Когомологии Де Рама

Векторное поле, соответствующее замкнутой, но не точной дифференциальной форме на проколотой плоскости , показывающее, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математике алгебраической Когомологии де Рама (названные в честь Жоржа де Рама ) — инструмент, принадлежащий как к топологии , так и к дифференциальной топологии , способный выражать основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме, особенно приспособленной для вычислений и конкретного представления классов когомологий . Это теория когомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами.

На любом гладком многообразии каждая точная форма замкнута, но обратное может не выполняться. Грубо говоря, эта неудача связана с возможным существованием «дырок» в многообразии, а группы когомологий де Рама составляют набор топологических инвариантов гладких многообразий, которые точно количественно определяют это соотношение. ^[1]

Понятие интегрирования по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из наиболее важных примеров когомологий , а именно когомологии де Рама , которые (грубо говоря) точно измеряют степень, в которой фундаментальная теорема исчисление терпит неудачу в более высоких измерениях и на общих многообразиях.
- Теренс Тао , Дифференциальные формы и интеграция ^[2]

Определение [ править ]

Комплекс де Рама — это коцепный комплекс дифференциальных форм на некотором гладком многообразии $M$ с внешней производной в качестве дифференциала:

0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,

где $Ом 0 (M)$ — пространство гладких функций на $M$ , $Ω 1 (M)$ — пространство $1$ -форм и т.д. Формы, являющиеся образом других форм при внешней производной плюс постоянная $функция 0$ в $Ω 0 (M)$ , называются точными , а формы, внешняя производная которых равна $0,$ называются замкнутыми (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); отношения $д 2 = 0$ тогда говорит, что точные формы замкнуты.

Напротив, закрытые формы не обязательно точны. Наглядным примером является круг как многообразие и $1-$ форма, соответствующая производной угла от опорной точки в его центре, обычно записываемая как $dθ$ (описанная в разделе « Закрытые и точные дифференциальные формы »). Не существует функции $θ,$ определенной на всей окружности, такой, что $dθ$ является ее производной; увеличение $2 π$ при одиночном обходе круга в положительном направлении подразумевает многозначную функцию $θ$ . Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.

Одним из ярких примеров того, когда все замкнутые формы точны, является ситуация, когда лежащее в основе пространство сжимаемо до точки, т. е. оно просто связно (условие отсутствия дыр). В этом случае внешняя производная $d$ ограниченное замкнутыми формами, имеет локальный обратный оператор, называемый гомотопическим оператором . ^[3]^[4] Поскольку оно также нильпотентно , ^[3] он образует комплекс двойной цепи с перевернутыми стрелками ^[5]по сравнению с комплексом де Рама. Именно такая ситуация описана в лемме Пуанкаре .

Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Классифицируют две замкнутые формы $α, β \in Ω к (M)$ как когомологичные , если они отличаются точной формой, т. е. если $α - β$ точно. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности в пространстве замкнутых форм в $Ω к (М)$ . Затем определяется $k$ -я группа когомологий де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ быть множеством классов эквивалентности, т. е. множеством замкнутых форм в $Ω к (M)$ по модулю точных форм.

Заметим, что для любого многообразия $M$ , состоящего из $m$ несвязных компонент, каждая из которых связна , имеем

H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.

Это следует из того, что любая гладкая функция на $M$ отдельно постоянна на каждой из компонент связности $M.$ , имеющая всюду нулевую производную ,

Де Вычислены когомологии Рама

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя приведенный выше факт о нулевых когомологиях и последовательности Майера – Вьеториса . Еще один полезный факт состоит в том, что когомологии де Рама являются гомотопическими инвариантами. Хотя вычисления не приводятся, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых распространенных топологических объектов:

Н $-$ сфера [ править ]

Для $n$ сферы - $S^{n}$ , а также вместе с произведением открытых интервалов имеем следующее. Пусть $n > 0, m \geq 0$ и $I$ — открытый вещественный интервал. Затем

H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}

n $-$ тор [ править ]

The $n$ -тор — декартово произведение: $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ . Аналогично, позволяя $n\geq 1$ здесь мы получаем

H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.

Мы также можем найти явные генераторы когомологий де Рама тора непосредственно, используя дифференциальные формы. Учитывая фактормногообразие $\pi :X\to X/G$ и дифференциальная форма $\omega \in \Omega ^{k}(X)$ мы можем сказать это $\omega$ является $G$ -инвариантен , если задан любой диффеоморфизм, индуцированный $G$ , $\cdot g:X\to X$ у нас есть $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$ . В частности, откат в любой форме на $X/G$ является $G$ -инвариант. Кроме того, обратный образ является инъективным морфизмом. В нашем случае $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ дифференциальные формы $dx_{i}$ являются $\mathbb {Z} ^{n}$ -инвариант, поскольку $d(x_{i}+k)=dx_{i}$ . Но заметьте, что $x_{i}+\alpha$ для $\alpha \in \mathbb {R}$ не является инвариантом $0$ -форма. Это с учетом инъективности означает, что

[dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})

Поскольку кольцо когомологий тора порождается формулой $H^{1}$ Взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама тора.

Проколотое евклидово пространство [ править ]

Проколотое евклидово пространство — это просто $\mathbb {R} ^{n}$ с удаленным источником.

H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.

Мёбиуса [ Лента

Из того факта, что Мёбиуса ленту $M$ можно деформировать, втягивая в $1-$ сферу (т.е. вещественную единичную окружность), мы можем сделать вывод, что:

H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).

Теорема Рама [ править ]

Теорема Стокса является выражением двойственности когомологиями де Рама и гомологиями цепей между . Он говорит, что спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования дает гомоморфизм из когомологий де Рама. $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ к сингулярным группам когомологий $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ Теорема Де Рама , доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что для гладкого многообразия $M$ это отображение фактически является изоморфизмом .

Точнее рассмотрим карту

I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),

определяется следующим образом: для любого $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ , пусть $I (ω)$ — элемент ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ это действует следующим образом:

H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

Внешний продукт придает прямой сумме этих групп кольцевую структуру. Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичным произведением сингулярных когомологий является чашечное произведение .

пучковый изоморфизм де Рама Теоретико -

Для любого гладкого многообразия M пусть ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ — постоянный пучок на M , ассоциированный с абелевой группой ${\textstyle \mathbb {R} }$ ; другими словами, ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ — пучок локально постоянных вещественных функций на M. Тогда имеет место естественный изоморфизм

H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})

между когомологиями де Рама и пучковыми когомологиями ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ . (Обратите внимание, что это показывает, что когомологии де Рама также могут быть вычислены в терминах когомологий Чеха ; действительно, поскольку каждое гладкое многообразие паракомпактно по Хаусдорфу, мы имеем, что пучковые когомологии изоморфны когомологиям Чеха ${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ за любую хорошую обложку ${\textstyle {\mathcal {U}}}$ М. )

Доказательство [ править ]

Стандартное доказательство продолжается, показывая, что комплекс де Рама, если рассматривать его как комплекс пучков, является ациклическим разрешением ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ . Более подробно, пусть m — размерность M и пусть ${\textstyle \Omega ^{k}}$ обозначаем зародышей пучок $k$ -формирует на M (с ${\textstyle \Omega ^{0}}$ сноп ${\textstyle C^{\infty }}$ функции на M ). По лемме Пуанкаре точна следующая последовательность пучков (в абелевой категории пучков):

0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.

Эта длинная точная последовательность теперь разбивается на короткие точные последовательности пучков.

0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,

где по точности мы имеем изоморфизмы ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$ для всех к . Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность когомологий. Поскольку сноп ${\textstyle \Omega ^{0}}$ из ${\textstyle C^{\infty }}$ функции на M допускают разбиения единицы , любые ${\textstyle \Omega ^{0}}$ -модуль - прекрасная связка ; в частности, шкивы ${\textstyle \Omega ^{k}}$ все в порядке. Следовательно, группы пучковых когомологий ${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$ исчезнуть для ${\textstyle i>0}$ поскольку все тонкие пучки на паракомпактах ацикличны. Таким образом, сами длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге распадаются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепочки находятся пучковые когомологии ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ а в другом — когомологии де Рама.

Связанные идеи [ править ]

Когомологии де Рама вдохновили множество математических идей, включая когомологии Дольбо , теорию Ходжа и теорему об индексе Атьи-Зингера . Однако даже в более классическом контексте эта теорема вдохновила на ряд разработок. Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это основано на соответствующем определении гармонических форм и теореме Ходжа. Более подробную информацию см. в теории Ходжа .

Гармонические формы [ править ]

Если $M$ — компактное риманово многообразие , то каждый класс эквивалентности в $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ содержит ровно одну гармоническую форму . То есть каждый член $\omega$ данного класса эквивалентности замкнутых форм можно записать как

\omega =\alpha +\gamma

где $\alpha$ является точным и $\gamma$ гармоничен: $\Delta \gamma =0$ .

Любая гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный представительный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологично эквивалентных форм на многообразии. Например, на $2$ - торе можно представить постоянную $1$ -форму как форму, в которой все «волосы» аккуратно зачесаны в одном направлении (и все «волосы» имеют одинаковую длину). В этом случае имеются два когомологически различных расчесывания; все остальные представляют собой линейные комбинации. В частности, это означает, что 1-е число Бетти тора $2-$ равно двум. В более общем смысле, на $n$ -мерный тор $T^{n}$ , можно рассмотреть различные причесывания $k$ -формы на торе. Есть $n$ выбирать $k$ такие расчесывания, которые можно использовать для формирования базисных векторов для $H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})$ ; тот $k$ -е число Бетти группы когомологий де Рама $n$ -тор, таким образом, $n$ выбирать $k$ .

Точнее, для дифференциального многообразия $M$ можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой . Тогда лапласиан $\Delta$ определяется

\Delta =d\delta +\delta d

с $d$ внешняя производная и $\delta$ кодифференциал . Лапласиан — это однородный (по градуировке ) линейный дифференциальный оператор , действующий на внешнюю алгебру дифференциальных форм : мы можем рассмотреть его действие на каждую компоненту степени $k$ в отдельности.

Если $M$ компактен тогда и ориентирован , то размерность ядра k лапласиана, действующего на пространство $-$ форм, равна (по теории Ходжа ) размерности группы когомологий де Рама в степени $k$ : лапласиан выделяет уникальную гармоническую форму в каждом классе когомологий замкнутых форм . В частности, пространство всех гармонических $k$ -формы на $M$ изоморфен $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ Размерность каждого такого пространства конечна и определяется выражением $k$ -е число Бетти .

Разложение Ходжа [ править ]

Позволять $M$ — компактное ориентированное риманово многообразие . утверждает Разложение Ходжа , что любое $k$ -форма на $M$ однозначно распадается в сумму трех $L 2$ компоненты:

\omega =\alpha +\beta +\gamma ,

где $\alpha$ это точно, $\beta$ является соточным, и $\gamma$ является гармоничным.

Говорят, что форма $\beta$ является созамкнутым, если $\delta \beta =0$ и соточны, если $\beta =\delta \eta$ для какой-то формы $\eta$ , и это $\gamma$ является гармоническим, если лапласиан равен нулю, $\Delta \gamma =0$ . Это следует из того, что точные и соточные формы ортогональны; ортогональное дополнение тогда состоит из форм, которые являются одновременно замкнутыми и созамкнутыми, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется по отношению к $L 2$ внутренний продукт на $\Omega ^{k}(M)$ :

(\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.

Используя Соболева пространства или распределения , разложение можно расширить, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия. ^[6]

См. также [ править ]

Теория Ходжа
Интегрирование по слоям (для когомологий де Рама продвижение вперед задается интегрированием )
Теория снопа
$\partial {\bar {\partial }}$ -лемма для уточнения точных дифференциальных форм в случае компактных кэлеровых многообразий .

Цитаты [ править ]

^ Ли 2013 , с. 440.
^ Тао, Теренс (2007) «Дифференциальные формы и интеграция», Princeton Companion to Mathematics , 2008. Тимоти Гауэрс, изд.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эделен, Доминик ГБ (2011). Прикладное внешнее исчисление (пересмотренная ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43871-9 . OCLC 56347718 .
^ Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90894-3 . OCLC 9683855 .
^ Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 199472766 .
^ Жан-Пьер Демайи, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия, глава VIII, § 3.

Ссылки [ править ]

Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-1-4419-9981-8 .
Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523
Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки [ править ]

[FOOTNOTELee2013440-1] Ли 2013 , с. 440.

[PCM-2] Тао, Теренс (2007) «Дифференциальные формы и интеграция», Princeton Companion to Mathematics , 2008. Тимоти Гауэрс, изд.

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б Эделен, Доминик ГБ (2011). Прикладное внешнее исчисление (пересмотренная ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43871-9 . OCLC 56347718 .

[4] Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90894-3 . OCLC 9683855 .

[5] Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 199472766 .

[6] Жан-Пьер Демайи, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия, глава VIII, § 3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]