Компактно-открытая топология

В математике компактно -открытая топология — это топология, определенная на множестве между непрерывных отображений двумя топологическими пространствами . Компактно-открытая топология — одна из часто используемых топологий в функциональных пространствах и применяется в теории гомотопий и функциональном анализе . Он был представлен Ральфом Фоксом в 1945 году. ^[1]

Если кодобласть равномерную , рассматриваемых функций имеет структуру или метрическую структуру то компактно-открытая топология есть «топология равномерной сходимости на компактах ». Другими словами, последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии именно тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве области . ^[2]

Определение [ править ]

Пусть $X$ и $Y$ — два топологических пространства , и пусть $(X, Y) обозначает$ множество всех непрерывных отображений между $X$ и $Y.$ C Учитывая компактное подмножество $K$ в $X$ и открытое подмножество $U$ в $Y$ , пусть $V (K, U)$ обозначает множество всех функций $f \in C (X, Y)$ таких, что $(K) \subseteq U. f$ Другими словами, $V(K,U)=C(K,U)\times _{C(K,Y)}C(X,Y)$ . Тогда совокупность всех таких $V (K, U)$ является подбазой компактно-открытой топологии на $C (X, Y)$ . (Этот набор не всегда образует основу топологии на $C (X, Y)$ .)

При работе с категорией принято компактно порожденных пространств модифицировать это определение, ограничиваясь подбазой, образованной из тех $K$ , которые являются образом компактного хаусдорфова пространства . Конечно, если $X$ компактно порождено и хаусдорфово, то это определение совпадает с предыдущим. Однако модифицированное определение имеет решающее значение, если кто-то хочет, чтобы удобная категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых была декартово замкнутой . пространств , помимо других полезных свойств, ^[3]^[4]^[5] Путаница между этим определением и приведенным выше вызвана разным использованием слова «компакт» .

Если $X$ локально компактно, то $X\times -$ из категории топологических пространств всегда имеет правосопряженное $Hom(X,-)$ . Это сопряжение совпадает с компактно-открытой топологией и может быть использовано для ее однозначного определения. Модификацию определения компактно порожденных пространств можно рассматривать как взятие сопряженного произведения из категории компактно порожденных пространств вместо категории топологических пространств, что гарантирует, что правый сопряженный всегда существует.

Свойства [ править ]

Если $*$ — одноточечное пространство, то можно отождествить $C (*, Y)$ с $Y$ , и при этом отождествлении компактно-открытая топология согласуется с топологией на $Y$ . В более общем смысле, если $X$ — дискретное пространство , то $C (X, Y)$ можно отождествить с декартовым произведением $| Х |$ копий $Y$ , и компактно-открытая топология согласуется с топологией произведения .
Если $Y$ есть $T 0$ , $T 1$ , Хаусдорф , регулярный или Тихонов , то компактно-открытая топология имеет соответствующую аксиому разделения .
Если $X$ хаусдорфова система, а $S$ — подбаза для $Y$ , то набор ${V (K, U) : U \in S, K компактный}$ является подбазой для компактно-открытой топологии на $C (X, Y)$ . ^[6]
Если $Y$ — метрическое пространство (или, вообще, равномерное пространство ), то компактно-открытая топология равна топологии компактной сходимости . Другими словами, если $Y$ — метрическое пространство, то последовательность ${fn} подмножества$ сходится к $f$ компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда для каждого компактного $в$ X ${$ сходится $fn} в равномерно$ к $f$ на $K.$ K Если $X$ компактно и $Y$ — равномерное пространство, то компактно-открытая топология равна топологии равномерной сходимости .
Если $X, Y$ и $Z$ — топологические пространства с $Y$ локально компактным по Хаусдорфу (или даже просто локально компактным предрегулярным ), то отображение композиции $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ заданное по $(f, g) \mapsto f \circ g,$ является непрерывным (здесь всем функциональным пространствам задана компактно-открытая топология, а $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ задана топология произведения ).
Если $X$ — локально компактное хаусдорфово (или предрегулярное) пространство, то отображение оценки $e : C (X, Y) \times X \to Y$ , определенное формулой $e (f, x) = f (x)$ , является непрерывным. Это можно рассматривать как частный случай вышеизложенного, когда $X$ — одноточечное пространство.
Если $X$ компактно, а $Y$ — метрическое пространство с метрикой $d$ , то компактно-открытая топология на $C (X, Y)$ метризуема , и метрика для нее задается формулой $e (f, g) = sup {d (f (x), g (x)) : x в X},$ для $f, g$ в $C (X, Y)$ .

Приложения [ править ]

Компактную открытую топологию можно использовать для топологии следующих множеств: ^[7]

$\Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}$ , петли пространство $X$ в $x_{0}$ ,
$E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}{\text{ and }}f(1)=x_{1}\}$ ,
$E(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}\}$ .

Кроме того, существует гомотопическая эквивалентность пространств $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ . ^[7] Эти топологические пространства, $C(X,Y)$ полезны в теории гомотопий, поскольку их можно использовать для формирования топологического пространства и модели гомотопического типа набора гомотопических классов отображений.

\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y|f{\text{ is a homotopy class}}\}.

Это потому, что $\pi (X,Y)$ представляет собой набор компонентов пути в $C(X,Y)$ , то есть существует изоморфизм множеств

\pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/\sim

где $\sim$ есть гомотопическая эквивалентность.

Дифференцируемые функции Фреше [ править ]

Пусть $X$ и $Y$ — два банаховых пространства, определенные над одним и тем же полем , и пусть $C м (U, Y)$ обозначают множество всех $m$ -непрерывно дифференцируемых по Фреше функций из открытого подмножества $U \subseteq X$ в $Y$ . Компактно-открытая топология — это исходная топология, индуцированная полунормами

p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\ :\ x\in K,0\leq j\leq m\right\}

где $Д 0 ж (Икс) знак равно ж (Икс)$ , для каждого компактного подмножества $K \subseteq U$ . ^{[ нужны разъяснения ]}

См. также [ править ]

Топология равномерной сходимости
Равномерная сходимость - режим сходимости функциональной последовательности.

Ссылки [ править ]

^ Фокс, Ральф Х. (1945). «О топологиях функциональных пространств» . Бюллетень Американского математического общества . 51 (6): 429–433. дои : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .
^ Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Спрингер-Верлаг. п. 230.
^ МакКорд, MC (1969). «Классификация пространств и бесконечных симметричных произведений» . Труды Американского математического общества . 146 : 273–298. дои : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .
^ «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF) .
^ «Компактно сгенерированные пространства» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. Проверено 14 января 2012 г.
^ Джексон, Джеймс Р. (1952). «Пространства отображений топологических произведений с приложениями к теории гомотопии» (PDF) . Труды Американского математического общества . 3 (2): 327–333. дои : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий. Гомотопическая топология (2-е изд.). стр. 20–23.

Дугунджи, Дж. (1966). Топология . Аллин и Бекон. АСИН B000KWE22K .
O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev (2007) Textbook in Problems on Elementary Topology .
«Компактно-открытая топология» . ПланетаМатематика .
Топология и группоиды. Раздел 5.9. Рональд Браун, 2006 г.

[1] Фокс, Ральф Х. (1945). «О топологиях функциональных пространств» . Бюллетень Американского математического общества . 51 (6): 429–433. дои : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .

[2] Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Спрингер-Верлаг. п. 230.

[3] МакКорд, MC (1969). «Классификация пространств и бесконечных симметричных произведений» . Труды Американского математического общества . 146 : 273–298. дои : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .

[4] «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF) .

[5] «Компактно сгенерированные пространства» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. Проверено 14 января 2012 г.

[6] Джексон, Джеймс Р. (1952). «Пространства отображений топологических произведений с приложениями к теории гомотопии» (PDF) . Труды Американского математического общества . 3 (2): 327–333. дои : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .

[:0-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий. Гомотопическая топология (2-е изд.). стр. 20–23.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]