Глоссарий исчисления

Большинство терминов, перечисленных в глоссариях Википедии, уже определены и объяснены в самой Википедии. Однако подобные глоссарии полезны для поиска, сравнения и анализа большого количества терминов. Вы можете улучшить эту страницу, добавив новые термины или написав определения для существующих.

Этот глоссарий исчисления представляет собой список определений исчисления , его субдисциплин и смежных областей.

А

тест Абеля

Метод проверки сходимости бесконечного ряда .

абсолютная конвергенция

абсолютно сходится Говорят, что бесконечный ряд чисел ( или абсолютно сходится ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее реальный или сложный сериал $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ говорят, что он сходится абсолютно , если $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ для некоторого действительного числа $\textstyle L$. Аналогично, интеграл функции , несобственный $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$, говорят, что он сходится абсолютно, если интеграл от абсолютного значения подынтегральной функции конечен, то есть если $\textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L.$

абсолютный максимум

Максимальное значение, которого достигает функция.

абсолютный минимум

Наименьшее значение, которого достигает функция.

абсолютная величина

Абсолютное значение или модуль | х | действительного числа   x — это неотрицательное значение x независимо от его знака . А именно, | х | знак равно x для положительного   x , | х | = − x для отрицательного   x (в этом случае − x положителен), и |0| = 0 . Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

чередующаяся серия

, Бесконечный ряд члены которого чередуются между положительными и отрицательными.

испытание чередующихся серий

Метод, используемый для доказательства того, что знакопеременный ряд с членами, уменьшающимися по абсолютной величине, является сходящимся рядом . Тест использовался Готфридом Лейбницем и иногда известен как тест Лейбница , правило Лейбница или критерий Лейбница .

кольцо

Объект в форме кольца, область, ограниченная двумя концентрическими кругами .

первообразная

Первообразная . , примитивная функция , примитивный интеграл или неопределенный интеграл функции производная f — это дифференцируемая функция F, равна которой исходной функции f . Это можно выразить символически как $F'=f$. Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его противоположная операция называется дифференцированием, то есть процессом нахождения производной.

арксин

площадь под кривой

асимптота

В аналитической геометрии асимптотой называется такая линия , кривой координаты что расстояние между кривой и линией приближается к нулю, когда одна или обе или y стремятся x к бесконечности . Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не могла пересекать линию бесконечно часто, но это необычно для современных авторов. В проективной геометрии и связанных с ней контекстах асимптота кривой — это линия, касающаяся кривой в бесконечной точке .

автоматическое дифференцирование

В математике и компьютерной алгебре автоматическое дифференцирование ( AD ), также называемое алгоритмическим дифференцированием или вычислительным дифференцированием , представляет собой набор методов численного вычисления производной функции, заданной компьютерной программой. AD использует тот факт, что каждая компьютерная программа, какой бы сложной она ни была, выполняет последовательность элементарных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и т. д.) и элементарных функций (exp, log, sin, cos и т. д.). Многократно применяя цепное правило к этим операциям, производные произвольного порядка могут быть вычислены автоматически с точностью до рабочей точности и с использованием не более небольшого постоянного коэффициента большего количества арифметических операций, чем в исходной программе.

средняя скорость изменения

Б

биномиальный коэффициент

Любое из натуральных чисел , которое встречается в качестве коэффициента в биномиальной теореме , является биномиальным коэффициентом . Обычно биномиальный коэффициент индексируется парой целых чисел n ≥ k ≥ 0 и записывается ${\tbinom {n}{k}}.$ Это коэффициент х ​ ^к член полиномиального разложения биномиальной степени x (1 ) + ^н , и оно определяется формулой

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$

биномиальная теорема (или биномиальное разложение )

алгебраическое разложение степеней бинома . Описывает

ограниченная функция

Функция определенная f, на некотором множестве X с действительными или комплексными значениями, называется ограниченной , если множество ее значений ограничено . Другими словами, существует действительное число M такое, что

$|f(x)|\leq M$

для x в X. всех Функция, которая не ограничена, называется неограниченной . Иногда, если f ( x ) ≤ A для всех x в X , то говорят, что функция ограничена сверху величиной A . С другой стороны, если f ( x ) ≥ B для всех x в X , то говорят, что функция ограничена снизу функцией B .

ограниченная последовательность

.

С

исчисление

(От латинского исчисления , буквально «маленький камешек», используемый для счета и вычислений, как на счетах ) — это математическое исследование непрерывных изменений, точно так же, как геометрия — это изучение формы, а алгебра — это изучение обобщений арифметических операций .

Принцип Кавальери

Принцип Кавальери , современная реализация метода неделимых , названного в честь Бонавентуры Кавальери , заключается в следующем:

• Двумерный случай : предположим, что две области плоскости заключены между двумя параллельными линиями в этой плоскости. Если каждая линия, параллельная этим двум линиям, пересекает обе области отрезками одинаковой длины, то эти две области имеют равные площади.
• Трехмерный случай : предположим, что две области трехмерного пространства (тела) заключены между двумя параллельными плоскостями. Если каждая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает обе области в сечениях одинаковой площади, то обе области имеют равные объемы.

Правило цепи

Цепное правило — это формула для вычисления производной композиции функций двух или . более То есть, если f и g являются функциями, то цепное правило выражает производную их композиции f ∘ g (функцию, которая отображает x в f ( g ( x )) через производные f и g и произведения функций следующим образом:

$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.$

Это может быть эквивалентно выражено через переменную. Пусть F = f ∘ g или, что то же самое, F ( x ) = f ( g ( x )) для всех x . Тогда можно также написать

$F'(x)=f'(g(x))g'(x).$

Цепное правило можно записать в обозначениях Лейбница следующим образом. Если переменная z зависит от переменной y , которая сама зависит от переменной x , так что y и z , следовательно, являются зависимыми переменными , то z через промежуточную переменную y зависит от x также . Затем цепное правило гласит:

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.$

Две версии правила цепочки связаны между собой; если $z=f(y)$ и $y=g(x)$, затем

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=f'(y)g'(x)=f'(g(x))g'(x).$

В интеграции аналогом цепного правила является правило замены .

замена переменных

Это базовый метод, используемый для упрощения задач, в которых исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, чтобы, выраженная в новых переменных, проблема могла стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

кофункция

Функция , f является кофункцией функции g если f ( A ) = g ( B ), когда A и B — дополнительные углы . Это определение обычно применяется к тригонометрическим функциям . Приставку «со-» можно встретить уже в » Эдмунда Гюнтера ( «Каноне треугольника 1620 г.).

вогнутая функция

Является отрицательным выражением выпуклой функции . Вогнутую функцию также синонимично называют вогнутой вниз , вогнутой вниз , выпуклой вверх , выпуклой крышкой или верхней выпуклостью .

константа интегрирования

Неопределенный интеграл данной функции (т. е. совокупность всех первообразных функции) в связной области определяется только с точностью до аддитивной константы, константы интегрирования . Эта константа выражает неоднозначность, присущую построению первообразных. Если функция $f(x)$ определяется на интервале и $F(x)$ является первообразной от $f(x)$, то множество всех первообразных $f(x)$ задается функциями $F(x)+C$, где C — произвольная константа (это означает, что любое значение C делает $F(x)+C$допустимая первообразная). Константа интегрирования иногда опускается в списках интегралов . для простоты

непрерывная функция

Это функция , для которой достаточно небольшие изменения входных данных приводят к сколь угодно малым изменениям выходных данных. В противном случае функция называется разрывной . Непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

непрерывно дифференцируемый

Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если производная f ′ ( x ) существует и сама является непрерывной функцией.

контурная интеграция

В математической области анализа комплексного контурное интегрирование — это метод вычисления определенных интегралов по путям в комплексной плоскости.

тесты сходимости

Существуют ли методы проверки на сходимость , условную сходимость , абсолютную сходимость , интервал сходимости или расходимость бесконечного ряда? $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

сходящийся ряд

В математике ряд — это сумма членов бесконечной последовательности чисел. Дана бесконечная последовательность $\left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right)$, n- я частичная сумма $S_{n}$ есть сумма первых n членов последовательности, то есть

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Ряд сходится , если последовательность его частичных сумм $\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$стремится к пределу ; это означает, что частичные суммы становятся все ближе и ближе к заданному числу, когда число их членов увеличивается. Точнее, ряд сходится, если существует число $\ell$ такая, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$, существует (достаточно большое) целое число $N$ такой, что для всех $n\geq \ N$,

$\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .$

Если ряд сходится, то число $\ell$(обязательно единственный) называется суммой ряда . Любой ряд, не сходящийся, называется расходящимся .

выпуклая функция

В математике , вещественная функция определенная на n -мерном интервале, называется выпуклой (или выпуклой вниз или вогнутой вверх ), если отрезок прямой между любыми двумя точками на графике функции лежит выше или на графике, в евклидовом пространство (или, в более общем смысле, векторное пространство ) как минимум двух измерений. Аналогично, функция является выпуклой, если ее надграфик (множество точек на графике функции или над ним) представляет собой выпуклое множество . Для дважды дифференцируемой функции одной переменной, если вторая производная всегда больше или равна нулю во всей ее области определения, то функция выпуклая. Хорошо известные примеры выпуклых функций включают квадратичную функцию $x^{2}$ и показательная функция $e^{x}$.

Правило Крамера

В линейной алгебре правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким количеством уравнений, сколько неизвестных, действительная, когда система имеет единственное решение. Он выражает решение через определители коэффициентов (квадратной) матрицы и матриц, полученных из нее заменой одного столбца на вектор-столбец правых частей уравнений. Он назван в честь Габриэля Крамера (1704–1752), который опубликовал правило для произвольного числа неизвестных в 1750 году. хотя Колен Маклорен также опубликовал особые случаи этого правила в 1748 году. (и, возможно, знал об этом еще в 1729 году).

критическая точка

Критическая точка или стационарная точка дифференцируемой функции действительной , или комплексной переменной — это любое значение в ее области определения где ее производная равна 0.

изгиб

Кривая (в старых текстах ее также называли изогнутой линией ), вообще говоря, представляет собой объект, похожий на линию , но не обязательно прямой .

кривая эскиза

В геометрии ) включает в себя методы , эскиз кривой (или трассировка кривой которые можно использовать для получения приблизительного представления об общей форме плоской кривой с учетом ее уравнения без вычисления большого количества точек, необходимых для подробного графика. Это применение теории кривых для выявления их основных особенностей. Здесь входные данные представляют собой уравнение. В цифровой геометрии это метод рисования кривой попиксельно. Здесь входными данными является массив (цифровое изображение).

Д

затухающая синусоидальная волна

Это синусоидальная функция , амплитуда которой приближается к нулю с увеличением времени.

степень многочлена

Это высшая степень его мономов (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина представляет собой сумму показателей степени входящих в него переменных и, следовательно, является неотрицательным целым числом.

производная

Производная функции . действительной переменной измеряет чувствительность к изменению значения функции (выходного значения) по отношению к изменению ее аргумента (входного значения) Производные являются фундаментальным инструментом исчисления . Например, производная положения движущегося объекта по времени объекта — это скорость : она измеряет, насколько быстро меняется положение объекта с течением времени.

производный критерий

Проверка производной использует производные функции, чтобы найти критические точки функции и определить, является ли каждая точка локальным максимумом , локальным минимумом или седловой точкой . Производные тесты также могут дать информацию о вогнутости функции.

дифференцируемая функция

Дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция, производная которой существует в каждой точке ее области определения . В результате график дифференцируемой функции должен иметь (невертикальную ) касательную в каждой точке ее области определения, быть относительно гладким и не содержать никаких изломов, изгибов или точек возврата .

дифференциал (бесконечно малый)

Термин « дифференциал» используется в исчислении для обозначения бесконечно малого (бесконечно малого) изменения некоторой изменяющейся величины . Например, если x — переменная , то изменение значения x часто обозначается Δ x (произносится как «дельта x »). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малых или бесконечно медленных изменений чрезвычайно полезна интуитивно, и существует множество способов сделать это понятие математически точным. Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом с помощью производных . Если y является функцией x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,$

где dy / dx обозначает производную y ​ по x . Эта формула суммирует интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δ y /Δ x , когда Δ x становится бесконечно малым.

дифференциальное исчисление

Это подполе исчисления занимается изучением скорости изменения количеств. Это один из двух традиционных разделов исчисления, второй — интегральное исчисление , изучение площади под кривой.

дифференциальное уравнение

Это математическое уравнение , связывающее некоторую функцию с ее производными . В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а уравнение определяет связь между ними.

дифференциальный оператор

.

дифференциал функции

В исчислении дифференциал основную представляет собой часть изменения функции y = f ( x ) относительно изменений независимой переменной. Дифференциал dy определяется формулой

$dy=f'(x)\,dx,$

где $f'(x)$является производной f ( по x , а dx — дополнительная действительная переменная так что dy — функция от x и dx ). Обозначения таковы, что уравнение

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$

выполняется, где производная представлена ​​в обозначениях Лейбница dy / dx , и это согласуется с представлением о производной как о факторе дифференциалов. Еще один пишет

$df(x)=f'(x)\,dx.$

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область определения этих переменных может иметь особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как особая дифференциальная форма , или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные dx и dy считаются очень малыми ( бесконечно малыми ), и эта интерпретация становится строгой в нестандартном анализе .

правила дифференциации

.

прямой сравнительный тест

Проверка сходимости, при которой бесконечный ряд или несобственный интеграл сравнивается с рядом с известными свойствами сходимости.

тест Дирихле

метод проверки сходимости ряда Это . Он назван в честь своего автора Питера Густава Лежена Дирихле и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году. Тест утверждает, что если $\{a_{n}\}$ представляет собой последовательность действительных чисел и $\{b_{n}\}$ последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая

• $a_{n+1}\leq a_{n}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ для каждого натурального числа N

где M — некоторая константа, то ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

сходится.

интеграция дисков

Также известный в интегральном исчислении как метод диска , это средство расчета объема тела вращения твердотельного материала при интегрировании вдоль оси, «параллельной» оси вращения .

расходящийся ряд

Это бесконечный ряд , который не сходится , что означает, что бесконечная последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела .

разрыв

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике , функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в некоторой точке своей области определения , говорят, что она имеет разрыв здесь . Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным , плотным или даже всей областью определения функции.

скалярное произведение

В математике скалярное произведение или скалярное произведение — это алгебраическая операция , которая принимает две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы ) и возвращает одно число. В евклидовой геометрии скалярное произведение декартовых координат двух векторов широко используется и часто называется « внутренним продуктом » (или реже проекционным продуктом ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который может быть определен в евклидовом пространстве. ; см. также внутреннее пространство продукта .

двойной интеграл

Кратный интеграл — это определенный интеграл от функции более чем одной действительной переменной , например, f ( x , y ) или f ( x , y , z ) . Интегралы от функции двух переменных по области в R ² называются двойными интегралами , а интегралы от функции трёх переменных по области R ³ называются тройными интегралами .

Э

е (математическая константа)

Число e — это математическая константа , являющаяся основой натурального логарифма : уникальное число, натуральный логарифм которого равен единице. Оно примерно равно 2,71828 , и является ( пределом 1 + 1/ n ) ^н когда n приближается к бесконечности , это выражение возникает при изучении сложных процентов . Его также можно рассчитать как сумму бесконечного ряда

$e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$

эллиптический интеграл

В интегральном исчислении эллиптические интегралы первоначально возникли в связи с задачей о задании длины эллипса дуги . Впервые их изучили Джулио Фаньяно и Леонард Эйлер ( ок. 1750 ). Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f , которую можно выразить в форме

$f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt,$

где R — рациональная функция двух своих аргументов, P — многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c — константа.

существенный разрыв

Для существенного разрыва только один из двух односторонних пределов не обязательно должен существовать или быть бесконечным. Рассмотрим функцию

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

Тогда точка $\scriptstyle x_{0}\;=\;1$является существенным разрывом . В этом случае, $\scriptstyle L^{-}$ не существует и $\scriptstyle L^{+}$бесконечно, что дважды удовлетворяет условиям существенного разрыва. Итак, — _x0 существенный разрыв , бесконечный разрыв или разрыв второго рода . (Это отличается от термина «существенная особенность» , который часто используется при изучении функций комплексных переменных .

метод Эйлера

Метод Эйлера — это численный метод решения дифференциального уравнения первой степени первого порядка с заданным начальным значением. Это самый простой явный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и самый простой метод Рунге – Кутты . Метод Эйлера назван в честь Леонарда Эйлера , который рассмотрел его в своей книге Institutionum Calculi Integralis (опубликовано в 1768–1870 гг.).

экспоненциальная функция

В математике – показательная функция это функция вида

$f(x)=ab^{x},$

где b — положительное действительное число и в котором аргумент x встречается как показатель степени. Для действительных чисел c и d функция вида $f(x)=ab^{cx+d}$ также является показательной функцией, так как ее можно переписать как

$ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.$

теорема о крайних значениях

что если действительная функция f непрерывна Утверждает , на замкнутом интервале [ a , b ], то f должна достигать максимума и минимума , каждый хотя бы один раз. То есть существуют числа c и d в [ a , b ] такие, что:

$f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad {\text{for all }}x\in [a,b].$

Связанная с этим теорема — это теорема об ограниченности, которая утверждает, что непрерывная функция f на замкнутом интервале [ a , b ] ограничена на этом интервале. То есть существуют действительные числа m и M такие, что:

$m<f(x)<M\quad {\text{for all }}x\in [a,b].$

Теорема о крайних значениях дополняет теорему об ограниченности, утверждая, что функция не только ограничена, но также достигает своей наименьшей верхней границы как своего максимума и своей максимальной нижней границы как своего минимума.

конец

В математическом анализе максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимума и минимума ) функции ( , известные под общим названием экстремумы (множественное число от экстремума ), представляют собой наибольшее и наименьшее значение функции либо в заданном диапазоне локальное или относительные экстремумы) или во всей области определения функции ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций. Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

Ф

Получить формулу Бруно

Это тождество в математике , обобщающее цепное правило на высшие производные, названное в честь Франческо Фаа ди Бруно ( 1855 , 1857 ), хотя он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст сформулировал формулу в учебнике по математическому анализу: считается первой опубликованной ссылкой на эту тему. Возможно, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит, что

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},$

где сумма вычисляется по всем n - кортежам целых неотрицательных чисел ( m ₁ , …, m _n ), удовлетворяющим ограничению

$1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.$

Иногда, чтобы придать ему запоминающийся образец, его записывают таким образом, чтобы коэффициенты, имеющие комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, были менее явными:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.$

Объединение членов с одинаковым значением m ₁ + m ₂ + ... + m _n = k и замечание, что m   _j должно быть равно нулю для j > n - k + 1, приводит к несколько более простой формуле, выраженной в терминах Белла. полиномы B _{n , k} ( x ₁ ,..., x _{n - k +1} ):

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

полином первой степени

первый производный тест

свойства функции Первый тест на производную исследует монотонные (когда функция возрастает или убывает), уделяя особое внимание определенной точке ее области определения. Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в данной точке, то в этой точке функция достигнет наибольшего значения. Аналогично, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, то в этой точке она достигнет наименьшего значения. Если функции не удается «переключиться» и она продолжает увеличиваться или уменьшается, то ни наименьшее, ни наименьшее значение не достигается.

Дробное исчисление

Это раздел математического анализа , изучающий несколько различных возможностей определения степеней действительных чисел или комплексных степеней чисел оператора дифференцирования D.

$Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)$,

и оператора интегрирования J

$Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}$,

и разработать исчисление таких операторов, обобщающее классическое. В этом контексте термин « степени» относится к итеративному применению линейного оператора к функции, в некоторой аналогии с композицией функций , действующих на переменную, т. е . f  ^∘2 ( Икс ) знак равно ж ∘ ж ( Икс ) знак равно ж ( ж ( Икс ) ) .

кусок

В геометрии ( усеченный конус множественное число: усеченный или усеченный ) — это часть твердого тела (обычно конуса или пирамиды ), которая находится между одной или двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Правильный усеченный конус — это параллельное усечение или правильной пирамиды правого конуса.

функция

Это процесс или отношение, которое связывает каждый элемент x набора (возможно , X , области определения функции, с одним элементом y другого набора Y того же набора), кодомена функции. Если функция называется f , это отношение обозначается y = f   ( x ) (читай f от x ), элемент x является аргументом или входом функции, а y является значением функции , выходом или изображение x ​ по f . Символ, который используется для представления входных данных, — это переменная функции (часто говорят, что f — это функция переменной x ).

композиция функций

Это операция, которая берет две функции f и g и создает функцию h такую, что h ( x ) = g ( f ( x )) . В этой операции функция g применяется к результату применения функции f к x . То есть функции f : X → Y и g : Y → Z составлены так , чтобы дать функцию, которая отображает x в X в g ( f ( x )) в Z .

основная теорема исчисления

Основная теорема исчисления — это теорема которая связывает концепцию дифференцирования функции , с концепцией интегрирования функции. Первая часть теоремы, иногда называемая первой фундаментальной теоремой исчисления , утверждает, что одна из первообразных (также называемая неопределенным интегралом ), скажем F , некоторой функции f может быть получена как интеграл от f с переменной границей интегрирования. . Отсюда следует существование первообразных у непрерывных функций . И наоборот, вторая часть теоремы, иногда называемая второй фундаментальной теоремой исчисления , утверждает, что интеграл функции f на некотором интервале может быть вычислен с использованием любой одной, скажем F , из ее бесконечно многих первообразных . Эта часть теоремы имеет ключевые практические применения, поскольку явное нахождение первообразной функции путем символического интегрирования позволяет избежать численного интегрирования для вычисления интегралов. Как правило, это обеспечивает лучшую числовую точность.

Г

общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница : названный в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если $f$ и $g$ являются $n$-раз дифференцируемые функции , то произведение $fg$ это также $n$-раз дифференцируема и ее $n$-я производная определяется выражением

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},$

где ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент и $f^{(0)}\equiv f.$ Это можно доказать, используя правило произведения и математическую индукцию .

глобальный максимум

В математическом анализе максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимума и минимума ) функции ( , известные под общим названием экстремумы (множественное число от экстремума ), представляют собой наибольшее и наименьшее значение функции либо в заданном диапазоне локальное или относительные экстремумы) или во всей области определения функции ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций. Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

глобальный минимум

В математическом анализе максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимума и минимума ) функции ( , известные под общим названием экстремумы (множественное число от экстремума ), представляют собой наибольшее и наименьшее значение функции либо в заданном диапазоне локальное или относительные экстремумы) или во всей области определения функции ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций. Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

золотая спираль

В геометрии золотая спираль — это логарифмическая спираль , коэффициент роста которой равен φ , золотому сечению . То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в φ раз на каждую четверть оборота.

градиент

Является многопараметрическим обобщением производной . В то время как производная может быть определена для функций одной переменной, для функций нескольких переменных ее место занимает градиент. Градиент — это векторная функция , в отличие от производной, которая имеет скалярное значение .

Х

гармоническая прогрессия

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность ) — это прогрессия, образованная путем взятия обратных величин арифметической прогрессии . Это последовательность вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},$

где −a/ d — не натуральное число , а k — натуральное число. Эквивалентно, последовательность представляет собой гармоническую прогрессию, когда каждый член является средним гармоническим из соседних терминов. Невозможно, чтобы гармоническая прогрессия (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k = 0) давала целое число . Причина в том, что обязательно хотя бы один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число , которое не делит ни один другой знаменатель.

высшая производная

Пусть f — дифференцируемая функция и f ′ — ее производная. Производная f ′ (если она есть) обозначается f ” и называется второй производной f . Аналогично, производная второй производной, если она существует, записывается " ' и называется третьей производной f . f Продолжая этот процесс, можно определить, если она существует, n- ю производную как производную ( n -1) -й производной. Эти повторяющиеся производные называются производными более высокого порядка . ю n- производную еще называют производной порядка n .

однородное линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение может быть однородным в двух отношениях. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно записать

$f(x,y)dy=g(x,y)dx,$

где f и g — однородные функции одной и той же степени от x и y . В этом случае замена переменной y = ux приводит к уравнению вида

${\frac {dx}{x}}=h(u)du,$

которую легко решить путем интегрирования двух членов. В противном случае дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных дифференциальных уравнений это означает отсутствие постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка можно вывести интегрированием из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

гиперболическая функция

Гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических , или круговых , функций.

Я

функция идентификации

Также называется отношением идентичности , картой идентичности или преобразованием идентичности . Это функция , которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента. В уравнениях функция задается выражением f ( x ) = x .

мнимое число

Комплексное число , которое можно записать как действительное число , умноженное на мнимую единицу i , который определяется его свойством i ² = −1 . Квадрат равен мнимого bi − b числа ² . Например, 5 i — мнимое число, а его квадрат равен −25 . Ноль считается одновременно реальным и мнимым.

неявная функция

В математике неявное уравнение — это соотношение вида $R(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$, где $R$является функцией нескольких переменных (часто полиномом ). Например, неявное уравнение единичного круга : $x^{2}+y^{2}-1=0$. Неявная функция — это функция , которая неявно определяется неявным уравнением путем связывания одной из переменных ( значения ) с другими ( аргументами ). Таким образом, неявная функция для $y$ в контексте единичного круга неявно определяется выражением $x^{2}+f(x)^{2}-1=0$. Это неявное уравнение определяет $f$ как функция $x$ только если $-1\leq x\leq 1$и рассматриваются только неотрицательные (или неположительные) значения значений функции. Теорема о неявной функции обеспечивает условия, при которых некоторые виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения, определяемые как индикаторная функция нулевого множества некоторой непрерывно дифференцируемой многомерного . функции

неделимая дробь

Обыкновенные дроби можно разделить на правильные и неправильные. Когда числитель и знаменатель положительны, дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. В общем, обыкновенная дробь называется правильной дробью, если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше -1 и меньше 1. Говорят, что это неправильная дробь, а иногда и тяжелая сверху дробь. если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примеры правильных дробей: 2/3, –3/4 и 4/9; примеры неправильных дробей: 9/4, –4/3 и 3/3.

несобственный интеграл

В математическом анализе несобственный интеграл — это предел определенного интеграла, поскольку конечная точка интервала(ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу , $\infty$, $-\infty$или, в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам. Такой интеграл часто записывается символически, как стандартный определенный интеграл, в некоторых случаях с бесконечностью в качестве предела интегрирования. В частности, несобственный интеграл представляет собой предел вида:

$\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

или

$\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,$

в котором достигается предел в одной или другой (или иногда в обеих) конечных точках ( Апостол 1967 , §10.23).

точка перегиба

В дифференциальном исчислении , точка перегиба точка перегиба , изгиб или перегиб (британский английский: inflexion ) — это точка на непрерывной плоской кривой , в которой кривая меняется с вогнутой (вогнутой вниз) на выпуклую (вогнутую вверх) или наоборот.

мгновенная скорость изменения

Производная функции одной переменной при выбранном входном значении, если она существует, представляет собой наклон к графику касательной функции в этой точке. Касательная линия является лучшим линейным приближением функции вблизи этого входного значения. По этой причине производную часто называют «мгновенной скоростью изменения», отношением мгновенного изменения зависимой переменной к изменению независимой переменной. .

мгновенная скорость

Если мы рассматриваем v как скорость, а x как вектор смещения (изменения положения), то мы можем выразить (мгновенную) скорость частицы или объекта в любой конкретный момент времени t как производную положения по времени:

${\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.$

Из этого производного уравнения в одномерном случае видно, что площадь под зависимостью скорости от времени ( график v от t ) представляет собой смещение x . В терминах исчисления интеграл функции скорости v ( t ) представляет собой функцию смещения x ( t ) . На рисунке это соответствует желтой области под кривой, обозначенной s ( s – альтернативное обозначение смещения).

${\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ d{\mathit {t}}.$

Поскольку производная положения по времени дает изменение положения (в метрах ), деленное на изменение во времени (в секундах ), скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Хотя концепция мгновенной скорости может на первый взгляд показаться нелогичной, ее можно рассматривать как скорость, с которой объект продолжал бы двигаться, если бы в этот момент он прекратил ускоряться. .

интеграл

Интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы можно было описать перемещение, площадь, объем и другие понятия, возникающие при объединении бесконечно малых данных. Интегрирование — одна из двух основных операций исчисления, вторая — обратная операция — . дифференцирование .

неотъемлемый символ

Интегральный символ:

∫ ( Юникод ), $\displaystyle \int$ ( Латекс )

используется для обозначения интегралов и первообразных в математике . .

подынтегральная функция

Функция, которую нужно интегрировать в интеграл.

интегрирование по частям

В исчислении и, в более общем смысле, в математическом анализе , интегрирование по частям или частичное интегрирование — это процесс, который находит интеграл от произведения функций через интеграл от их производной и первообразной. Его часто используют для преобразования первообразной произведения функций в первообразную, для которой легче найти решение. Правило можно легко получить путем интегрирования продукта дифференциации правила . Если u = u ( x ) и du = u ′ ( x ) dx , а v = v ( x ) и dv = v ′ ( x ) dx , то интегрирование по частям утверждает, что:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}$

или более компактно:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

Математик Брук Тейлор открыл интегрирование по частям, впервые опубликовав эту идею в 1715 году . Более общие формулировки интегрирования по частям существуют для интегралов Римана–Стилтьеса и Лебега–Стилтьеса . Дискретный аналог последовательностей называется суммированием по частям . .

интегрирование путем замены

Также известный как u -замещение, это метод решения интегралов . Использование фундаментальной теоремы исчисления часто требует нахождения первообразной . По этой и другим причинам интегрирование путем замены является важным инструментом математики. аналог цепного правила дифференциации . Это .

теорема о промежуточном значении

В математическом анализе теорема о промежуточном значении утверждает, что если функция непрерывная f с интервалом [ a , b ] в качестве области определения принимает значения f ( a ) и f ( b ) на каждом конце интервала, то он также принимает любое значение между f ( a ) и f ( b ) в некоторой точке интервала. Это имеет два важных следствия :

1. Если непрерывная функция внутри интервала имеет значения противоположного знака, то она имеет корень в этом интервале ( теорема Больцано ).
2. Образ непрерывной функции на интервале сам по себе является интервалом. .

обратные тригонометрические функции

(Также называемые дуговыми функциями, антитригонометрические функции или циклометрические функции ) являются обратными функциями тригонометрических функций (с соответствующим образом ограниченными областями определения ). В частности, они являются обратными функциям синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса и косеканса и используются для получения угла из любого из тригонометрических отношений угла.

Я

скачок разрыва

Рассмотрим функцию

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

Тогда точка x ₀ = 1 является скачкообразным разрывом . В этом случае единого предела не существует, поскольку односторонние пределы L ⁻ и я ⁺ , существуют и конечны, но не равны: поскольку, L ⁻ ≠ Л ⁺ предел L не существует. Тогда x0 _{разрывом} называется скачкообразным разрывом , ступенчатым разрывом или первого рода . Для этого типа разрыва функция f может иметь любое значение в x0 _точке .

Л

Интеграция Лебега

В математике интеграл от неотрицательной функции одной переменной в простейшем случае можно рассматривать как площадь между графиком этой функции и осью x . Интеграл Лебега расширяет интеграл на более широкий класс функций. Он также расширяет области , в которых могут быть определены эти функции.

Правило больницы

Правило Лопиталя или правило Лопиталя использует производные , чтобы помочь оценить пределы , включающие неопределенные формы . Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое можно вычислить путем подстановки, что упрощает оценку предела. Правило названо в честь французского математика 17 века Гийома де Лопиталя . Хотя вклад этого правила часто приписывают Лопиталю, теорема была впервые представлена ​​Лопиталю в 1694 году швейцарским математиком Иоганном Бернулли . Правило Лопиталя гласит, что для функций f и g , которые дифференцируемы на открытом интервале I, за исключением, возможно, точки c , содержащейся в I , если $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,$ $g'(x)\neq 0$ для всех x в I с x ≠ c и $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ существует, то

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно вычислить напрямую.

сравнительный тест пределов

Тест предельного сравнения позволяет определить сходимость одного ряда по сходимости другого.

предел функции

.

пределы интеграции

.

линейная комбинация

В математике линейная комбинация — это выражение , построенное из набора членов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейная комбинация x и y будет любым выражением формы ax + by , где a и b являются константами). Концепция линейных комбинаций занимает центральное место в линейной алгебре и смежных областях математики.

линейное уравнение

Линейное уравнение – это уравнение, связывающее две или более переменных друг с другом в виде $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,$ при этом наибольшая степень каждой переменной равна 1.

линейная система

.

список интегралов

.

логарифм

.

логарифмическое дифференцирование

.

нижняя граница

.

М

Теорема о среднем значении

.

монотонная функция

.

кратный интеграл

.

Мультипликативное исчисление

.

многомерное исчисление

.

Н

натуральный логарифм

Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию математической константы e , где e — иррациональное и трансцендентное число, примерно равное 2,718  281  828  459 . Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . круглые скобки Иногда для ясности добавляются , обозначающие ln( x ), log _e ( x ) или log( x ). Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

неньютоновское исчисление

.

нестандартное исчисление

.

обозначение для дифференцирования

.

численное интегрирование

.

Или

односторонний предел

.

обыкновенное дифференциальное уравнение

.

П

Теорема Паппа о центроиде

(Также известная как теорема Гульдина , теорема Паппа-Гульдина или теорема Паппа ) — это одна из двух связанных теорем касающихся площадей и объемов поверхностей , и тел вращения.

парабола

Представляет собой плоскую кривую , зеркально-симметричную и имеющую приблизительно U- образную форму . Он соответствует нескольким внешне отличающимся друг от друга математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

параболоид

.

частная производная

.

уравнение в частных производных

.

разложение частичных дробей

.

частное решение

.

кусочно-определенная функция

Функция, определяемая несколькими подфункциями, которые применяются к определенным интервалам области определения функции.

вектор положения

.

правило власти

.

интеграл продукта

.

правило продукта

.

правильная дробь

.

правильная рациональная функция

.

теорема Пифагора

.

Пифагорейское тригонометрическое тождество

.

Вопрос

квадратичная функция

В алгебре квадратичная функция , квадратичный многочлен , многочлен степени 2 или просто квадратичная функция — это полиномиальная функция с одной или несколькими переменными, в которой член высшей степени имеет вторую степень. Например, квадратичная функция от трех переменных x , y и z содержит исключительно члены x ² , и ² , С ² , xy , xz , yz , x , y , z и константа:

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

при этом по крайней мере один из коэффициентов a, b, c, d, e или f членов второй степени не равен нулю. Одномерная ( с одной переменной) квадратичная функция имеет вид

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$

в единственной переменной x . График ось одномерной квадратичной функции представляет собой параболу, симметрии которой параллельна оси y , как показано справа. Если квадратичную функцию положить равной нулю, то результатом будет квадратное уравнение . Решения одномерного уравнения называются корнями одномерной функции. Двумерный случай в терминах переменных x и y имеет вид

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!$

по крайней мере, один из a, b, c не равен нулю, и уравнение, устанавливающее эту функцию равной нулю, приводит к коническому сечению ( кругу или другому эллипсу , параболе или гиперболе ). В общем случае может быть сколь угодно большое количество переменных, и в этом случае результирующая поверхность называется квадрикой , но член высшей степени должен иметь степень 2, например x ² , ху , уз и т. д.

квадратичный полином

.

правило частного

Формула для нахождения производной функции, представляющей собой отношение двух функций.

Р

радиан

Единица СИ для измерения углов и стандартная единица измерения угла, используемая во многих областях математики . Длина дуги единичной окружности численно равна измерению в радианах угла, на который она опирается ; один радиан составляет чуть менее 57,3 градуса (расширение OEIS : A072097 ). Раньше эта единица была дополнительной единицей СИ , но эта категория была упразднена в 1995 году, и теперь радиан считается производной единицей СИ . Отдельно единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан .

тестовая система

.

обратная функция

.

взаимное правило

.

Интеграл Римана

.

соответствующие тарифы

.

устранимый разрыв

.

Теорема Ролля

.

корневой тест

.

С

скаляр

.

секущая линия

.

полином второй степени

.

вторая производная

.

тест второй производной

.

дифференциальное уравнение второго порядка

.

ряд

.

интеграция оболочки

.

Правило Симпсона

.

их

.

синусоидальная волна

.

наклонное поле

.

теорема о сжатии

.

правило сумм при дифференцировании

.

правило сумм при интегрировании

.

суммирование

.

дополнительный угол

.

площадь поверхности

.

система линейных уравнений

.

Т

таблица интегралов

.

Серия Тейлора

.

Теорема Тейлора

.

касательная

.

полином третьей степени

.

третья производная

.

тороид

.

общий дифференциал

.

тригонометрические функции

.

тригонометрические тождества

.

тригонометрический интеграл

.

тригонометрическая замена

.

тригонометрия

.

тройной интеграл

.

У

верхняя граница

.

V

переменная

.

вектор

.

векторное исчисление

.

В

Шайба

.

метод шайбы

.

См. также

• Краткое описание исчисления
• Глоссарий областей математики
• Глоссарий астрономии
• Глоссарий биологии
• Словарь ботаники
• Словарь химии
• Глоссарий экологии
• Глоссарий техники
• Глоссарий физики
• Глоссарий вероятности и статистики

Ссылки

Цитируемые работы

• Апостол, Т (1967), Исчисление, Том. 1 (2-е изд.), John Wiley & Sons .
• Арбогаст, LFA (1800 г.), производных ( Об исчислении на французском языке), Страсбург: Левро, стр. xxiii+404 .
• Мясник, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-96758-3 .
• Крейк, Алекс Д.Д. (февраль 2005 г.), «Предыстория формулы Фаа ди Бруно», American Mathematical Monthly , 112 (2): 217–234, doi : 10.2307/30037410 , JSTOR   30037410 , MR   2121322 , Zbl   1088.01008 .
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-56670-0 .
• Джонсон, Уоррен П. (март 2002 г.), «Любопытная история формулы Фаа ди Бруно» (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (3): 217–234, CiteSeerX   10.1.1.109.4135 , doi : 10.2307/2695352 , JSTOR   2695352 , MR   1903577 , Збл   1024.01010 .