Замкнутые и точные дифференциальные формы

В математике , особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии , замкнутая форма — это дифференциальная форма α, которой внешняя производная равна нулю ( dα = 0 ), а точная форма — это дифференциальная форма α , которая является внешней производной другой дифференциальной формы β. . образом, точная форма находится в образе d замкнутая , а форма — в ядре d Таким .

Для точной формы α α ​​= dβ для некоторой дифференциальной формы β степени на единицу меньшей, чем форма α . Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α . Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не уникальна, но может быть изменена добавлением любой замкнутой формы степени на единицу меньшей, чем степень α .

Потому что д ² = 0 каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, ли каждая точна замкнутая форма, зависит от топологии интересующей области. В стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре . Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии составляют предмет когомологий де Рама , позволяющих получать чисто топологическую информацию дифференциальными методами.

Примеры

Дополнительная информация: Номер обмотки.

Векторное поле, соответствующее ( двойственному по Ходжу ) dθ .

Простым примером закрытой, но не точной формы является 1-форма. $d\theta$ заданный производной аргумента на проколотой плоскости $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}$. С $\theta$ на самом деле не является функцией (см. следующий абзац) $d\theta$ не является точной формой. Все еще, $d\theta$ имеет исчезающую производную и поэтому замкнуто.

Обратите внимание, что аргумент $\theta$ определяется только до целого числа, кратного $2\pi$ поскольку одна точка $p$ могут быть присвоены разные аргументы $r$, $r+2\pi$и т. д. Мы можем присваивать аргументы локально согласованным образом вокруг $p$, но не глобально последовательным образом. Это потому, что если мы проследим цикл от $p$ против часовой стрелки вокруг начала координат и обратно в $p$, аргумент увеличивается на $2\pi$. Как правило, аргумент $\theta$ изменения на

$\oint _{S^{1}}d\theta$

по петле, ориентированной против часовой стрелки $S^{1}$.

Несмотря на то, что аргумент $\theta$ технически не является функцией, различные локальные определения $\theta$ в какой-то момент $p$ отличаются друг от друга константами. Поскольку производная при $p$ использует только локальные данные, а поскольку функции, отличающиеся константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально определённую производную . $d\theta$".

Результат в том, что $d\theta$ представляет собой одну форму на $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}$ на самом деле это не производная какой-либо четко определенной функции $\theta$. Мы говорим, что $d\theta$ это не точно . Явно, $d\theta$ дается как:

$d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},$

который при проверке имеет производную нулевую. Потому что $d\theta$ имеет нулевую производную, мы говорим, что она замкнута .

Эта форма порождает группу когомологий де Рама $H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,$ это означает, что любая закрытая форма $\omega$ представляет собой сумму точной формы $df$ и кратное $d\theta$: $\omega =df+k\ d\theta$, где ${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$ учитывает нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, который является единственным препятствием для замкнутой формы на проколотой плоскости (локально производной потенциальной функции ), являющейся производной глобально определенной функции.

Примеры в малых размерах

Дифференциальные формы в $\mathbb {R} ^{2}$ и $\mathbb {R} ^{3}$ были хорошо известны в математической физике XIX века. На плоскости 0-формы — это просто функции, а 2-формы — это функции, умноженные на базовый элемент площади. $dx\wedge dy$, так что это 1-формы

$\alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy$

которые представляют реальный интерес. Формула внешней производной $d$ вот

$d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy$

где нижние индексы обозначают частные производные . Поэтому условие для $\alpha$ быть закрытым - это

$f_{y}=g_{x}.$

В этом случае, если $h(x,y)$ это функция, тогда

$dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.$

Импликация от «точного» к «закрытому» тогда является следствием симметрии вторых производных относительно $x$ и $y$.

Теорема о градиенте утверждает, что 1-форма точна тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от концов кривой или, что то же самое,если интеграл вокруг любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.

Аналогии векторных полей

На римановом многообразии или, в более общем смысле, псевдоримановом многообразии на k -формы соответствуют k -векторным полям (в силу двойственности через метрику ), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме.

В трех измерениях точное векторное поле (представляемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем , что означает, что оно является производной ( градиентом ) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемой скалярным потенциалом . Замкнутое векторное поле (представляемое как 1-форма) — это поле, производная которого ( ротор ) равна нулю, и называется безвихревым векторным полем .

Если рассматривать векторное поле как 2-форму, то замкнутое векторное поле — это поле, производная ( дивергенция ) которого равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин несжимаемый используется потому, что ненулевая дивергенция соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей распространяются на n измерений, поскольку градиент и дивергенция распространяются на n измерений; ротор определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается таким образом.

Лемма Пуанкаре

утверждает Лемма Пуанкаре , что если B — открытый шар в R ^н , любая замкнутая p -форма ω, определенная на B , точна для любого целого числа p с 1 ≤ p ≤ n .

В более общем смысле лемма утверждает, что на стягиваемом открытом подмножестве многообразия (например, $\mathbb {R} ^{n}$), замкнутая p -форма, p > 0, точна.

как

Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η — замкнутые формы и можно найти такое β , что

$\zeta -\eta =d\beta$

тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Точные формы иногда называют когомологичными нулю . Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии . Нет смысла спрашивать, является ли 0-форма (гладкая функция) точной, поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.

Используя сжимающие гомотопии, подобные той, которая использовалась при доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны.

Применение в электродинамике

В электродинамике случай магнитного поля ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ Важную роль играет стационарный электрический ток. Там речь идет о векторном потенциале ${\vec {A}}(\mathbf {r} )$ этого поля. Этот случай соответствует k = 2 , а определяющей областью является полная $\mathbb {R} ^{3}$. Вектор плотности тока равен ${\vec {j}}$. Это соответствует текущей двухформе

$\mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.$

Для магнитного поля ${\vec {B}}$ получаем аналогичные результаты: это соответствует индукционной двухформе $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$, и может быть получен из векторного потенциала ${\vec {A}}$, или соответствующая одноформенная $\mathbf {A}$,

${\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .$

Тем самым векторный потенциал ${\vec {A}}$ соответствует потенциальной одной форме

$\mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.$

Замкнутость двухформ магнитной индукции соответствует свойству магнитного поля быть бесисточникным: $\operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0$, нет т. е. что магнитных монополей .

В специальном калибре $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$, это означает, что для i = 1, 2, 3

$A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.$

(Здесь $\mu _{0}$ магнитная постоянная .)

Это уравнение примечательно тем, что оно полностью соответствует известной формуле для электрического поля ${\vec {E}}$, а именно для электростатического кулоновского потенциала $\varphi (x_{1},x_{2},x_{3})$ плотности заряда $\rho (x_{1},x_{2},x_{3})$. В этом месте уже можно догадаться, что

• ${\vec {E}}$ и ${\vec {B}},$
• $\rho$ и ${\vec {j}},$
• $\varphi$ и ${\vec {A}}$

можно унифицировать до количеств с шестью Rsp. четыре нетривиальных компонента, что является основой релятивистской инвариантности уравнений Максвелла .

Если оставить условие стационарности, то в левой части упомянутого уравнения в уравнениях для $A_{i}$, к трем пространственным координатам, в качестве четвертой переменной также время t , тогда как в правой части, в $j_{i}'$, так называемое «замедленное время», $t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}$, необходимо использовать, т.е. оно добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, происходит интегрирование по трем пространственным координатам, отмеченным штрихом. (Как обычно, c — это скорость света в вакууме.)

Ссылки

• Фландерс, Харли (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-66169-8 . .
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN  0-387-90894-3
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4693-6
• Сингер, И.М .; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , University of Bangalore Press, ISBN  0721114784