Векторный поток

В математике векторный поток относится к набору тесно связанных понятий потока, определяемого векторным полем . Они появляются в ряде различных контекстов, включая дифференциальную топологию , риманову геометрию и теорию групп Ли . Эти связанные концепции рассматриваются в ряде статей:

• экспоненциальная карта (риманова геометрия)
  • матричная экспонента
  • экспоненциальная функция
• бесконечно малый генератор (→ группа Ли)
• интегральная кривая (→ векторное поле)
• однопараметрическая подгруппа
• поток (геометрия)
  • геодезический поток
  • гамильтонов поток
  • поток Риччи
  • Аносовский поток
• радиус приемистости (→ глоссарий)

Векторный поток

Соответствующие понятия: (поток, бесконечно малый генератор, интегральная кривая, полное векторное поле).

Пусть V многообразии M. — гладкое векторное поле на гладком Существует единственный максимальный поток D → M которого , бесконечно малым генератором является V . Здесь D ⊆ R × M — область течения . Для каждого p ∈ M отображение Dp _{начинающейся} → M является единственной максимальной интегральной кривой , V в p .

Глобальный поток областью которого является весь размер R × M. — это поток , определяют плавные действия R на M. Глобальные потоки Векторное поле является полным , если оно порождает глобальный поток. Всякое гладкое векторное поле на компактном многообразии без края полно.

Векторный поток

Соответствующие понятия: (геодезическая, экспоненциальная карта, радиус инъективности).

Векторный поток можно рассматривать как решение системы дифференциальных уравнений, индуцированной векторным полем. То есть, если (консервативное) векторное поле представляет собой отображение касательного пространства, оно представляет касательные векторы к некоторой функции в каждой точке. Разбивая касательные векторы на производные по направлениям, можно решить полученную систему дифференциальных уравнений и найти функцию. В этом смысле функция является потоком и одновременно индуцирует и индуцирует векторное поле.

С точки зрения скорости изменения i-й компоненты относительно параметризации потока («насколько поток подействовал») описывается i-й компонентой поля. То есть, если параметризовать с помощью L «длины вдоль пути потока», по мере продвижения вдоль потока на dL первый компонент положения изменяется, как описано первым компонентом векторного поля в начальной точке, и аналогичным образом для всех остальных компонентов.

Экспоненциальная карта

exp : Т _п М → М

определяется как exp( X ) = γ(1), где γ : I → M — единственная геодезическая, проходящая через p в точке 0, и касательный вектор которой в точке 0 равен X . Здесь I — максимальный открытый интервал R , для которого определена геодезическая.

Пусть M — псевдориманово многообразие (или любое многообразие с аффинной связностью ) и пусть p — точка M. в Тогда для каждого V из T _p M существует единственная геодезическая γ : I → M , для которой γ(0) = p и ${\dot {\gamma }}(0)=V.$ Пусть D _p — подмножество T _p M , для которого 1 лежит в I .

Векторный поток в

Соответствующие понятия: (экспоненциальное отображение, генератор бесконечно малых величин, группа с одним параметром).

Каждое левоинвариантное векторное поле в группе Ли полно. Интегральная кривая, начинающаяся с единицы, является подгруппой G однопараметрической . Есть соответствие один в один

{однопараметрические подгруппы группы G } ⇔ {левоинвариантные векторные поля на G } ⇔ g = T _e G .

Пусть G — группа Ли, а g — ее алгебра Ли. Экспоненциальное отображение — это отображение exp : g → G , заданное выражением exp( X ) = γ(1), где γ — интегральная кривая, начинающаяся с единицы в G , порожденная X .

• Экспоненциальное отображение является гладким.
• Для фиксированного X отображение t ↦ exp( tX ) является однопараметрической подгруппой группы G порожденной X. ,
• Экспоненциальное отображение ограничивается диффеоморфизмом из некоторой окрестности 0 в g в окрестность e в G .
• Образ экспоненциального отображения всегда лежит в компоненте связности единицы в G .

См. также

• Градиентный векторный поток - основа компьютерного зрения