Список топологий

Основная статья: Список тем топологии

Ниже приводится список названных топологий или топологических пространств , многие из которых являются контрпримерами в топологии и смежных разделах математики . Это не список свойств , которыми может обладать топология или топологическое пространство; для этого см. Список общих тем по топологии и Топологическое свойство .

Сдержанный и нескромный

• Дискретная топология — все подмножества открыты.
• Недискретная топология , хаотическая топология или тривиальная топология — открыты только пустое множество и его дополнение.

Кардинальность и порядковые номера

См. Также: Мощность и порядковый номер.

• Счетная топология
  • Учитывая топологическое пространство $(X,\tau ),$ топология сосчетного расширения на $X$ — топология, имеющая в качестве подбазиса объединение τ и семейства всех подмножеств $X$ чьи дополнения в $X$ являются счетными.
• Коконечная топология
• Двунаправленная коконечная топология
• Топология порядковых чисел
• Псевдодуга
• Пробежал пространство
• Тихоновская планка

Конечные пространства

• Дискретное двухточечное пространство — простейший пример полностью несвязного дискретного пространства .
• Конечное топологическое пространство
• Псевдокруг — конечное топологическое пространство из 4 элементов, которое не удовлетворяет какой-либо аксиоме разделения, кроме T ₀ . Однако с точки зрения алгебраической топологии она обладает тем замечательным свойством, что неотличима от окружности. $S^{1}.$
• Пространство Серпинского , также называемое связным множеством двух точек — множество из двух точек. $\{0,1\}$ с конкретной точечной топологией $\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.$

Целые числа

• Пространство Аренса – Форта — Хаусдорфово, регулярное, нормальное пространство, которое не является счетным или компактным. Он имеет элемент (т.е. $p:=(0,0)$), для которого нет последовательности в $X\setminus \{p\}$ который сходится к $p$ но есть последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X\setminus \{(0,0)\}$ такой, что $(0,0)$ является точкой кластера $x_{\bullet }.$
• Топологии арифметической прогрессии
• Пространство Бэра — $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ с топологией продукта, где $\mathbb {N}$ обозначает натуральные числа, наделенные дискретной топологией. Это пространство всех последовательностей натуральных чисел.
• Топология делителя
• Топология раздела
  • Удалена целочисленная топология.
  • Нечетно-четная топология

Фракталы и множество Кантора

См. Также: Список фракталов по размерности Хаусдорфа и фракталу.

• Аполлоническая прокладка
• Множество Кантора — подмножество замкнутого интервала $[0,1]$ с замечательными свойствами.
  • Канторова пыль
  • Канторово пространство
• Снежинка Коха
• Моя губка
• Мосели снежинка
• Ковер Серпинского
• Треугольник Серпинского
• Множество Смита – Вольтерры – Кантора , также называемое толстым множеством Кантора — замкнутое , нигде не плотное (и, следовательно, скудное ) подмножество единичного интервала. $[0,1]$ которое имеет положительную меру Лебега и не является измеримым по Жордану множеством . Дополнением к толстому канторову множеству по жордановой мере является ограниченное открытое множество, не измеримое по Жордану.

Заказы

См. также: Предзаказ и Частично заказанный набор.

• Топология Александрова
• Топология лексикографического порядка на единичном квадрате
• Заказать топологию
  • Топология Лоусона
  • Посет-топология
  • Верхняя топология
  • Топология Скотта
    • Преемственность Скотта
• Пространство Пристли
• Решётчатое пространство Роя
• Разделенный интервал , также называемый пространством двойной стрелки Александрова и пространством двух стрелок . Все компактные сепарабельные упорядоченные пространства порядково-изоморфны подмножеству разделенного интервала. Оно компактно по Хаусдорфу , наследственно по Линделефу и наследственно сепарабельно , но не метризуемо . Все его метризуемые подпространства счетны.
• Специализация (предварительный заказ)

Многообразия и комплексы

См. Также: Топологическое многообразие и Гладкое многообразие.

• Линия ветвления — нехаусдорфово многообразие .
• Топология двойного происхождения
• E ₈ Многообразие — топологическое многообразие , не допускающее гладкой структуры .
• Евклидова топология — естественная топология в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$ индуцируется евклидовой метрикой , которая сама индуцируется евклидовой нормой .
  • Реальная линия — $\mathbb {R}$
  • Единичный интервал — $[0,1]$
• Расширенная строка действительных чисел
• Ложный 4-шар — компактное сжимаемое топологическое 4-многообразие .
• Дом с двумя комнатами — сжимаемый двумерный симплициальный комплекс , который не является разборным .
• бутылка Клейна
• Пространство объектива
• Линия с двумя началами , также называемая линией с жуками — это нехаусдорфово многообразие . Оно локально гомеоморфно евклидову пространству и, следовательно, локально метризуемо (но не метризуемо ) и локально хаусдорфово (но не хаусдорфово ). Это также T ₁ локально регулярное пространство , но не полурегулярное пространство .
• Многообразие Прюфера — хаусдорфово двумерное вещественное аналитическое многообразие, не являющееся паракомпактным .
• Реальная проективная линия
• Тор
  • 3-тор
  • Полнотелый тор
• Развязать узел
• Многообразие Уайтхеда — открытое 3-многообразие , стягиваемое , но гомеоморфное не $\mathbb {R} ^{3}.$

Гиперболическая геометрия

• Многообразие Гизекинга — гиперболическое 3-многообразие с каспами конечного объема.
• Горосфера
  • Хороцикл
• Пикардский рог
• Пространство Зейферта – Вебера

Парадоксальные пространства

• Озера Вада — три непересекающихся соединенных открытых набора $\mathbb {R} ^{2}$ или $(0,1)^{2}$ что все они имеют одну и ту же границу.

Уникальный

• Многообразие Ханча – Вендта — компактное, ориентируемое, плоское 3-многообразие. Это единственное замкнутое плоское трехмерное многообразие с нулевым первым числом Бетти .

Связано или похоже на коллекторы

• Пространство собачьей кости
• Тупая шляпа (топология)
• Гавайская серьга
• Длинная линия (топология)
• Роза (топология)

Вложения и карты между пространствами

• Рогатая сфера Александра — особое вложение сферы в трехмерное евклидово пространство.
• Ожерелье Антуана — топологическое вложение множества Кантора в трехмерное евклидово пространство, дополнение которого не является односвязным .
• Иррациональная намотка тора / Иррациональный кабель на торе
• Узел (математика)
• Линейное течение на торе
• Кривая заполнения пространства
• Торовый узел
• Дикий узел

Контрпримеры (общая топология)

Следующие топологии являются известным источником контрпримеров для топологии множества точек .

• Александрофф планка
• Топология Аперта — Хаусдорфово, совершенно нормальное (T ₆ ), нульмерное пространство , которое счетно, но не является ни первым счетным , ни локально компактным , ни счетно компактным .
• Площадь Аренса
• Изрешеченный пулями квадрат - Космос $[0,1]^{2}\setminus \mathbb {Q} ^{2},$ где $[0,1]^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2}$ это набор пуль. Ни одно из этих множеств не является измеримым по Жордану, хотя оба измеримы по Лебегу .
• Канторово дерево
• Расчесать пространство
• Планка Дьедонне
• Топология двойного происхождения
• Тупая шляпа (топология)
• Топология «или-или»
• Топология исключенной точки — топологическое пространство, в котором открытые множества определяются с точки зрения исключения конкретной точки.
• Форт-пространство
• Полудисковая топология
• Куб Гильберта — $[0,1/1]\times [0,1/2]\times [0,1/3]\times \cdots$ с топологией продукта .
• Бесконечная метла
• Топология целочисленной метлы
• K-топология
• Фанат Кнастера – Куратовского
• Длинная линия (топология)
• Плоскость Мура , также называемая плоскостью Нимицкого — первое счетное , сепарабельное , полностью регулярное , Хаусдорфово пространство Мура , которое не является нормальным , пространство Линделефа , метризуемое , второе счетное и не локально компактное . Это также несчетное замкнутое подпространство с дискретной топологией.
• Топология вложенных интервалов
• Топология перекрывающихся интервалов — второе счетное пространство, равное T ₀ , но не T ₁ .
• Топология конкретной точки . Предполагая, что множество бесконечно, тогда оно содержит незамкнутое компактное подмножество, замыкание которого не является компактным и, более того, оно не является ни метакомпактным , ни паракомпактным .
• Топология рациональной последовательности
• Линия Соргенфрея , которая $\mathbb {R}$ наделенное топологией нижнего предела — это хаусдорфово, совершенно нормальное, счетное в первую очередь, сепарабельное, паракомпактное, пространство Линделёфа, Бэра и пространство Мура , но не метризуемое, счетное во второй раз, σ-компактное или локально компактное.
• Плоскость Соргенфрея , которая является произведением двух копий линии Соргенфрея — пространство Мура , которое не является ни нормальным , ни паракомпактным , ни вторым счетным .
• Синусоида тополога
• Тихоновская планка
• Неясная топология
• Варшавский круг

определенные с точки зрения

Естественные топологии

Список естественных топологий .

• Примыкающее пространство
• Непересекающееся объединение (топология)
• Топология расширения
• Начальная топология
• Окончательная топология
• Топология продукта
• Частная топология
• Топология подпространства
• Слабая топология

Компактификации

Компактификации включают в себя:

• Расширение Александроффа
  • Проективно расширенная действительная линия
• Компактификация Бора
• Многообразие Илса – Койпера
• Проективно расширенная действительная линия
• Стоун-Чехская компактификация
  • Каменная топология
  • Каменно-чешский остаток
• Компактификация Уоллмана

Топологии

В этом списке перечислены названные топологии равномерной сходимости .

• Компактно-открытая топология
  • Циклическое пространство
• Топология взаимосвязанных интервалов
• Способы конвергенции ( аннотированный указатель )
• Топологии операторов
• Поточечная сходимость
  • Слабая сходимость (гильбертово пространство)
  • Слабая* топология
• Полярная топология
• Сильная двойная топология
• Топологии на пространствах линейных отображений

Другие

• Коробчатая топология
• Топология компактного дополнения
• Дублирование точки : Пусть $x\in X$ быть точкой неизолированной $X,$ позволять $d\not \in X$ быть произвольным, и пусть $Y=X\cup \{d\}.$ Затем $\tau =\{V\subseteq Y:{\text{ either }}V{\text{ or }}(V\setminus \{d\})\cup \{x\}{\text{ is an open subset of }}X\}$ это топология на $Y$ и $x$ и $d$ иметь одинаковые фильтры соседства в $Y.$ Таким образом, $x$ был продублирован.
• Топология расширения

Функциональный анализ

• Вспомогательные нормированные пространства
• Наилучшая локально выпуклая топология
• Тончайшая векторная топология
• Хелли космос
• Топология Макки
• Полярная топология
• Неясная топология

Топологии операторов

• Двойная топология
• Нормальная топология
• Топологии операторов
• Поточечная сходимость
  • Слабая сходимость (гильбертово пространство)
  • Слабая* топология
• Полярная топология
• Сильное двойное пространство
• Сильная топология оператора
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Сверхсильная топология
• Сверхслабая топология / топология оператора слабого*
• Топология слабого оператора

Тензорные произведения

• Индуктивное тензорное произведение
• Инъективное тензорное произведение
• Проективное тензорное произведение
• Тензорное произведение гильбертовых пространств
• Топологическое тензорное произведение

Вероятность

• Топология Эмери

Другие топологии

• Пространство Эрдеша — Хаусдорфово, полностью несвязное , одномерное топологическое пространство. $X$ который гомеоморфен $X\times X.$
• Полудисковая топология
• Ежик космос
• Топология раздела
• Топология Зариского

См. также

• Контрпримеры в топологии - Книга Линн Стин
• Список банаховых пространств
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Список коллекторов
• Список топологий по категории схем
• Список тем топологии
• Списки тем по математике
• Естественная топология - Понятие в топологии.
• Таблица групп Ли

Ссылки

• Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN  978-81-317-2692-1 . OCLC   789880519 .
• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN  978-90-277-1355-1 . OCLC   9944489 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Комфорт, Уильям Вистар; Негрепонтис, Стилианос (1974). Теория ультрафильтров . Том. 211. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-06604-2 . ОСЛК   1205452 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN  0-85274-275-4 . ОСЛК   4146011 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN  978-0-387-97986-1 . OCLC   31969970 . ОЛ   1272666М .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd.  978-0-85226-444-7 . OCLC   9218750 .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1 . ОСЛК   338047 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co.  978-0-356-02077-8 . OCLC   463753 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-46903-4 . OCLC   227923899 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .

Внешние ссылки

• π-Base: интерактивная энциклопедия топологических пространств