Параллелограмм силы

Основная статья: Сложение векторов

Параллелограмм — это сил метод решения (или визуализации) результатов приложения двух сил к объекту.

Рисунок 1: Построение параллелограмма для сложения векторов

Когда задействовано более двух сил, геометрия больше не является параллелограммной, но применяются те же принципы. Силы, являющиеся векторами , подчиняются законам сложения векторов , поэтому общую (результирующую) силу, возникающую в результате приложения ряда сил, можно найти геометрически, нарисовав векторные стрелки для каждой силы. Например, см. рисунок 1. Эта конструкция дает тот же результат, что и перемещение F ₂ так, чтобы его хвост совпадал с головкой F ₁ , и принятие результирующей силы в качестве вектора, соединяющего хвост F ₁ с головкой F ₂ . Эту процедуру можно повторить, чтобы добавить F ₃ к полученному F ₁ + F ₂ и так далее. Альтернативно многоугольник сил можно использовать .

Доказательство Ньютона

Рисунок 2: Параллелограмм скорости

Предварительно: параллелограмм скорости

Предположим, что частица движется с постоянной скоростью вдоль линии от А до В (рис. 2) за заданное время (скажем, одну секунду ), в то время как за это же время линия АВ равномерно перемещается из своего положения в АВ в положение в DC, оставаясь параллельным своей первоначальной ориентации повсюду. Учитывая оба движения, частица движется по линии AC. Поскольку смещение в данный момент времени является мерой скорости , длина AB является мерой скорости частицы вдоль AB, длина AD является мерой скорости линии вдоль AD, а длина AC является мерой скорость частицы вдоль AC. Движение частицы такое же, как если бы она двигалась с одной скоростью по AC.

Ньютона

Предположим, что две силы действуют на частицу в начале координат («хвосты» векторов ) на рисунке 1. Пусть длины векторов F ₁ и F ₂ представляют скорости, которые две силы могут создать в частице, действуя при заданном время, и пусть направление каждого из них представляет направление, в котором они действуют. Каждая сила действует независимо и будет создавать свою особую скорость независимо от того, действует другая сила или нет. В конце заданного времени частица имеет обе скорости. Согласно приведенному выше доказательству, они эквивалентны одной скорости F _net . Согласно второму закону Ньютона , этот вектор также является мерой силы, создающей эту скорость, поэтому две силы эквивалентны одной силе.

Использование параллелограмма для сложения сил, действующих на частицу на плавном склоне. Как и следовало ожидать, мы обнаруживаем, что результирующая сила (двусторонняя стрелка) действует вниз по склону, что заставляет частицу ускоряться в этом направлении.

Бернулли для

Мы моделируем силы как евклидовы векторы или члены $\mathbb {R} ^{2}$. Наше первое предположение состоит в том, что равнодействующая двух сил на самом деле является другой силой, так что для любых двух сил $\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$ есть другая сила $\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$.Наше окончательное предположение состоит в том, что равнодействующая двух сил не меняется при вращении. Если $R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ — любое вращение (любое ортогональное отображение для обычной структуры векторного пространства $\mathbb {R} ^{2}$ с $\det R=1$), то для всех сил $\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$

$$R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)$$

Рассмотрим две перпендикулярные силы $\mathbf {F} _{1}$ длины $a$ и $\mathbf {F} _{2}$ длины $b$, с $x$ длина $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}$.Позволять $\mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)$ и $\mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})$, где $R$ это вращение между $\mathbf {F} _{1}$ и $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}$, так $\mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)$. В условиях инвариантности вращения получаем

$$\mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}$$

Аналогично рассмотрим еще две силы $\mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2}$ и $\mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)$. Позволять $T$ быть вращением от $\mathbf {F} _{1}$ к $\mathbf {H} _{1}$: $\mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)$, что при осмотре делает $\mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)$.

$$\mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}}$$

Применяя эти два уравнения

$$\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}$$

С $\mathbf {G} _{1}$ и $\mathbf {H} _{2}$ оба лежат рядом $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}$, их длины равны $x=\left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}$

$$x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$$

что подразумевает, что $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}$ имеет длину ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, что является длиной $a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}$. Таким образом, для случая, когда $\mathbf {F} _{1}$ и $\mathbf {F} _{2}$ перпендикулярны, $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$. Однако при объединении двух наших наборов вспомогательных сил мы использовали ассоциативность $\oplus$. Используя это дополнительное предположение, ниже мы сформулируем дополнительное доказательство.

силы

Мы моделируем силы как евклидовы векторы или члены $\mathbb {R} ^{2}$. Наше первое предположение состоит в том, что равнодействующая двух сил на самом деле является другой силой, так что для любых двух сил $\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$ есть другая сила $\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$. Мы предполагаем коммутативность, поскольку эти силы применяются одновременно, поэтому порядок не имеет значения. $\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F}$.

Рассмотрите карту

$$(a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}$$

Если $\oplus$ ассоциативна, то это отображение будет линейным. Поскольку он также отправляет $\mathbf {e} _{1}$ к $\mathbf {e} _{1}$ и $\mathbf {e} _{2}$ к $\mathbf {e} _{2}$, это также должна быть карта идентификации. Таким образом $\oplus$ должен быть эквивалентен обычному оператору сложения векторов.

Споры

Математическое доказательство параллелограмма силы не считается математически обоснованным. Были разработаны различные доказательства (главным образом Дючайлы и Пуассона ), которые также вызвали возражения. Не подвергалось сомнению то, что параллелограмм силы верен, но почему он верен. Сегодня параллелограмм силы принимается как эмпирический факт, несводимый к первым принципам Ньютона.

См. также

• Ньютона Математические принципы естественной философии , аксиомы или законы движения, следствие I , в Wikisource
• Вектор (геометрический)
• Чистая сила