Порядок интегрирования (исчисления)

Сводную статистику во временных рядах см. в разделе Порядок интегрирования .

В исчислении смена порядка интегрирования — это методология, которая преобразует повторяющиеся интегралы (или множественные интегралы с использованием теоремы Фубини ) функций в другие, как мы надеемся, более простые интегралы путем изменения порядка, в котором выполняются интегрирования. В некоторых случаях порядок интегрирования можно корректно поменять местами; в других это невозможно.

Постановка задачи

Задача исследования — вычисление интеграла вида

$\iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,$

где D — некоторая двумерная область в плоскости xy . Для некоторых функций f возможно прямое интегрирование, но если это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. определении изменения описания области D. Трудность этого обмена заключается в

Метод применим и к другим кратным интегралам .

Иногда, даже если полная оценка затруднена или, возможно, требует численного интегрирования, двойной интеграл можно свести к одинарному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единому интегрированию делает численную оценку намного проще и эффективнее.

Отношение к интегрированию по частям

Рисунок 1. Интегрирование по треугольной области можно выполнить, используя в качестве первого шага вертикальные или горизонтальные полосы. Это вид сверху: взгляд вниз по оси Z на плоскость xy . Наклонная линия — это кривая y = x .

Рассмотрим повторный интеграл

$\int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,$

В этом выражении второй интеграл вычисляется сначала по отношению к y , а x остается постоянным — полоса шириной dx интегрируется сначала по направлению y (полоса ширины dx в направлении x интегрируется по отношению к y). переменная по направлению y ), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy вдоль оси y . Это формирует трехмерный срез шириной dx вдоль оси x , от y = a до y = x вдоль оси y и в z направлении z = h ( y ). Обратите внимание: если толщина dx бесконечно мала, x меняется на срезе лишь бесконечно мало. Мы можем считать, что x является постоянным. Это интегрирование происходит так, как показано на левой панели рисунка 1, но оно неудобно, особенно когда функцию h ( y ) сложно интегрировать. Интеграл можно свести к одному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Чтобы выполнить этот обмен переменными, полоса шириной dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z , а затем результат интегрируется от y = a до y = z , что приводит к:

$\int _{a}^{z}\int _{a}^{x}h(y)\ dy\ dx=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.$

Этот результат можно рассматривать как пример формулы интегрирования по частям , как указано ниже:

$\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx$

Заменять:

$f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.$

Что дает результат.

Интегралы главного значения

Для применения к интегралам главного значения см. Whittaker and Watson, Гахов, Лу, или близнецы. См. также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана у Оболашвили. Пример, где порядок интегрирования не может быть изменен, дает Канвал:

${\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,$

пока:

${\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .$

Вторая форма оценивается с помощью разложения в частные дроби и оценки по формуле Сохоцкого-Племеля :

$\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .$

Обозначения $\int _{L}^{*}$ указывает основное значение Коши . См. Канвал.

Основные теоремы

Обсуждение основы изменения порядка интегрирования можно найти в книге «Анализ Фурье» . Т. В. Кёрнера Он начинает свое обсуждение с примера, где замена интегрирования приводит к двум разным ответам, поскольку условия приведенной ниже теоремы II не выполняются. Вот пример:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .$

$\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .$

$\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .$

Две основные теоремы, определяющие допустимость обмена, цитируются ниже из работ Чаудри и Зубайра:

Теорема I. Пусть f ( x , y ) — непрерывная знакопостоянная функция, определенная для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, и пусть интегралы

$J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx$           и           $J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy$

рассматриваемые как функции соответствующего параметра, будут соответственно непрерывны при c ⩽ y < ∞, a ⩽ x < ∞. Тогда если хотя бы один из повторных интегралов

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy$           и           $\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx$

сходится, то сходится и другой интеграл и их значения совпадают.

Теорема II . Пусть f ( x , y ) непрерывна при a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, и пусть интегралы

$J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx$           и           $J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy$

быть соответственно равномерно сходящимися на каждом конечном интервале c ⩽ y < C и на каждом конечном интервале a ⩽ x < A . Тогда если хотя бы один из повторных интегралов

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy$           и           $\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx$

сходится, повторные интегралы

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy$           и           $\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx$

также сходятся и их значения равны.

Наиболее важная для приложений теорема процитирована Проттером и Морри:

Теорема . Предположим, что F — это область, заданная формулой $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ где p и q непрерывны и p ( x ) ≤ q ( x ) для a ≤ x ≤ b . Предположим, что ( x , y ) непрерывна на F. f Затем

$\iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.$

Соответствующий результат справедлив, если замкнутая область F имеет представление $F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}$ где р ( y ) ≤ s ( y ) для c ≤ y ≤ d . В таком случае

$\iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .$

Другими словами, оба повторных интеграла, если они вычислимы, равны двойному интегралу и, следовательно, равны друг другу.

См. также

• Теория Фубини

Внешние ссылки

• Онлайн-заметки Пола по математике: Исчисление III
• Хорошие 3D-изображения, показывающие вычисление «двойных интегралов» с использованием повторных интегралов , факультет математики Университета штата Орегон.
• Проблемы исчисления Рона Мича в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Более сложные примеры изменения порядка интегрирования (см. Задачи 33, 35, 37, 39, 41 и 43).
• Веб-сайт Университета Миннесоты Дуэйна Найкампа