Интегрирование по формуле Эйлера

В интегральном исчислении формула Эйлера для комплексных чисел может использоваться для вычисления интегралов, включающих тригонометрические функции . Используя формулу Эйлера, любую тригонометрическую функцию можно записать через комплексную показательную функцию, а именно $e^{ix}$ и $e^{-ix}$ а затем интегрировался. Этот метод часто проще и быстрее, чем использование тригонометрических тождеств или интегрирование по частям , и достаточно мощный, чтобы интегрировать любое рациональное выражение , включающее тригонометрические функции.

Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что

$e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.$

Замена $-x$ для $x$ дает уравнение

$e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x$

потому что косинус — четная функция, а синус — нечетная. Эти два уравнения можно решить относительно синуса и косинуса, чтобы получить

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{and}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.$

Примеры

Первый пример

Рассмотрим интеграл

$\int \cos ^{2}x\,dx.$

Стандартный подход к этому интегралу заключается в использовании формулы половинного угла для упрощения подынтегральной функции. Вместо этого мы можем использовать тождество Эйлера:

${\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}$

На этом этапе можно было бы вернуться к действительным числам, используя формулу e ^{2 икс} + и ^{−2 ix} = 2 потому что 2 х . В качестве альтернативы мы можем интегрировать комплексные экспоненты и не возвращаться к тригонометрическим функциям до конца:

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}$

Второй пример

Рассмотрим интеграл

$\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.$

Решение этого интеграла с использованием тригонометрических тождеств было бы чрезвычайно утомительным, но использование тождества Эйлера делает его относительно безболезненным:

${\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}$

На этом этапе мы можем либо интегрировать напрямую, либо сначала изменить подынтегральную функцию на 2 cos 6 x − 4 cos 4 x + 2 cos 2 x и продолжить с этого момента. Любой метод дает

$\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.$

Использование реальных деталей

Помимо тождества Эйлера, может быть полезно разумно использовать действительные части сложных выражений. Например, рассмотрим интеграл

$\int e^{x}\cos x\,dx.$

Поскольку cos x — действительная часть e ^ix , мы это знаем

$\int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.$

Интеграл справа легко вычислить:

$\int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.$

Таким образом:

${\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}$

Фракции

В общем, этот метод можно использовать для вычисления любых дробей, включающих тригонометрические функции. Например, рассмотрим интеграл

$\int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\,dx.$

Используя тождество Эйлера, этот интеграл принимает вид

${\frac {1}{2}}\int {\frac {6+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.$

Если мы теперь сделаем замену $u=e^{ix}$, результатом является интеграл от рациональной функции :

$-{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+6u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\,du.$

Можно продолжить, используя разложение на частичные дроби .

См. также

• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса
• замена Эйлера