Топология конкретной точки

В математике ( топология конкретной точки или топология включенной точки ) — это топология , в которой множество открыто , если оно содержит определенную точку топологического пространства . Формально, пусть X — любое непустое множество и p ∈ X . Коллекция

T=\{S\subseteq X\mid p\in S\}\cup \{\emptyset \}

подмножеств — X это конкретная точечная топология X. на Есть множество случаев, которые имеют индивидуальное название:

Если X имеет две точки, конкретной точечной топологией на X является пространство Серпинского .
Если X конечно (по крайней мере , с 3 точками), топология на X называется топологией конечной конкретной точки .
Если X счетно бесконечно , топология на X называется счетной топологией конкретной точки .
Если X несчетно , топология на X называется несчетной топологией конкретной точки .

Обобщением конкретной точечной топологии является топология замкнутого расширения . В случае, когда X \{ p } имеет дискретную топологию , топология замкнутого расширения совпадает с топологией конкретной точки.

Эта топология используется для предоставления интересных примеров и контрпримеров.

Свойства [ править ]

Закрытые наборы имеют пустое внутреннее пространство.: Учитывая непустое открытое множество $A\subseteq X$ каждый $x\neq p$ является предельной A . точкой Таким образом, закрытие любого открытого множества, кроме $\emptyset$ является $X$ . Никакого закрытого множества, кроме $X$ содержит p, поэтому внутренность каждого замкнутого множества, кроме $X$ является $\emptyset$ .

Свойства связности [ править ]

Путь и локально соединены, но не соединены по дуге

Для любых x , y ∈ X функция , f : [0, 1] → X заданная формулой

f(t)={\begin{cases}x&t=0\\p&t\in (0,1)\\y&t=1\end{cases}}

это путь. Однако, поскольку p открыт, прообраз p из [ 0,1 при непрерывном введении ] будет одной открытой точкой [0,1], что является противоречием.

Точка дисперсии, пример набора с: p — дисперсии для X. точка То есть X \{ p } полностью несвязен .

Гиперподключенность, но не сверхподключенность: Каждое непустое открытое множество содержит p , и, следовательно X гиперсвязно , . Но если a и b находятся в X так, что p , a и b — три различные точки, то { a } и { b } — непересекающиеся замкнутые множества и, следовательно, X не является ультрасвязным . Обратите внимание: если X — пространство Серпинского, то таких a и b не существует, и X фактически является ультрасвязным.

Свойства компактности [ править ]

Компактен только в том случае, если конечен. Линделефа, только если счетно.: Если X конечно, то оно компактно ; а если X бесконечно, то оно не компактно, поскольку семейство всех открытых множеств $\{p,x\}\;(x\in X)$ образует открытое покрытие без конечного подпокрытия.

По тем же причинам, если X счетно, это пространство Линделефа ; и если X несчетно, то это не Линделёф.

Закрытие компактного не компактного: Множество { p } компактно. Однако его замыканием (замыканием компакта) является все пространство X , и если X бесконечно, оно не компактно. По тем же причинам, если X несчетно, мы имеем пример, когда замыкание компакта не является пространством Линделёфа.

Псевдокомпактный, но не слабо счетно компактный: Во-первых, не существует непересекающихся непустых открытых множеств (поскольку все открытые множества содержат p ). Следовательно, каждая непрерывная функция относительно действительной прямой должна быть постоянной и, следовательно, ограниченной, что доказывает, что X является псевдокомпактным пространством . Любое множество, не содержащее p, не имеет предельной точки, поэтому, если X , если оно бесконечно, оно не является слабо счетно компактным .

Локально компактен, но не локально относительно компактен.: Если $x\in X$ , то набор $\{x,p\}$ является компактной окрестностью точки x . Однако замыканием этой окрестности является все X , и, следовательно, если X бесконечно, x не имеет замкнутой компактной окрестности, и X не является локально относительно компактным .

Связано с лимитом [ править ]

Очки накопления наборов: Если $Y\subseteq X$ не содержит p , Y не имеет точки накопления (поскольку Y замкнуто в X и дискретно в топологии подпространства).

Если

Y\subseteq X

содержит p , каждая точка

x\neq p

является точкой накопления Y , поскольку

\{x,p\}

(самый маленький район

x

встречает Ю. ) Y не имеет точки ω-накопления . что p никогда не является точкой накопления какого-либо множества, поскольку оно изолировано в X. Обратите внимание ,

Точка накопления как набор, а не как последовательность: Возьмите последовательность $(a_{n})_{n}$ различных элементов, который также содержит p . Базовый набор $\{a_{n}\}$ имеет какой-либо $x\neq p$ как точка накопления. Однако сама последовательность не имеет точки накопления как последовательность , так как окрестность $\{y,p\}$ любого y не может содержать бесконечно много различных $a_{n}$ .

Связанные с разделением [ править ]

Т ₀: X равно T ₀ (поскольку { x , p } открыто для каждого x ), но не удовлетворяет никаким аксиомам более высокого разделения (поскольку все непустые открытые множества должны содержать p ).

Не регулярно: Поскольку каждое непустое открытое множество содержит p , ни одно замкнутое множество, не содержащее p (например, X \ { p }), не может быть отделено окрестностями от { p }, и, следовательно, X не является регулярным . Поскольку полная регулярность подразумевает регулярность, X не является полностью регулярным.

Не нормально: Поскольку каждое непустое открытое множество содержит p , никакие непустые замкнутые множества не могут быть окрестностями отделены друг от друга , и, следовательно, X не является нормальным . Исключение: топология Серпинского нормальна и даже совершенно нормальна, поскольку не содержит нетривиальных разделенных множеств.

Другая недвижимость [ править ]

Разделимость: { p } плотно и, следовательно, X является сепарабельным пространством . Однако если X несчетно , то X \ { p } не сепарабельно. Это пример того, что подпространство сепарабельного пространства не является сепарабельным.

Счетность (первая, но не вторая): Если X несчетно, то X является первым счетным , но не вторым счетным .

Александров-сдержанный: Топология является топологией Александрова . Наименьшая окрестность точки $x$ является $\{x,p\}.$

Сравнимые (гомеоморфные топологии на одном и том же множестве, которые не сравнимы): Позволять $p,q\in X$ с $p\neq q$ . Позволять $t_{p}=\{S\subseteq X\mid p\in S\}$ и $t_{q}=\{S\subseteq X\mid q\in S\}$ . То есть t _q — это конкретная точечная топология на X, где q — выделенная точка. Тогда ( X , t _p ) и ( X , t _q ) — гомеоморфные несравнимые топологии на одном и том же множестве.

Нет непустого плотного в себе подмножества: Пусть S непустое подмножество X. — Если S содержит p , то p изолирован в S (поскольку это изолированная точка X ). Если S не содержит p любой x в S изолирован в S. ,

Не первая категория: Любое множество, содержащее , плотно в X. p Следовательно, X не является объединением нигде не плотных подмножеств .

Подпространства: Каждое подпространство множества с заданной топологией конкретной точки, не содержащее данную точку, имеет дискретную топологию.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446