Уравнение Шредингера – Ньютона

Уравнение Шредингера -Ньютона , иногда называемое уравнением Ньютона-Шредингера или Шредингера-Пуассона , представляет собой нелинейную модификацию уравнения Шредингера с ньютоновским гравитационным потенциалом, где гравитационный потенциал возникает в результате рассмотрения волновой функции как плотности массы. , включая термин, обозначающий взаимодействие частицы с собственным гравитационным полем. Включение члена самодействия представляет собой фундаментальное изменение квантовой механики. Его можно записать либо в виде одного интегро-дифференциального уравнения, либо в виде связанной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона . В последнем случае его также называют во множественном числе.

Уравнение Шредингера-Ньютона впервые было рассмотрено Руффини и Бонаццолой. в связи с самогравитирующими бозонными звездами . В этом контексте классической общей теории относительности он появляется как нерелятивистский предел либо уравнения Клейна-Гордона , либо уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени вместе с уравнениями поля Эйнштейна . Уравнение также описывает нечеткую темную материю и аппроксимирует классическую холодную темную материю, описываемую уравнением Власова – Пуассона, в пределе, когда масса частицы велика.

Позже Лайош Диоши предложил ее в качестве модели для объяснения волновой функции. коллапса квантовой и Роджер Пенроуз , от которого произошло название «уравнение Шрёдингера – Ньютона». В этом контексте материя обладает квантовыми свойствами, а гравитация остается классической даже на фундаментальном уровне. Поэтому уравнение Шредингера-Ньютона также было предложено как способ проверить необходимость квантовой гравитации .

В третьем контексте уравнение Шредингера-Ньютона появляется как приближение Хартри для взаимного гравитационного взаимодействия в системе большого числа частиц. В этом контексте соответствующее уравнение электромагнитного кулоновского взаимодействия было предложено Филиппом Шокаром на симпозиуме по кулоновским системам 1976 года в Лозанне для описания однокомпонентной плазмы. Эллиот Х. Либ предоставил доказательство существования и единственности стационарного основного состояния и назвал это уравнение уравнением Шокарда .

Обзор

самодействия. Уравнения Шредингера–Ньютона как связанная система представляют собой обычное уравнение Шредингера с гравитационным потенциалом $$i\hbar \ {\frac {\partial \Psi }{\ \partial t\ }}=-{\frac {\ \hbar ^{2}}{\ 2\ m\ }}\ \nabla ^{2}\Psi \;+\;V\ \Psi \;+\;m\ \Phi \ \Psi \ ,$$ где V — обычный потенциал, а гравитационный потенциал $\ \Phi \ ,$ представляющее взаимодействие частицы с собственным гравитационным полем, удовлетворяет уравнению Пуассона $$\ \nabla ^{2}\Phi =4\pi \ G\ m\ |\Psi |^{2}~.$$ Из-за обратной связи волновой функции с потенциалом это нелинейная система .

Замена $\ \Phi \$ с решением уравнения Пуассона дает интегро-дифференциальную форму уравнения Шредингера – Ньютона: $$i\hbar \ {\frac {\ \partial \Psi \ }{\partial t}}=\left[\ -{\frac {\ \hbar ^{2}}{\ 2\ m\ }}\ \nabla ^{2}\;+\;V\;-\;G\ m^{2}\int {\frac {\ |\Psi (t,\mathbf {y} )|^{2}}{\ |\mathbf {x} -\mathbf {y} |\ }}\;\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \ \right]\Psi ~.$$ Он получается из приведенной выше системы уравнений путем интегрирования уравнения Пуассона в предположении, что потенциал должен обращаться в нуль на бесконечности.

Математически уравнение Шредингера-Ньютона является частным случаем уравнения Хартри для n = 2 . Уравнение сохраняет большинство свойств линейного уравнения Шредингера. В частности, он инвариантен относительно постоянных фазовых сдвигов, что приводит к сохранению вероятности, и демонстрирует полную инвариантность Галилея . Помимо этих симметрий, одновременное преобразование $$m\to \mu \ m\ ,\qquad t\to \mu ^{-5}t\ ,\qquad \mathbf {x} \to \mu ^{-3}\mathbf {x} \ ,\qquad \psi (t,\mathbf {x} )\to \mu ^{9/2}\psi (\mu ^{5}t,\mu ^{3}\mathbf {x} )$$ отображает решения уравнения Шредингера – Ньютона в решения. Стационарное уравнение, которое можно получить обычным способом путем разделения переменных, обладает бесконечным семейством нормируемых решений, из которых устойчиво только основное стационарное состояние.

Связь с полуклассической и квантовой гравитацией

Уравнение Шредингера-Ньютона можно вывести в предположении, что гравитация остается классической даже на фундаментальном уровне и что правильный способ связать квантовую материю с гравитацией — это использовать квазиклассические уравнения Эйнштейна . В этом случае к уравнению Шредингера добавляется член ньютоновского гравитационного потенциала, где источником этого гравитационного потенциала является математическое ожидание оператора плотности массы или массового потока-тока. В этом отношении, если гравитация в своей основе является классической, уравнение Шредингера-Ньютона представляет собой фундаментальное одночастичное уравнение, которое можно обобщить на случай многих частиц (см. ниже).

Если, с другой стороны, гравитационное поле квантовано, фундаментальное уравнение Шрёдингера остаётся линейным. Уравнение Шредингера-Ньютона тогда справедливо только как приближение гравитационного взаимодействия в системах большого числа частиц и не влияет на центр масс.

Уравнение многих тел и движение центра масс

Если уравнение Шредингера-Ньютона рассматривать как фундаментальное уравнение, существует соответствующее уравнение N -тел, которое уже было дано Диози. и может быть получено из квазиклассической гравитации тем же способом, что и одночастичное уравнение: $${\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (t,\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N})={\bigg (}&-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+\sum _{j\neq k}V_{jk}{\big (}|\mathbf {x} _{j}-\mathbf {x} _{k}|{\big )}\\&-G\sum _{j,k=1}^{N}m_{j}m_{k}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} _{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} _{N}\,{\frac {|\Psi (t,\mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{N})|^{2}}{|\mathbf {x} _{j}-\mathbf {y} _{k}|}}{\bigg )}\Psi (t,\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N}).\end{aligned}}$$ Потенциал $V_{jk}$ содержит все взаимные линейные взаимодействия, например, электродинамические кулоновские взаимодействия, тогда как член гравитационного потенциала основан на предположении, что все частицы воспринимают один и тот же гравитационный потенциал, создаваемый всеми маргинальными распределениями для всех частиц вместе.

В приближении типа Борна-Оппенгеймера это уравнение N -частиц можно разделить на два уравнения: одно описывает относительное движение, а другое обеспечивает динамику волновой функции центра масс. Для относительного движения гравитационное взаимодействие не играет роли, так как оно обычно слабое по сравнению с другими взаимодействиями, представленными формулой $V_{jk}$. Но оно оказывает существенное влияние на движение центра масс. Пока $V_{jk}$ зависит только от относительных координат и, следовательно, вообще не вносит вклад в динамику центра масс, вклад вносит нелинейное взаимодействие Шредингера-Ньютона. В вышеупомянутом приближении волновая функция центра масс удовлетворяет следующему нелинейному уравнению Шредингера: $$i\hbar {\frac {\partial \psi _{c}(t,\mathbf {R} )}{\partial t}}=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla ^{2}-G\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {R'} \,\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \,\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {z} \,{\frac {|\psi _{c}(t,\mathbf {R'} )|^{2}\,\rho _{c}(\mathbf {y} )\rho _{c}(\mathbf {z} )}{\left|\mathbf {R} -\mathbf {R'} -\mathbf {y} +\mathbf {z} \right|}}\right)\psi _{c}(t,\mathbf {R} ),$$ где М – полная масса, R – относительная координата, $\psi _{c}$ волновая функция центра масс и $\rho _{c}$ — это массовая плотность системы многих тел (например, молекулы или камня) относительно ее центра масс.

В предельном случае широкой волновой функции, т. е. когда ширина распределения центра масс велика по сравнению с размером рассматриваемого объекта, движение центра масс хорошо аппроксимируется уравнением Шредингера – Ньютона. для одной частицы. Противоположный случай узкой волновой функции можно аппроксимировать потенциалом гармонического осциллятора, где динамика Шредингера – Ньютона приводит к вращению в фазовом пространстве.

В контексте, когда уравнение Шредингера-Ньютона выступает в качестве приближения Хартри, ситуация иная. В этом случае полная волновая функция N -частиц рассматривается как произведение N одночастичных волновых функций, где каждый из этих факторов подчиняется уравнению Шредингера-Ньютона. Однако динамика центра масс в этой картине остается строго линейной. В целом это верно: нелинейные уравнения Хартри никогда не влияют на центр масс.

Значение эффектов

Грубую оценку по порядку величины режима, в котором становятся актуальными эффекты уравнения Шредингера–Ньютона, можно получить путем достаточно простых рассуждений. Для сферически- гауссиана симметричного $$\Psi (t=0,r)=(\pi \sigma ^{2})^{-3/4}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),$$ свободное линейное уравнение Шрёдингера имеет решение $$\Psi (t,r)=(\pi \sigma ^{2})^{-3/4}\left(1+{\frac {i\hbar t}{m\sigma ^{2}}}\right)^{-3/2}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}\left(1+{\frac {i\hbar t}{m\sigma ^{2}}}\right)}}\right).$$ Пик радиальной плотности вероятности $4\pi r^{2}|\Psi |^{2}$ можно найти по адресу $$r_{p}=\sigma {\sqrt {1+{\frac {\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}\sigma ^{4}}}}}.$$ Теперь задаем ускорение $${\ddot {r}}_{p}={\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}r_{p}^{3}}}$$ этой пиковой вероятности, равной ускорению ньютоновской гравитации: $${\ddot {r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},$$ используя это $r_{p}=\sigma$ во время $t=0$. Это дает соотношение $$m^{3}\sigma ={\frac {\hbar ^{2}}{G}}\approx 1.7\times 10^{-58}~{\text{m}}\,{\text{kg}}^{3},$$ что позволяет определить критическую ширину для заданного значения массы и наоборот. Мы также признаем упомянутый выше закон масштабирования. Численное моделирование показывают, что это уравнение дает довольно хорошую оценку массового режима, выше которого эффекты уравнения Шредингера-Ньютона становятся существенными.

Для атома критическая ширина составляет около 10 ²² метров, а она уже снизилась до 10 ⁻³¹ метра для массы в один микрограмм. Режим, где масса около 10 ¹⁰ Ожидается, что атомные единицы массы , а ширина порядка микрометров, позволят экспериментально проверить уравнение Шредингера-Ньютона в будущем. Возможным кандидатом являются эксперименты по интерферометрии с тяжелыми молекулами, масса которых в настоящее время достигает 10 000 атомных единиц массы.

Коллапс квантовой волновой функции

Идея о том, что гравитация вызывает (или каким-то образом влияет) на коллапс волновой функции, возникла в 1960-х годах и первоначально была предложена Каролихази . Уравнение Шредингера-Ньютона было предложено в этом контексте Диози. Там уравнение дает оценку «линии разграничения» между микроскопическими (квантовыми) и макроскопическими (классическими) объектами. Стационарное основное состояние имеет ширину $$a_{0}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{Gm^{3}}}.$$ Для хорошо локализованной однородной сферы, т. е. сферы с волновой функцией центра масс, узкой по сравнению с радиусом сферы, Диози находит в качестве оценки ширины центра масс основного состояния волновая функция $$a_{0}^{(R)}\approx a_{0}^{1/4}R^{3/4}.$$ Предполагая обычную плотность около 1000 кг/м. ³ , можно вычислить критический радиус, для которого $a_{0}^{(R)}\approx R$. Этот критический радиус составляет около десятой доли микрометра.

Роджер Пенроуз предположил, что уравнение Шрёдингера-Ньютона математически описывает базисные состояния, участвующие в схеме гравитационно-индуцированного коллапса волновой функции . Пенроуз предполагает, что суперпозиция двух или более квантовых состояний, имеющих значительное массовое смещение, должна быть нестабильной и сводиться к одному из состояний за конечное время. Он предполагает, что существует «предпочтительный» набор состояний, которые не могут больше коллапсировать, в частности, стационарные состояния уравнения Шредингера-Ньютона. Поэтому макроскопическая система никогда не может находиться в пространственной суперпозиции, поскольку нелинейное гравитационное самовоздействие немедленно приводит к коллапсу в стационарное состояние уравнения Шредингера-Ньютона. Согласно идее Пенроуза, когда измеряется квантовая частица, происходит взаимодействие этого нелинейного коллапса и декогеренции окружающей среды . Гравитационное взаимодействие приводит к приведению среды к одному отдельному состоянию, а декогеренция приводит к локализации частицы, например, в виде точки на экране.

Проблемы и открытые вопросы

При такой интерпретации уравнения Шредингера-Ньютона как причины коллапса волновой функции возникают три основные проблемы:

1. Чрезмерная остаточная вероятность вдали от точки коллапса
2. Отсутствие какой-либо очевидной причины для правила Борна
3. Повышение ранее строго гипотетической волновой функции до наблюдаемой (реальной) величины.

Сначала численные исследования согласились обнаружить, что когда волновой пакет «схлопывается» до стационарного решения, небольшая его часть, кажется, убегает в бесконечность. Это означало бы, что даже полностью коллапсирующую квантовую систему все еще можно найти в отдаленном месте. Поскольку решения линейного уравнения Шредингера стремятся к бесконечности еще быстрее, это указывает лишь на то, что одного уравнения Шредингера-Ньютона недостаточно для объяснения коллапса волновой функции. Если принять во внимание окружающую среду, этот эффект может исчезнуть и, следовательно, не присутствовать в сценарии, описанном Пенроузом.

Вторая проблема, также возникающая в предложении Пенроуза, связана с происхождением правила Борна : для решения проблемы измерения простого объяснения того, почему волновая функция схлопывается – например, в точку на экране – недостаточно. Хорошая модель процесса коллапса также должна объяснять, почему точка появляется в разных положениях экрана с вероятностью, определяемой квадратом абсолютного значения волновой функции. Возможно, такое объяснение могла бы дать модель, основанная на идее Пенроуза, но пока неизвестна причина, по которой из нее естественным образом возникло бы правило Борна.

В-третьих, поскольку гравитационный потенциал связан с волновой функцией в картине уравнения Шредингера-Ньютона, волновую функцию необходимо интерпретировать как реальный объект. Поэтому, по крайней мере в принципе, она становится измеримой величиной. Используя нелокальную природу запутанных квантовых систем, это можно использовать для передачи сигналов со скоростью, превышающей скорость света, что обычно считается противоречащим причинности. Однако неясно, можно ли решить эту проблему, последовательно применяя правильный рецепт коллапса, который еще предстоит найти, ко всей квантовой системе. Кроме того, поскольку гравитация является настолько слабым взаимодействием, неясно, можно ли действительно провести такой эксперимент с параметрами, заданными в нашей Вселенной (см. о похожем мысленном эксперименте, предложенном Эппли и Ханной ).

См. также

• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Полуклассическая гравитация
• Интерпретация Пенроуза
• Уравнение Пуассона