Градиентная теорема

Теорема о градиенте , также известная как фундаментальная теорема исчисления линейных интегралов , гласит, что линейный интеграл через поле градиента может быть вычислен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Теорема является обобщением второй фундаментальной теоремы исчисления на любую кривую на плоскости или в пространстве (обычно n -мерном), а не только на действительную линию.

Если $φ : U \subseteq R н \to R$ — дифференцируемая функция , а $γ$ кривая — дифференцируемая в $U$ , которая начинается в точке $p$ и заканчивается в точке $q$ , тогда

\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)

где $\nabla φ$ обозначает векторное поле градиента $φ$ .

Теорема о градиенте подразумевает, что линейные интегралы через градиентные поля не зависят от пути . В физике эта теорема является одним из способов определения консервативной силы . Помещая $φ$ как потенциал, $\nabla φ$ является консервативным полем . Как показывает приведенное выше уравнение, работа, совершаемая консервативными силами, не зависит от пути, по которому движется объект, а только от конечных точек.

Теорема о градиенте также имеет интересный обратный вариант: любое независимое от пути векторное поле можно выразить как градиент скалярного поля . Как и сама теорема о градиенте, это обращение имеет множество поразительных следствий и применений как в чистой, так и в прикладной математике.

Доказательство [ править ]

Если $φ$ — дифференцируемая функция из некоторого открытого подмножества $U \subseteq R н$ к $R$ и $r$ является дифференцируемой функцией от некоторого замкнутого интервала $[a, b]$ до $U$ (Обратите внимание, что $r$ дифференцируема в конечных точках интервала $a$ и $b$ . Для этого $r$ определяется на интервале, который больше и включает $[a, b]$ .), то по правилу многомерной цепочки φ сложная функция $\circ r дифференцируема$ на $[a, b]$ :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)

для всех $t$ в $[a, b]$ . Здесь $\cdot$ обозначает обычное скалярное произведение .

Теперь предположим, что область $U$ функции $φ$ содержит дифференцируемую кривую $γ$ с концами $p$ и $q$ . (Она ориентирована в направлении от $p$ к $q$ ). Если $r$ параметризует $γ$ для $t$ в $[a, b]$ (т. е. $r$ представляет $γ$ как функцию от $t$ ), то

{\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}

где определение линейного интеграла используется в первом равенстве, приведенное выше уравнение используется во втором равенстве, а вторая фундаментальная теорема исчисления используется в третьем равенстве. ^[1]

Даже если теорема о градиенте (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов ) до сих пор была доказана для дифференцируемой (так называемой гладкой) кривой, эта теорема доказывается и для кусочно-гладкой кривой, поскольку эта кривая получается путем соединения несколько дифференцируемых кривых, поэтому доказательство для этой кривой осуществляется путем доказательства для каждого компонента дифференцируемой кривой. ^[2]

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Предположим, $γ \subset R 2$ — дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от $(5, 0)$ до $(-4, 3)$ . Используя определение линейного интеграла ,

{\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}

Этот результат можно получить гораздо проще, заметив, что функция $f(x,y)=xy$ имеет градиент $\nabla f(x,y)=(y,x)$ , поэтому по градиентной теореме:

\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.

Пример 2 [ править ]

В качестве более абстрактного примера предположим, что $γ \subset R н$ имеет концы $p$ , $q$ , с ориентацией от $p$ до $q$ . Для $тебя$ в $Р н$ , пусть $| ты |$ обозначаем евклидову u $.$ норму Если $α \geq 1$ — действительное число, то

{\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}

Здесь окончательное равенство следует из теоремы о градиенте, поскольку функция $f (x) = | х | +1 $ дифференцируема на $R н$ если $α \geq 1$ .

Если $α < 1$ , то это равенство по-прежнему будет выполняться в большинстве случаев, но необходимо соблюдать осторожность, если γ проходит через начало координат или замыкает его, поскольку векторное поле подынтегральной функции $| х | а - 1 x$ там не будет определен. Однако случай $α = -1$ несколько иной; в этом случае подынтегральная функция становится $| х | -2 x = \nabla(log | x |)$ , так что окончательное равенство становится $log | д | - журнал | р |$ .

Обратите внимание: если $n = 1$ , то этот пример представляет собой просто небольшой вариант знакомого правила степени из исчисления с одной переменной.

Пример 3 [ править ]

Предположим, что имеется $n$ точечных зарядов, расположенных в трехмерном пространстве, и $i$ -й точечный заряд имеет заряд $Q i$ расположен в позиции $pi и$ в $R. 3$ . Мы хотели бы вычислить работу , совершаемую частицей с зарядом $q$ при ее перемещении из точки $a$ в точку $b$ в $R. 3$ . Используя закон Кулона , мы легко можем определить, что сила , действующая на частицу в положении $r,$ будет равна

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}

Здесь $| ты |$ обозначает евклидову норму вектора $u$ в $R 3$ , и $k = 1/(4 πε 0)$ , где $ε 0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Пусть $γ \subset R 3 - {p 1, ..., p n}$ — произвольная дифференцируемая кривая от $a$ до $b$ . Тогда работа, совершенная над частицей, равна

W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)

Теперь для каждого $i$ прямые вычисления показывают, что

{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.

Таким образом, продолжая вышеизложенное и используя теорему о градиенте,

W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)

Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко выполнить этот расчет, используя мощный язык электростатического потенциала или электростатической потенциальной энергии (с помощью знакомых формул $W = -Δ U = - q Δ V$ ). Однако мы еще не определили потенциал или потенциальную энергию, поскольку обращение теоремы о градиенте требуется для доказательства того, что это четко определенные дифференцируемые функции и что эти формулы выполняются ( см. ниже ). Таким образом, мы решили эту проблему, используя только закон Кулона, определение работы и теорему о градиенте.

теоремы градиенте Обращение о

Теорема о градиенте утверждает, что если векторное поле $F$ является градиентом некоторой скалярной функции (т. е. если $)$ , F консервативно то $F$ является векторным полем, независимым от пути (т. е. интегралом $F$ по некоторой кусочно-дифференцируемой кривой). зависит только от конечных точек). Эта теорема имеет мощное обратное:

Теорема . Если $F$ — векторное поле, не зависящее от пути, то $F$ — градиент некоторой скалярной функции. ^[3]

Несложно показать, что векторное поле не зависит от пути тогда и только тогда, когда интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области определения равен нулю. Таким образом, обратное можно альтернативно сформулировать следующим образом: если интеграл от $F$ по каждому замкнутому контуру в области определения $F$ равен нулю, то $F$ является градиентом некоторой скалярной функции.

Доказательство обратного [ править ]

Предположим, что $U$ — открытое , связное по путям . подмножество $R н$ и $F : U \to R н$ представляет собой непрерывное и независимое от пути векторное поле. Зафиксируйте некоторый элемент $a$ из $U$ и определите $f : U \to R$ по формуле

f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}

Здесь

γ [a, x]

— любая (дифференцируемая) кривая в

U,

начинающаяся в точке

a

и заканчивающаяся в точке

x

. Мы знаем, что

f

поскольку корректно определен, F

не

зависит от пути.

Пусть $v —$ любой ненулевой вектор из $R н$ . По определению производной по направлению ,

{\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}

Чтобы вычислить интеграл в конечном пределе, мы должны параметризовать

γ [x, x + t v]

. Поскольку

F

не зависит от пути,

U

открыт, а

t

приближается к нулю, мы можем предположить, что этот путь представляет собой прямую линию, и параметризовать его как

u (s) = x + s v

для

0 < s < t

. Теперь, поскольку

u' (s) = v

, предел становится

\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}

где первое равенство взято из определения производной с учетом того, что интеграл равен 0 при

t

= 0, а второе равенство взято из первой фундаментальной теоремы исчисления . Таким образом, у нас есть формула для

\partial v f

(один из способов представления производной по направлению ), где

v

произвольно; для

f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}

(см. его полное определение выше), его производная по направлению относительно

v

равна

{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}

где первые два равенства просто показывают разные представления производной по направлению. Согласно определению градиента скалярной функции

f

,

\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )

, таким образом, мы нашли скалярную функцию

f

, градиент которой является независимым от пути векторным полем

F

(т. е.

F

является консервативным векторным полем), как и хотелось. ^[3]

обратного Пример принципа

Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приведем пример, имеющий важные физические последствия. В классическом электромагнетизме электрическая сила является силой, не зависящей от пути; т.е. работа , совершенная над частицей, которая вернулась в исходное положение в электрическом поле, равна нулю (при условии отсутствия изменяющихся магнитных полей ).

Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что электрическое силовое поле $F e : S \to R 3$ консервативен (здесь $S$ — некоторое открытое , линейно связное подмножество $R 3$ содержащий распределение заряда ). Следуя идеям приведенного выше доказательства, мы можем установить некоторую опорную точку $a$ в $S$ и определить функцию $U e : S \to R$ по формуле

U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}

Используя приведенное выше доказательство, мы знаем, $что U e$ четко определена и дифференцируема, а $F e = -\nabla U e$ (из этой формулы мы можем использовать градиентную теорему, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, совершаемой консервативными силами: $W = -Δ U$ ). Эту функцию $U e$ часто называют электростатической потенциальной энергией системы зарядов в $S$ (относительно нуля потенциала $a$ ). Во многих случаях область $S$ предполагается неограниченной , а опорная точка $a$ принимается равной «бесконечности», что можно сделать строгим, используя методы ограничения. Эта функция $U e$ является незаменимым инструментом, используемым при анализе многих физических систем.

Обобщения [ править ]

Многие критические теоремы векторного исчисления элегантно обобщаются на утверждения об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях . На языке дифференциальных форм и внешних производных градиентная теорема утверждает, что

\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi

для любой 0-формы , $φ$ , определенной на некоторой дифференцируемой кривой $γ \subset R н$ (здесь под интегралом от $φ$ по границе $γ$ понимается оценка $φ$ на концах γ ).

Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной теоремой Стокса , которая гласит, что интеграл любой компактной дифференциальной формы $ω$ по границе некоторого ориентируемого многообразия $Ω$ равен интегралу от ее внешней производной $d ω$ по всему $Ω.$ , то есть,

\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega

Это мощное утверждение является обобщением теоремы о градиенте от 1-форм, определенных на одномерных многообразиях, до дифференциальных форм, определенных на многообразиях произвольной размерности.

Обратная формулировка градиентной теоремы также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что $ω$ — форма, определенная на стягиваемой области , и интеграл от $ω$ по любому замкнутому многообразию равен нулю. Тогда существует форма $ψ$ такая, что $ω = d ψ$ . Таким образом, в стягиваемой области каждая замкнутая форма точна . Этот результат резюмируется леммой Пуанкаре .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание, с. 374. Пирсон Эдьюкейшн, Инк.
^ Стюарт, Джеймс (2021). «16.3 Основная теорема для линейных интегралов». Исчисление (9-е изд.). Cengage Обучение. стр. 1182–1185. ISBN 978-1-337-62418-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание , стр. 410. Pearson Education, Inc.»

[1] Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание, с. 374. Пирсон Эдьюкейшн, Инк.

[2] Стюарт, Джеймс (2021). «16.3 Основная теорема для линейных интегралов». Исчисление (9-е изд.). Cengage Обучение. стр. 1182–1185. ISBN 978-1-337-62418-3 .

[wt-3] Перейти обратно: ^а ^б «Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание , стр. 410. Pearson Education, Inc.»

[1]

[2]

[3]

v т и Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid