Многообразие Илса – Койпера

В математике многообразие Илса – Койпера представляет собой компактификацию многообразия. $\mathbb {R} ^{n}$ по сфере измерения $n/2$, где $n=2,4,8$, или $16$. Он назван в честь Джеймса Илса и Николааса Койпера .

Если $n=2$, многообразие Илса–Койпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb {RP} ^{2}$. Для $n\geq 4$ он односвязен и имеет целую структуру когомологий комплексной проективной плоскости $\mathbb {CP} ^{2}$ ( $n=4$), кватернионной проективной плоскости $\mathbb {HP} ^{2}$ ( $n=8$) или проективной плоскости Кэли ( $n=16$).

Характеристики

Эти многообразия важны как в теории Морса , так и в теории слоений :

Теорема: Позволять $M$ — связное замкнутое многообразие (не обязательно ориентируемое ) размерности $n$. Предполагать $M$ допускает функцию Морса $f\colon M\to \mathbb {R}$ класса $C^{3}$ ровно с тремя особыми точками . Затем $M$ является многообразием Илса–Койпера.

Теорема: Позволять $M^{n}$ быть компактным связным многообразием и $F$ Морса слоение на $M$. Предположим, что число центров $c$ слоения $F$ больше, чем количество седел $s$. Тогда есть две возможности:

• $c=s+2$, и $M^{n}$ гомеоморфна сфере $S^{n}$,
• $c=s+1$, и $M^{n}$ является многообразием Илса–Койпера, $n=2,4,8$ или $16$.

См. также

• Теорема Риба о сфере