого пространства» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 (1): 67–75. дои : 10.4310/jdg/1214501138 .
^ Литтл, Джон А. (1971). «Невырожденные гомотопии пространственных кривых третьего порядка» . Журнал дифференциальной геометрии . 5 (3): 503–515. дои : 10.4310/jdg/1214430012 .

Уитни, Хасслер (1937). «О правильных замкнутых кривых на плоскости» . Математическая композиция . 4 : 276–284.
Смейл, Стивен (февраль 1959 г.). «Классификация погружений двухсферы» (PDF) . Труды Американского математического общества . 90 (2): 281–290. дои : 10.2307/1993205 . JSTOR 1993205 .
Смейл, Стивен (март 1959 г.). «Классификация погружений сфер в евклидовы пространства» (PDF) . Анналы математики . 69 (2): 327–344. дои : 10.2307/1970186 . JSTOR 1970186 .

[1] Фельдман, Э.А. (1968). «Деформации кривых замкнутого пространства» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 (1): 67–75. дои : 10.4310/jdg/1214501138 .

[2] Литтл, Джон А. (1971). «Невырожденные гомотопии пространственных кривых третьего порядка» . Журнал дифференциальной геометрии . 5 (3): 503–515. дои : 10.4310/jdg/1214430012 .

[1]

[2]