Слабое Хаусдорфово пространство

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В математике слабое хаусдорфово пространство или слабо хаусдорфово пространство — это топологическое пространство , в котором образ каждого непрерывного отображения в это компакта пространство замкнут . В частности, каждое хаусдорфово пространство является слабым хаусдорфовым. Как свойство разделения оно сильнее, чем T ₁ , что эквивалентно утверждению, что точки замкнуты. пространство является T1 _{В частности, каждое слабое хаусдорфово} пространством .

Это понятие было предложено MC McCord. устранить неудобство работы с категорией хаусдорфовых пространств. Он часто используется в тандеме с компактно порожденными пространствами в алгебраической топологии . Для этого см. категорию компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

k-хаусдорфовы пространства

А k-хаусдорфово пространство является топологическим пространством, которое удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Каждое компактное подпространство хаусдорфово .
2. Диагональ $\{(x,x):x\in X\}$ является k-замкнутым в $X\times X.$
   • Подмножество $A\subseteq Y$ является k-замкнутый , если $A\cap C$ закрыт в $C$ для каждого компакта $C\subseteq Y.$
3. Каждое компактное подпространство замкнуто и сильно локально компактно.
   • Пространство - это сильно локально компактно, если для каждого $x\in X$ и каждое (не обязательно открытое) соседство $U\subseteq X$ из $x,$ существует компактная окрестность $V\subseteq X$ из $x$ такой, что $V\subseteq U.$

Характеристики

• k-хаусдорфово пространство является слабым хаусдорфовым пространством. Ибо если $X$ является k-Хаусдорфом и $f:C\to X$ является непрерывным отображением компактного пространства $C,$ затем $f(C)$ компактно, следовательно, хаусдорфово, следовательно, замкнуто.
• Хаусдорфово пространство является k-хаусдорфовым. Ибо пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ $\{(x,x):x\in X\}$ закрыт в $X\times X,$ и каждое замкнутое подмножество является k-замкнутым множеством .
• k-Хаусдорфово пространство — это KC. А Пространство КС — топологическое пространство, в котором каждое компактное подпространство замкнуто.
• Чтобы показать, что когерентная топология, индуцированная компактными хаусдорфовыми подпространствами, сохраняет компактные хаусдорфовы подпространства и их топологию подпространств, требуется, чтобы пространство было k-хаусдорфовым; слабого Хаусдорфа недостаточно. Следовательно, k-Хаусдорфа можно рассматривать как более фундаментальное определение.

Δ-Хаусдорфовые пространства

А Δ-Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, в котором образ каждого пути замкнут; то есть, если когда-нибудь $f:[0,1]\to X$ является непрерывным, тогда $f([0,1])$ закрыт в $X.$ Каждое слабое хаусдорфово пространство $\Delta$-Хаусдорф и все $\Delta$-Хаусдорфово пространство T1 _{является} пространством . Пространство - это Δ-порождено, если его топология является наилучшей топологией, такой что каждое отображение $f:\Delta ^{n}\to X$ из топологического $n$-симплекс $\Delta ^{n}$ к $X$ является непрерывным. $\Delta$-Хаусдорфовы пространства должны $\Delta$-порожденные пространства так же слабы, как и компактно порожденные пространства.

См. также

• Пространство с фиксированной точкой - Пространство, в котором все функции имеют фиксированные точки, пространство Хаусдорфа, в котором каждая непрерывная функция из пространства в себя имеет фиксированную точку.
• Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
• Локально Хаусдорфово пространство
• Топология конкретной точки
• Квазитопологическое пространство - множество X, снабженное функцией, которая сопоставляет каждому компакту Хаусдорфа K набор карт K→C, удовлетворяющих определенным естественным условиям. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».