Вертикальная касательная

Вертикальная касательная к функции ƒ ( x ) в точке x = c .

В математике , особенно в исчислении , вертикальная касательная — это касательная , вертикальная . Поскольку вертикальная линия имеет бесконечный наклон , функция которой , график имеет вертикальную касательную, не дифференцируема в точке касания.

Определение предела

Функция ƒ имеет вертикальную касательную в точке x = a , если коэффициент разности, используемый для определения производной, имеет бесконечный предел :

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{or}}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }.$

Первый случай соответствует наклонной вертикальной касательной вверх, а второй случай - вертикальной касательной, наклоненной вниз. График ƒ имеет вертикальную касательную в точке x = a , если производная ƒ в точке a равна положительной или отрицательной бесконечности.

Для непрерывной функции часто можно обнаружить вертикальную касательную, взяв предел производной. Если

$\lim _{x\to a}f'(x)={+\infty }{\text{,}}$

тогда ƒ должна иметь наклоненную вверх вертикальную касательную в точке x = a . Аналогично, если

$\lim _{x\to a}f'(x)={-\infty }{\text{,}}$

тогда ƒ должна иметь наклоненную вниз вертикальную касательную в точке x = a . В этих ситуациях вертикальная касательная к ƒ отображается как вертикальная асимптота на графике производной.

Вертикальные выступы

С вертикальными касательными тесно связаны вертикальные точки возврата . Это происходит, когда обе односторонние производные бесконечны, но одна положительна, а другая отрицательна. Например, если

$\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }{\text{,}}$

тогда график ƒ будет иметь вертикальную точку возврата, наклоненную вверх с левой стороны и вниз с правой стороны.

Как и в случае с вертикальными касательными, вертикальные точки возврата иногда можно обнаружить для непрерывной функции, исследуя предел производной. Например, если

$\lim _{x\to a^{-}}f'(x)={-\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)={+\infty }{\text{,}}$

тогда график ƒ будет иметь вертикальную точку возврата в точке x = a , которая имеет наклон вниз с левой стороны и вверх с правой стороны.

Пример

Функция

$f(x)={\sqrt[{3}]{x}}$

имеет вертикальную касательную в точке x = 0, поскольку она непрерывна и

$\lim _{x\to 0}f'(x)\;=\;\lim _{x\to 0}{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}\;=\;\infty .$

Аналогично, функция

$g(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$

имеет вертикальный излом в точке x = 0, поскольку он непрерывен,

$\lim _{x\to 0^{-}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{-\infty }{\text{,}}$

и

$\lim _{x\to 0^{+}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{+\infty }{\text{.}}$

Ссылки

• Вертикальные касательные и точки возврата . Проверено 12 мая 2006 г.