Топология перекрывающихся интервалов

Не путать с топологией взаимосвязанных интервалов .

В математике топология перекрывающихся интервалов — это топология , которая используется для иллюстрации различных топологических принципов.

Определение

Учитывая закрытый интервал $[-1,1]$ линии действительных чисел открытые множества топологии генерируются из полуоткрытых интервалов $(a,1]$ с $a<0$ и $[-1,b)$ с $b>0$. Таким образом, топология состоит из интервалов вида $[-1,b)$, $(a,b)$, и $(a,1]$ с $a<0<b$, вместе с $[-1,1]$ себя и пустое множество.

Характеристики

Любые две различные точки в $[-1,1]$ в топологически различимы топологии перекрывающихся интервалов, поскольку всегда можно найти открытое множество, содержащее одну, но не содержащую другую точку. Однако каждое непустое открытое множество содержит точку 0, которую поэтому нельзя отделить от любой другой точки в $[-1,1]$, изготовление $[-1,1]$ с топологией перекрывающихся интервалов — пример T ₀ пространства , которое не является T ₁ пространством .

Топология перекрывающихся интервалов является второй счетной , причем счетный базис задается интервалами $[-1,s)$, $(r,s)$ и $(r,1]$ с $r<0<s$ и r и s рациональны.

См. также

• Список топологий
• Топология конкретной точки — топология, в которой множества считаются открытыми, если они пусты или содержат определенную, произвольно выбранную точку топологического пространства.

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446 (См. пример 53)