Спинорное расслоение

В дифференциальной геометрии , учитывая спиновую структуру на $n$-мерное ориентируемое риманово многообразие $(M,g),\,$ определяется спинорное расслоение как комплексное векторное расслоение $\pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,$ связанный с соответствующим основным пакетом $\pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,$ вращающихся кадров в течение $M$ и спиновое представление его структурной группы ${\mathrm {Spin} }(n)\,$ в пространстве спиноров $\Delta _{n}$.

Часть спинорного пучка ${\mathbf {S} }\,$ называется спинорным полем .

Формальное определение

Позволять $({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })$ быть спиновой структурой на римановом многообразии $(M,g),\,$то есть эквивариантный подъем ориентированного ортонормированного расслоения реперов $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ относительно двойного покрытия $\rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)$ специальной ортогональной группы спиновой группой .

Спинорное расслоение ${\mathbf {S} }\,$ определяется быть комплексным векторным расслоением

$${\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,$$

связанный со спиновой структурой ${\mathbf {P} }$ через спиновое представление $\kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,$ где ${\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,$ обозначает группу унитарных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ${\mathbf {W} }.\,$ Стоит отметить, что спиновое представление $\kappa$ является точным и унитарным представлением группы ${\mathrm {Spin} }(n).$

См. также

• Пучок Клиффорда
• Комплект модулей Клиффорда
• Пакет ортонормированных рамок
• Геометрия вращения
• Спинор
• Спинорное представление

Дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-08542-5 .
• Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2055-1

|