Разнообразие

Не следует путать с Диффеологией .

В математике дифференциал алгебраических ( / d ə ˈ f aɪ ə ˌ t iː / ) — геометрический объект, который играет в современной теории уравнений в частных производных ту же роль , которую алгебраические многообразия играют для уравнений , то есть кодировать пространство решений более концептуальным способом. Термин был введен в 1984 году Михайловичем Виноградовым как чемодан из дифференциальной разновидности Александром .

Интуитивное определение

В алгебраической геометрии основные объекты исследования ( многообразия ) моделируют пространство решений системы алгебраических уравнений (т. е. нулевое место набора многочленов ) вместе со всеми их «алгебраическими следствиями». Это означает, что применение алгебраических операций к этому множеству (например, добавление этих многочленов друг к другу или умножение их на любые другие многочлены) приведет к появлению того же нулевого локуса. Другими словами, фактически можно рассматривать нулевое множество алгебраического идеала, порожденное исходным набором полиномов.

При работе с дифференциальными уравнениями, помимо применения алгебраических операций, описанных выше, можно также дифференцировать исходные уравнения, получая новые дифференциальные ограничения. Поэтому дифференциальным аналогом многообразия должно быть пространство решений системы дифференциальных уравнений вместе со всеми их «дифференциальными следствиями». Поэтому вместо рассмотрения нулевого локуса алгебраического идеала нужно работать с дифференциальным идеалом .

Следовательно, элементарное диффиити будет состоять из бесконечного продолжения ${\mathcal {E}}^{\infty }$дифференциального уравнения ${\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)$, вместе с дополнительной структурой, предоставляемой специальным дистрибутивом . Элементарные разности играют в теории дифференциальных уравнений ту же роль, что и аффинные алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Соответственно, точно так же, как многообразия или схемы состоят из неприводимых аффинных многообразий или аффинных схем , (неэлементарное) различие определяется как объект, который локально выглядит как элементарное различие.

Формальное определение

Формальное определение диффии, основанное на геометрическом подходе к дифференциальным уравнениям и их решениям, требует понятий струй подмногообразий, продолжений и распределения Картана, которые будут упомянуты ниже.

Пространства струй подмногообразий

Позволять $E$ быть $(m+e)$-мерное гладкое многообразие . Два $m$-мерные подмногообразия $M$, $M'$ из $E$ касаются порядка $k$ в точку $p\in M\cap M'\subset E$ если можно локально описать оба подмногообразия как нули функций, определенных в окрестности $p$, чьи производные при $p$ согласен на заказ $k$. Можно показать, что касательная с точностью до порядка $k$ — координатно-инвариантное понятие и отношение эквивалентности. Говорят также, что $M$ и $M'$ есть то же самое $k$реактивный самолет -го порядка в $p$, и обозначает их класс эквивалентности через $[M]_{p}^{k}$ или $j_{p}^{k}M$. The $k$-реактивное пространство $k$-подмногообразия $E$, обозначенный $J^{k}(E,m)$, определяется как совокупность всех $k$-струи $m$-мерные подмногообразия $E$ во всех точках $E$: $$J^{k}(E,m):=\{[M]_{p}^{k}~|~p\in M,~{\text{dim}}(M)=m,M\subset E\ {\text{ submanifold}}\}$$ Как любой данный самолет $[M]_{p}^{k}$ локально определяется производными до порядка $k$ функций, описывающих $M$ вокруг $p$, такие функции можно использовать для построения локальных координат $(x^{i},u_{\sigma }^{j})$ и предоставить $J^{k}(E,m)$ с естественной структурой гладкого многообразия.

$M$ и $M'$ иметь такую ​​же 1-струйную $p\in E$ пока $M$ и $M''$ есть тот же 3-х струйный.

Например, для $k=1$ человек восстанавливает только баллы за $E$ и для $k=1$ восстанавливается грассманиан ​ $n$-мерные подпространства $TE$. В целом все прогнозы $J^{k}(E)\to J^{k-1}E$ представляют собой пучки волокон .

Как частный случай, когда $E$ имеет структуру расслоенного многообразия над $n$-мерное многообразие $X$, можно рассматривать подмногообразия $E$ заданные графиками локальных сечений ​ $\pi :E\to X$. Тогда понятие струи подмногообразий сводится к стандартному понятию струи сечений, а струйного расслоения $J^{k}(\pi )$ оказывается открытым и плотным подмножеством $J^{k}(E,m)$.

Расширения подмногообразий

The $k$-струйное продолжение подмногообразия $M\subseteq E$ является

$$j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}$$

Карта $j^{k}(M)$ — гладкое вложение и его изображение $M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))$, называемое продолжением подмногообразия $M$, является подмногообразием $J^{k}(E,m)$ диффеоморфен $M$.

в реактивных

Пространство формы $T_{\theta }(M^{k})$, где $M$ является любым подмногообразием $E$ продолжение которого содержит точку $\theta \in J^{k}(E,m)$, называется $R$-самолет (или реактивный самолет, или самолет Картана) у $\theta$. Распределение Картана в струйном пространстве $J^{k}(E,m)$ это распределение ${\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))$ определяется

$${\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))$$

где ${\mathcal {C}}_{\theta }$ это промежуток всего $R$-самолеты в $\theta \in J^{k}(E,m)$.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение порядка $k$ на коллекторе $E$ является подмногообразием ${\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)$; Решение как определяется $m$-мерное подмногообразие $S\subset {\mathcal {E}}$ такой, что $S^{k}\subseteq {\mathcal {E}}$. Когда $E$ является расслоенным многообразием над $X$, восстанавливается понятие дифференциальных уравнений в частных производных на пучках струй и их решений, которые обеспечивают бескоординатный способ описания аналогичных понятий математического анализа . Хотя расслоений струй достаточно для решения многих уравнений, возникающих в геометрии, пространства струй подмногообразий обеспечивают большую общность и используются для решения нескольких УЧП, наложенных на подмногообразия данного многообразия, таких как лагранжевы подмногообразия и минимальные поверхности .

Как и в случае с расслоением струй, распределение Картана важно в алгебро-геометрическом подходе к дифференциальным уравнениям, поскольку оно позволяет кодировать решения в чисто геометрических терминах. Действительно, подмногообразие $S\subset {\mathcal {E}}$ является решением тогда и только тогда, когда оно является целым многообразием для ${\mathcal {C}}$, то есть $T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }$ для всех $\theta \in S$.

Можно также посмотреть на распределение Картана УЧП. ${\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)$ более существенно, определяя

$${\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}}_{\theta }\cap T_{\theta }({\mathcal {E}})~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}$$

В этом смысле пара $({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))$ кодирует информацию о решениях дифференциального уравнения ${\mathcal {E}}$.

Расширения PDE

Учитывая дифференциальное уравнение ${\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)$ порядка $l$, его $k$-е продолжение определяется как

$${\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)$$

где оба $J^{k}({\mathcal {E}},m)$ и $J^{k+l}(E,m)$ рассматриваются как вложенные подмногообразия $J^{k}(J^{l}(E,m),m)$, так что их пересечение четко определено. Однако такое пересечение не обязательно снова является многообразием, следовательно, ${\mathcal {E}}^{k}$ может не быть уравнением порядка $k+l$. Поэтому обычно требуется ${\mathcal {E}}$ быть «достаточно хорошим» таким, чтобы, по крайней мере, его первое продолжение действительно было подмногообразием $J^{k+1}(E,m)$.

Ниже мы будем предполагать, что УЧП формально интегрируемо , т.е. все продолжения ${\mathcal {E}}^{k}$ являются гладкими многообразиями, а все проекции ${\mathcal {E}}^{k}\to {\mathcal {E}}^{k-1}$ являются гладкими сюръективными погружениями. Обратите внимание, что подходящая версия теоремы Картана–Кураниши о продолжении гарантирует, что при незначительных предположениях о регулярности достаточно проверить гладкость конечного числа продолжений. Тогда обратный предел последовательности $\{{\mathcal {E}}^{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ расширяет определение продолжения на случай, когда $k$ уходит в бесконечность, а пространство ${\mathcal {E}}^{\infty }$ имеет структуру бесконечномерного многообразия.

Определение различия

Элементарное дифферентие – это пара $({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))$ где ${\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)$ это $k$ -го порядка дифференциальное уравнение на некотором многообразии, ${\mathcal {E}}^{\infty }$ его бесконечное продолжение и ${\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })$ его Картановское распространение. Заметим, что в отличие от конечного случая можно показать, что распределение Картана ${\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })$ является $m$-мерный и инволютивный . Однако из-за бесконечномерности объемлющего многообразия теорема Фробениуса не выполняется, поэтому ${\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })$ не интегрируемо

Дифференциал – это тройка $({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))$, состоящий из

• многообразие (вообще говоря, бесконечномерное) ${\mathcal {O}}$
• алгебра его гладких функций ${\mathcal {F}}({\mathcal {O}})$
• конечномерное распределение ${\mathcal {C}}({\mathcal {O}})$,

такой, что $({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))$ локально имеет вид $({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))$, где $({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))$ представляет собой элементарное различие и ${\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })$ обозначает алгебру гладких функций на ${\mathcal {E}}^{\infty }$. Здесь локально имеется в виду подходящая локализация относительно топологии Зарисского, соответствующая алгебре ${\mathcal {F}}({\mathcal {O}})$.

Размерность ${\mathcal {C}}({\mathcal {O}})$ называется размерностью диффииета и обозначается $\mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})$с большой буквы D (чтобы отличить от размерности ${\mathcal {O}}$ как многообразие).

Морфизмы различий

Морфизм различиями между двумя $({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))$ и $({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))$ состоит из гладкой карты $\Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'$ чье продвижение сохраняет распределение Картана, т. е. такое, что для каждой точки $\theta \in {\mathcal {O}}$, у одного есть $d_{\theta }\Phi ({\mathcal {C}}_{\theta })\subseteq {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}$.

Дифференциалы вместе со своими морфизмами определяют категорию дифференциальных уравнений .

Приложения

Vinogradov sequence

The Vinogradov ${\mathcal {C}}$-спектральная последовательность (или, для краткости, последовательность Виноградова ) — это спектральная последовательность , связанная с диффеитивом, которую можно использовать для исследования определенных свойств формального пространства решений дифференциального уравнения путем использования его распределения Картана. ${\mathcal {C}}$.

Учитывая разницу $({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))$, рассмотрим алгебру дифференциальных форм над ${\mathcal {O}}$

$\Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})$

и соответствующий комплекс де Рама :

$C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots$

Его группы когомологий $H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})$ содержать некоторую структурную информацию о PDE; однако согласно лемме Пуанкаре все они локально исчезают. Таким образом, чтобы извлечь гораздо больше и даже локальную информацию, необходимо принять во внимание распределение Картана и ввести более сложную последовательность. Для этого позвольте

${\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ({\mathcal {O}})$

— подмодуль дифференциальных форм над ${\mathcal {O}}$ чьи ограничения на распространение ${\mathcal {C}}$ исчезает, т.е.

${\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}}):=\{w\in \Omega ^{p}({\mathcal {O}})\mid w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})\}.$

Обратите внимание, что ${\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})$ на самом деле является дифференциальным идеалом , поскольку он устойчив по отношению к дифференциалу де Рама, т.е. ${\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})$.

Теперь позвольте ${\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})$ быть его $k$-я степень, т.е. линейное подпространство ${\mathcal {C}}\Omega$ созданный $w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega$. Тогда получается фильтрация

$\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots$

и поскольку все идеалы ${\mathcal {C}}^{k}\Omega$ устойчивы, эта фильтрация полностью определяет следующую спектральную последовательность :

${\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).$

Приведенная выше фильтрация конечна в каждой степени, т.е. для любого $k\geq 0$

$\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0,$

так что спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама $H({\mathcal {O}})$ различия. Таким образом, можно проанализировать члены порядка спектральной последовательности, чтобы восстановить информацию об исходном УЧП. Например:

• $E_{1}^{0,n}$ соответствует функционалам действия, ограниченным PDE ${\mathcal {E}}$. В частности, для ${\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}$, соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид ${\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0$.
• $E_{1}^{0,n-1}$ соответствует законам сохранения решений ${\mathcal {E}}$.
• $E_{2}$ интерпретируется как характерные классы решений бордизмов уравнения ${\mathcal {E}}$.

Многие термины высшего порядка еще не имеют интерпретации.

Вариационный бикомплекс

Как частный случай, начиная с расслоенного многообразия $\pi :E\to X$ и его реактивный комплект $J^{k}(\pi )$ вместо реактивного пространства $J^{k}(E,m)$, вместо ${\mathcal {C}}$-спектральной последовательности получается несколько менее общий вариационный бикомплекс .Точнее, любой бикомплекс определяет две спектральные последовательности: одна из двух спектральных последовательностей, определяемых вариационным бикомплексом, является в точности Виноградовской. ${\mathcal {C}}$-спектральная последовательность. Однако вариационный бикомплекс был разработан независимо от последовательности Виноградова.

Подобно членам спектральной последовательности, многие члены вариационного бикомплекса могут получить физическую интерпретацию в классической теории поля : например, получаются классы когомологий, соответствующие функционалам действия, сохраняющимся токам, калибровочным зарядам и т. д.

Вторичное исчисление

Виноградов разработал теорию, известную как вторичное исчисление , чтобы формализовать в когомологических терминах идею дифференциального исчисления в пространстве решений данной системы УЧП (т. е. пространстве целочисленных многообразий данного диффиити).

Другими словами, вторичное исчисление обеспечивает замену функций, векторных полей, дифференциальных форм, дифференциальных операторов и т. д. в (в общем) очень сингулярном пространстве, где эти объекты не могут быть определены обычным (гладким) способом в пространстве решений. Более того, пространство этих новых объектов естественным образом наделено теми же алгебраическими структурами, что и пространство исходных объектов.

Точнее, рассмотрим горизонтальный комплекс Де Рама ${\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}):=\Gamma (\wedge ^{\bullet }{\mathcal {C(O)}}^{*})$ диффеи, который можно рассматривать как листовой комплекс де Рама инволютивного распределения ${\mathcal {C(O)}}$или, что то же самое, алгеброидный комплекс Ли алгеброида Ли ${\mathcal {C(O)}}$. Тогда комплекс ${\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}})$ естественным образом становится коммутативной ДГ-алгеброй вместе с подходящим дифференциалом ${\overline {d}}$. Тогда, возможно, тензоризация с нормальным расслоением ${\mathcal {V}}:=T{\mathcal {O}}/{\mathcal {C(O)}}\to {\mathcal {O}}$, его когомологии используются для определения следующих «вторичных объектов»:

• вторичные функции являются элементами когомологий ${\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}),{\overline {d}})$, которая, естественно, является коммутативной DG-алгеброй (на самом деле это первая страница ${\mathcal {C}}$-спектральная последовательность, обсуждавшаяся выше);
• вторичные векторные поля являются элементами когомологий ${\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},{\mathcal {V}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {V}}),{\overline {d}})$, которая, естественно, является алгеброй Ли; более того, вместе с ${\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})$;
• вторичный дифференциал $p$-формы являются элементами когомологий ${\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},\wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes \wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*}),{\overline {d}})$, которая, естественно, является коммутативной ДГ-алгеброй.

Вторичное исчисление также может быть связано с ковариантным фазовым пространством , то есть пространством решений уравнений Эйлера-Лагранжа, связанным с лагранжевой теорией поля .

См. также

• Вторичное исчисление и когомологическая физика
• Уравнения в частных производных на расслоениях струй
• Дифференциальный идеал
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Другой способ обобщения идей алгебраической геометрии — дифференциальная алгебраическая геометрия .

Внешние ссылки

• Институт Diffiety (заморожен с 2010 г.)
• Институт Леви-Чивита (преемник вышеуказанного сайта)
• Геометрия дифференциальных уравнений
• Дифференциальная геометрия и УЧП