Двухместный комплекс

В математике , особенно в гомологической алгебре , двойной комплекс — это обобщение цепного комплекса , в котором вместо наличия $\mathbb {Z}$ -сортировка, объекты в бикомплексе имеют $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ -оценка. Наиболее общее определение двойного комплекса или бикомплекса дается с объектами аддитивной категории. ${\mathcal {A}}$ . Бикомплекс ^[1] это последовательность объектов $C_{p,q}\in {\text{Ob}}({\mathcal {A}})$ с двумя дифференциалами, горизонтальный дифференциал

$d^{h}:C_{p,q}\to C_{p+1,q}$

и вертикальный дифференциал

$d^{v}:C_{p,q}\to C_{p,q+1}$

которые имеют отношение совместимости

$d_{h}\circ d_{v}=d_{v}\circ d_{h}$

Следовательно, двойной комплекс — это коммутативная диаграмма вида

${\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots &&\\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q+1}&\to &C_{p+1,q+1}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q}&\to &C_{p+1,q}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\&&\vdots &&\vdots &&\\\end{matrix}}$

где строки и столбцы образуют цепные комплексы.

Некоторые авторы ^[2] вместо этого потребуйте, чтобы квадраты были антикоммутирующими. То есть

$d_{h}\circ d_{v}+d_{v}\circ d_{h}=0.$

Это упрощает определение полных комплексов . Установив $f_{p,q}=(-1)^{p}d_{p,q}^{v}\colon C_{p,q}\to C_{p,q-1}$ , мы можем переключаться между коммутативностью и антикоммутативностью. Если используется коммутативное определение, этот знак чередования должен будет появиться в определении полных комплексов.

Примеры

В природе существует множество природных примеров бикомплексов. В частности, для группоида Ли существует ассоциированный с ним бикомплекс ^[3]^{стр. 7-8} который можно использовать для построения комплекса де-Рама .

Другой распространенный пример бикомплексов находится в теории Ходжа , где на почти комплексном многообразии $X$ существует бикомплекс дифференциальных форм $\Omega ^{p,q}(X)$ компоненты которого линейны или антилинейны. Например, если $z_{1},z_{2}$ это комплексные координаты $\mathbb {C} ^{2}$ и ${\overline {z}}_{1},{\overline {z}}_{2}$ являются комплексно-сопряженными этими координатами, a $(1,1)$ -форма имеет вид