Коэффициент разницы

с одной переменной В исчислении обычно коэффициент разности является названием выражения

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

которое при доведении до предела , когда h дает производную функции приближается к 0 , f . ^[1]^[2]^[3]^[4] Название выражения связано с тем, что оно представляет собой значений функции частное разности на разность соответствующих значений ее аргумента (последний в данном случае равен ( x + h ) - x = h ). ^[5]^[6] Коэффициент разности является мерой средней скорости изменения функции на интервале (в данном случае интервале длины h ). ^[7]^[8]^: 237^[9] Таким образом, пределом разностного коэффициента (т. е. производной) является мгновенная скорость изменения. ^[9]

Небольшим изменением обозначений (и точки зрения) для интервала [ a , b ] коэффициент разности

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

называется ^[5] среднее (или среднее) значение производной f на интервале [ a , b ]. Это название оправдано теоремой о среднем значении , которая утверждает, что для дифференцируемой функции f ее производная f ' достигает своего среднего значения в некоторой точке интервала. ^[5] Геометрически этот разностный коэффициент измеряет наклон секущей линии, проходящей через точки с координатами ( a , f ( a )) и ( b , f ( b )). ^[10]

Коэффициенты разности используются в качестве приближений при численном дифференцировании . ^[8] но они также подверглись критике в этом заявлении. ^[11]

Коэффициенты разности также могут найти применение в приложениях, связанных с дискретизацией по времени , где ширина временного шага используется для значения h.

Коэффициент разности иногда также называют коэффициентом Ньютона. ^[10]^[12]^[13]^[14] (по Исааку Ньютону ) или разностный коэффициент Ферма (по Пьеру де Ферма ). ^[15]

Обзор [ править ]

Типичное понятие разностного коэффициента, обсуждавшееся выше, является частным случаем более общего понятия. Основным средством исчисления и другой высшей математики является функция . Его «входное значение» — это его аргумент , обычно точка («P»), выражаемая на графике. Разница между двумя точками сама по себе известна как их дельта (Δ P ), как и разница в результате их функции, причем конкретное обозначение определяется направлением формирования:

Разница вперед: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) - F ( P );
Центральная разность: δF(P) = F(P + 1/2 P − ΔP) − F( 1/2 ΔP ; )
Обратная разность: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP).

Общим предпочтением является ориентация вперед, поскольку F(P) является базой, к которой добавляются различия (т. е. «ΔP»). Более того,

Если |ΔP| конечен ( то есть измерим), то ΔF(P) известен как конечная разность со специальными обозначениями DP и DF(P);
Если |ΔP| ( бесконечно мала бесконечно малая величина — $\iota$ — обычно выражается в стандартном анализе как предел: $\lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!$ ), то ΔF(P) известен как бесконечно малая разность с конкретными обозначениями dP и dF(P) (в графическом исчислении точка почти всегда обозначается как «x», а F(x) как «y»).

Разница функций, деленная на разницу в баллах, называется «коэффициентом разницы»:

{\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!

Если ΔP бесконечно мало, то фактор разности является производной , в противном случае это разделенная разность :

{\text{If }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!

{\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!

Определение диапазона точек [ править ]

Независимо от того, бесконечно мала или конечна ΔP, существует (по крайней мере — в случае производной — теоретически) область точек, границами которой являются P ± (0,5) ΔP (в зависимости от ориентации — ΔF(P), δF( P) или ∇F(P)):

LB = нижняя граница; UB = верхняя граница;

Производные можно рассматривать как сами функции, содержащие свои собственные производные. Таким образом, каждая функция является домом для последовательных степеней («высших порядков») вывода или дифференцирования . Это свойство можно обобщить на все разностные коэффициенты.
Поскольку эта последовательность требует соответствующего разделения границ, практично разбить диапазон точек на более мелкие секции одинакового размера, причем каждая секция отмечается промежуточной точкой ( P _i ), где LB = P ₀ и UB = P _ń , n -я точка, равная степени/порядку:

  LB =  P₀  = P₀ + 0Δ₁P     = P_ń − (Ń-0)Δ₁P;
        P₁  = P₀ + 1Δ₁P     = P_ń − (Ń-1)Δ₁P;
        P₂  = P₀ + 2Δ₁P     = P_ń − (Ń-2)Δ₁P;
        P₃  = P₀ + 3Δ₁P     = P_ń − (Ń-3)Δ₁P;
            ↓      ↓        ↓       ↓
       P_ń-3 = P₀ + (Ń-3)Δ₁P = P_ń − 3Δ₁P;
       P_ń-2 = P₀ + (Ń-2)Δ₁P = P_ń − 2Δ₁P;
       P_ń-1 = P₀ + (Ń-1)Δ₁P = P_ń − 1Δ₁P;
  UB = P_ń-0 = P₀ + (Ń-0)Δ₁P = P_ń − 0Δ₁P = P_ń;

  ΔP = Δ₁P = P₁ − P₀ = P₂ − P₁ = P₃ − P₂ = ... = P_ń − P_ń-1;

  ΔB = UB − LB = P_ń − P₀ = Δ_ńP = ŃΔ₁P.

Коэффициент первичной разности ( Ń = 1) [ править ]

{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!

Как производное [ править ]

Коэффициент разности как производная не нуждается в объяснении, кроме указания на то, что, поскольку P ₀ по существу равно P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (поскольку разности бесконечно малы), обозначения Лейбница и выражения производных не различать P от P ₀ или P _ń :

{\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!

Существуют и другие производные обозначения , но это наиболее признанные, стандартные обозначения.

Как разделенная разница [ править ]

Однако разделенная разница требует дальнейшего пояснения, поскольку она равна средней производной между LB и UB, включая их:

{\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}

В этой интерпретации P _ã представляет собой извлеченную функцию, среднее значение P (среднее значение, но обычно не совсем середину), конкретную оценку, зависящую от функции, из которой оно усредняется. Более формально, P _ã находится в среднем значении , которая гласит: теореме исчисления о

Для любой функции, непрерывной на [LB,UB] и дифференцируемой на (LB,UB), существует некоторая P _ã в интервале (LB,UB) такая, что секущая, соединяющая концы интервала [LB,UB], параллельна к касательной в P _ã .

По сути, P _ã обозначает некоторое значение P между LB и UB, следовательно,

P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!

который связывает результат среднего значения с разделенной разностью:

{\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}

Поскольку по самому определению существует ощутимая разница между LB/P ₀ и UB/P _ń , выражения Лейбница и производные действительно требуют дивариации аргумента функции.

порядка разности высшего Коэффициенты

Второй заказ [ править ]

{\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}

Третий порядок [ править ]

{\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}

N- й порядок [ править ]

{\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}

Применение разделенной разницы [ править ]

Квинтэссенция применения разделенной разности заключается в представлении определенного интеграла, который представляет собой не что иное, как конечную разность:

{\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}

Учитывая, что форма выражения среднего значения и производной предоставляет всю ту же информацию, что и классическое интегральное обозначение, форма среднего значения может быть предпочтительным выражением, например, в письменных местах, которые поддерживают/принимают только стандартный текст ASCII , или в тех случаях, когда только требуется средняя производная (например, при нахождении среднего радиуса в эллиптическом интеграле). Это особенно верно для определенных интегралов, которые технически имеют (например) 0 и либо $\pi \,\!$ или $2\pi \,\!$ в качестве границ, с той же разделенной разностью, что и для границ 0 и ${\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}$ (таким образом, требуется меньше усилий по усреднению):

{\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}

Это также становится особенно полезным при работе с повторными и кратными целыми s (ΔA = AU – AL, ΔB = BU – BL, ΔC = CU – CL):

{\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}

Следовательно,

F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!

и

F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Спрингер. п. 119. ИСБН 978-1-4614-7946-8 .
^ Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Бэррон «Как подготовиться к расчету AP» . Образовательная серия Бэррона. п. 44 . ISBN 978-0-7641-2382-5 .
^ Марк Райан (2010). Основы исчисления для чайников . Джон Уайли и сыновья. стр. 41–47. ISBN 978-0-470-64269-6 .
^ Карла Нил; Р. Густавсон; Джефф Хьюз (2012). Предварительный расчет . Cengage Обучение. п. 133. ИСБН 978-0-495-82662-0 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Майкл Коменец (2002). Исчисление: Элементы . Всемирная научная. стр. 71–76 и 151–161. ISBN 978-981-02-4904-5 .
^ Мориц Паш (2010). Очерки оснований математики Морица Паша . Спрингер. стр. 157. ИСБН 978-90-481-9416-2 .
^ Фрэнк К. Уилсон; Скотт Адамсон (2008). Прикладное исчисление . Cengage Обучение. п. 177. ИСБН 978-0-618-61104-1 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тамара Лефкур Руби; Джеймс Селлерс; Лиза Корф; Джереми Ван Хорн; Майк Манн (2014). Каплан А. П. Исчисление AB и BC 2015 . Каплан Паблишинг. п. 299. ИСБН 978-1-61865-686-5 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Томас Хангерфорд; Дуглас Шоу (2008). Современный предисчисление: графический подход . Cengage Обучение. стр. 211–212. ISBN 978-0-495-10833-7 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Стивен Г. Кранц (2014). Основы анализа . ЦРК Пресс. п. 127. ИСБН 978-1-4822-2075-9 .
^ Андреас Гриванк; Андреа Вальтер (2008). Оценка производных: принципы и методы алгоритмического дифференцирования, второе издание . СИАМ. стр. 2–. ISBN 978-0-89871-659-7 .
^ Серж Ланг (1968). Анализ 1 . Издательство Аддисон-Уэсли. п. 56 .
^ Брайан Д. Хан (1994). Фортран 90 для ученых и инженеров . Эльзевир. п. 276. ИСБН 978-0-340-60034-4 .
^ Кристофер Клэпхэм; Джеймс Николсон (2009). Краткий Оксфордский математический словарь . Издательство Оксфордского университета. п. 313 . ISBN 978-0-19-157976-9 .
^ Дональд К. Бенсон, Более гладкий камешек: математические исследования , Oxford University Press, 2003, стр. 176.

Внешние ссылки [ править ]

Колледж Сент-Винсента: Br. Дэвид Карлсон, OSB - MA109 Коэффициент разницы. Архивировано 12 сентября 2005 г. в Wayback Machine.
Университет Бирмингема: Дирк Херманс — разделенные различия
Математический мир:
- Разделенная разница
- Теорема о среднем значении
Университет Висконсина: Томас В. Репс и Луи Б. Ралл — вычислительное деление разделенных разностей и арифметика разделенных разностей
Интерактивный симулятор на коэффициенте разности для объяснения производной

[LaxTerrell2013-1] Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Спрингер. п. 119. ИСБН 978-1-4614-7946-8 .

[HockettBock2005-2] Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Бэррон «Как подготовиться к расчету AP» . Образовательная серия Бэррона. п. 44 . ISBN 978-0-7641-2382-5 .

[Ryan2010-3] Марк Райан (2010). Основы исчисления для чайников . Джон Уайли и сыновья. стр. 41–47. ISBN 978-0-470-64269-6 .

[NealGustafson2012-4] Карла Нил; Р. Густавсон; Джефф Хьюз (2012). Предварительный расчет . Cengage Обучение. п. 133. ИСБН 978-0-495-82662-0 .

[Comenetz2002-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Майкл Коменец (2002). Исчисление: Элементы . Всемирная научная. стр. 71–76 и 151–161. ISBN 978-981-02-4904-5 .

[Pasch2010-6] Мориц Паш (2010). Очерки оснований математики Морица Паша . Спрингер. стр. 157. ИСБН 978-90-481-9416-2 .

[WilsonAdamson2008-7] Фрэнк К. Уилсон; Скотт Адамсон (2008). Прикладное исчисление . Cengage Обучение. п. 177. ИСБН 978-0-618-61104-1 .

[RubySellers2014-8] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тамара Лефкур Руби; Джеймс Селлерс; Лиза Корф; Джереми Ван Хорн; Майк Манн (2014). Каплан А. П. Исчисление AB и BC 2015 . Каплан Паблишинг. п. 299. ИСБН 978-1-61865-686-5 .

[HungerfordShaw2008-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Томас Хангерфорд; Дуглас Шоу (2008). Современный предисчисление: графический подход . Cengage Обучение. стр. 211–212. ISBN 978-0-495-10833-7 .

[Krantz2014-10] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Стивен Г. Кранц (2014). Основы анализа . ЦРК Пресс. п. 127. ИСБН 978-1-4822-2075-9 .

[GriewankWalther2008-11] Андреас Гриванк; Андреа Вальтер (2008). Оценка производных: принципы и методы алгоритмического дифференцирования, второе издание . СИАМ. стр. 2–. ISBN 978-0-89871-659-7 .

[Lang1968-12] Серж Ланг (1968). Анализ 1 . Издательство Аддисон-Уэсли. п. 56 .

[Hahn1994-13] Брайан Д. Хан (1994). Фортран 90 для ученых и инженеров . Эльзевир. п. 276. ИСБН 978-0-340-60034-4 .

[ClaphamNicholson2009-14] Кристофер Клэпхэм; Джеймс Николсон (2009). Краткий Оксфордский математический словарь . Издательство Оксфордского университета. п. 313 . ISBN 978-0-19-157976-9 .

[15] Дональд К. Бенсон, Более гладкий камешек: математические исследования , Oxford University Press, 2003, стр. 176.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и сэр Исаак Ньютон
Публикации	Флюксии (1671) Де Моту (1684) Бегин (1687) Оптика (1704 г.) Запросы (1704) Арифметика (1707 г.) Де Анализи (1711)
Другие произведения	Вопросы (1661–1665) « Стоя на плечах великанов » (1675) Заметки о еврейском храме (ок. 1680 г.) « Общее училище » (1713; « Гипотез не сочиняю » ) Поправки к Древним королевствам (1728 г.) Искажения Священного Писания (1754 г.)
Взносы	Исчисление флюсия Глубина удара Инерция диск Ньютона Многоугольник Ньютона Тело Ньютона-Окунькова. Рефлектор Ньютона Ньютоновский телескоп Масштаб Ньютона Металл Ньютона Спектр Структурная окраска
Ньютонианство	Аргумент ведра Неравенства Ньютона Закон охлаждения Ньютона Закон всемирного тяготения Ньютона постньютоновское расширение параметризованный гравитационная постоянная Теория Ньютона – Картана Уравнение Шредингера – Ньютона Законы движения Ньютона Законы Кеплера Ньютоновская динамика Метод Ньютона в оптимизации Проблема Аполлония усеченный метод Ньютона Алгоритм Гаусса – Ньютона Кольца Ньютона Теорема Ньютона об овалах Задача Ньютона – Пеписа Ньютоновский потенциал Ньютоновская жидкость Классическая механика Корпускулярная теория света Споры об исчислении Лейбница-Ньютона Обозначения Ньютона Вращающиеся сферы Пушечное ядро Ньютона Формулы Ньютона–Котеса метод Ньютона обобщенный метод Гаусса – Ньютона Ньютон фрактал Личности Ньютона Полином Ньютона Теорема Ньютона о вращающихся орбитах Уравнения Ньютона–Эйлера Число Ньютона проблема с номером для поцелуев частное Ньютона Параллелограмм силы Теорема Ньютона – Пюизо Абсолютное пространство и время Светоносный эфир Ньютоновский ряд стол
Личная жизнь	Поместье Вулсторп (место рождения) Крэнбери Парк (дом) Ранний период жизни Дальнейшая жизнь Яблоня Религиозные взгляды Оккультные исследования Научная революция Коперниканская революция
Отношения	Кэтрин Бартон (племянница) Джон Кондуитт (племянник) Исаак Барроу (профессор) Уильям Кларк (наставник) Бенджамин Пулли (репетитор) Джон Кейлл (ученик) Уильям Стьюкли (друг) Уильям Джонс (друг) Авраам де Муавр (друг)
Изображения	Ньютон Блейка (монотипия) Ньютон работы Паолоцци (скульптура) Исаак Ньютон Горгулья Памятник астрономам
Тезка	Ньютон (единица измерения) колыбель Ньютона Институт Исаака Ньютона Медаль Исаака Ньютона Телескоп Исаака Ньютона Группа телескопов Исаака Ньютона XMM-Ньютон Сэр Исаак Ньютон, шестой класс Государственный институт высшего образования Исаака Ньютона Международная стипендия Ньютона
Категории	Исаак Ньютон