Формулы Ньютона–Котеса

В численном анализе формулы Ньютона -Котеса , также называемые квадратурными правилами Ньютона-Котеса или просто правилами Ньютона-Котеса , представляют собой группу формул численного интегрирования (также называемых квадратурами ), основанных на вычислении подынтегральной функции в равноотстоящих друг от друга точках. Они названы в честь Исаака Ньютона и Роджера Коутса .

Формулы Ньютона-Котеса могут быть полезны, если задано значение подынтегральной функции в равноотстоящих друг от друга точках. Если можно изменить точки, в которых вычисляется подынтегральная функция, то, другие методы, такие как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу – Кертиса вероятно, более подходящими будут .

Описание

Предполагается, что значение функции $f,$ определенной на $[a,b]$ известен в $n+1$ равноотстоящие друг от друга точки: $a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b$ . Существует два класса квадратур Ньютона – Котеса: они называются «закрытыми», когда $x_{0}=a$ и $x_{n}=b$ , т. е. они используют значения функции в конечных точках интервала и «открываются», когда $x_{0}>a$ и $x_{n}<b$ , т.е. они не используют значения функции в конечных точках. Формулы Ньютона–Котеса с использованием $n+1$ точки могут быть определены (для обоих классов) как ^{[ 1 ]} $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),$ где

для закрытой формулы, $x_{i}=a+ih$ , с $h={\frac {b-a}{n}}$ ,
для открытой формулы, $x_{i}=a+(i+1)h$ , с $h={\frac {b-a}{n+2}}$ .

Число $h$ называется размером шага , $w_{i}$ называются весами . Веса можно вычислить как интеграл от базисных полиномов Лагранжа . Они зависят только от $x_{i}$ а не на функцию $f$ . Позволять $L(x)$ быть интерполяционным полиномом в форме Лагранжа для заданных точек данных. $(x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))$ , затем $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.$

Нестабильность высокой степени

формулу Ньютона–Котеса любой степени $n$ Можно построить . Однако при больших $n$ правило Ньютона-Котеса иногда может страдать от катастрофического феномена Рунге. ^{[ 2 ]} где ошибка растет экспоненциально при больших $n$ . Такие методы, как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу – Кертиса с неравноотстоящими точками (сгруппированными в конечных точках интервала интегрирования), стабильны и гораздо более точны, и обычно их предпочитают методам Ньютона – Коутса. Если эти методы нельзя использовать, поскольку подынтегральная функция задается только в фиксированной равнораспределенной сетке, то феномена Рунге можно избежать, используя составное правило, как описано ниже.

Альтернативно, устойчивые формулы Ньютона-Котеса могут быть построены с использованием приближения наименьших квадратов вместо интерполяции. Это позволяет строить численно устойчивые формулы даже для высоких степеней. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Закрытые формулы Ньютона–Котеса

В этой таблице перечислены некоторые формулы Ньютона–Котеса закрытого типа. Для $0\leq i\leq n$ , позволять $x_{i}=a+ih$ где $h={\frac {b-a}{n}}$ , и $f_{i}=f(x_{i})$ .

**Закрытые формулы Ньютона–Котеса.**
$н$	Размер шага $h$	Общее имя	Формула	Термин ошибки
1	$b-a$	Правило трапеции	${\frac {1}{2}}h(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{2}}$	Правило Симпсона	${\frac {1}{3}}h(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{3}}$	Правило Симпсона 3/8	${\frac {3}{8}}h(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
4	${\frac {b-a}{4}}$	правило Буля	${\frac {2}{45}}h(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

Правило Буля иногда ошибочно называют правилом Боде из-за распространения типографской ошибки в Абрамовица и Стегуна . раннем справочнике ^{[ 5 ]}

Показатель размера шага h в члене ошибки дает скорость, с которой уменьшается ошибка аппроксимации. Порядок производной f в члене ошибки дает наименьшую степень полинома, который больше не может быть точно проинтегрирован (т.е. с ошибкой, равной нулю) с помощью этого правила. Число $\xi$ должен быть взят из интервала $(a, b)$ , поэтому граница ошибки равна члену ошибки, когда $f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b$ .

Открытые формулы Ньютона – Котеса.

В этой таблице перечислены некоторые формулы Ньютона–Котеса открытого типа. Для $0\leq i\leq n$ , позволять $x_{i}=a+(i+1)h$ где $h={\frac {b-a}{n+2}}$ , и $f_{i}=f(x_{i})$ .

**Открытые формулы Ньютона-Котеса.**
$н$	Размер шага $h$	Общее имя	Формула	Термин ошибки
0	${\frac {b-a}{2}}$	Правило прямоугольника , или правило середины	$2hf_{0}$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
1	${\frac {b-a}{3}}$		${\frac {3}{2}}h(f_{0}+f_{1})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{4}}$	Правило Милна	${\frac {4}{3}}h(2f_{0}-f_{1}+2f_{2})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{0}+f_{1}+f_{2}+11f_{3})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

Составные правила

Чтобы правила Ньютона–Котеса были точными, размер шага $h$ должен быть небольшим, а это означает, что интервал интегрирования $[a,b]$ должен быть сам по себе небольшим, что в большинстве случаев неверно. По этой причине численное интегрирование обычно выполняется путем разделения $[a,b]$ на меньшие подинтервалы, применяя правило Ньютона-Котеса к каждому подинтервалу и суммируя результаты. Это называется составным правилом . См. Численное интегрирование .

См. также

Ссылки

^ Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2006). Численная математика (второе изд.). Спрингер. стр. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6 .
^ Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2006). Численная математика (второе изд.). Спрингер. стр. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6 .
^ Павел Голобородько (24 марта 2011 г.). «Стабильные формулы Ньютона-Котеса» . Проверено 17 августа 2015 г.
^ Павел Голобородько (20 мая 2012 г.). «Стабильные формулы Ньютона-Котеса (открытого типа)» . Проверено 18 августа 2015 г.
^ Правило Була в Wolfram Mathworld, с опечаткой в году «1960» (вместо «1860»)

М. Абрамовиц и И. А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Дувр, 1972 г. (см. раздел 25.4.)
Джордж Э. Форсайт, Майкл А. Малкольм и Клив Б. Молер. Компьютерные методы математических вычислений . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис – Холл, 1977. (См. раздел 5.1.)
Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 4.1. Классические формулы для равноотстоящих друг от друга абсцисс» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Йозеф Стер и Роланд Булирш. Введение в численный анализ . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980. (См. раздел 3.1.)

Внешние ссылки

«Квадратурная формула Ньютона – Коутса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Формулы Ньютона–Котеса на сайте www.math-linux.com.
Вайсштейн, Эрик В. «Формулы Ньютона – Коутса» . Математический мир .
Интегрирование Ньютона – Коутса , numericmathematics.com

[1] Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2006). Численная математика (второе изд.). Спрингер. стр. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6 .

[2] Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2006). Численная математика (второе изд.). Спрингер. стр. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6 .

[3] Павел Голобородько (24 марта 2011 г.). «Стабильные формулы Ньютона-Котеса» . Проверено 17 августа 2015 г.

[4] Павел Голобородько (20 мая 2012 г.). «Стабильные формулы Ньютона-Котеса (открытого типа)» . Проверено 18 августа 2015 г.

[5] Правило Була в Wolfram Mathworld, с опечаткой в году «1960» (вместо «1860»)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

v т и сэр Исаак Ньютон
Publications	Fluxions (1671) De Motu (1684) Principia (1687) Opticks (1704) Queries (1704) Arithmetica (1707) De Analysi (1711)
Other writings	Quaestiones (1661–1665) "standing on the shoulders of giants" (1675) Notes on the Jewish Temple (c. 1680) "General Scholium" (1713; "hypotheses non fingo" ) Ancient Kingdoms Amended (1728) Corruptions of Scripture (1754)
Contributions	Calculus fluxion Impact depth Inertia Newton disc Newton polygon Newton–Okounkov body Newton's reflector Newtonian telescope Newton scale Newton's metal Spectrum Structural coloration
Newtonianism	Bucket argument Newton's inequalities Newton's law of cooling Newton's law of universal gravitation post-Newtonian expansion parameterized gravitational constant Newton–Cartan theory Schrödinger–Newton equation Newton's laws of motion Kepler's laws Newtonian dynamics Newton's method in optimization Apollonius's problem truncated Newton method Gauss–Newton algorithm Newton's rings Newton's theorem about ovals Newton–Pepys problem Newtonian potential Newtonian fluid Classical mechanics Corpuscular theory of light Leibniz–Newton calculus controversy Newton's notation Rotating spheres Newton's cannonball Newton–Cotes formulas Newton's method generalized Gauss–Newton method Newton fractal Newton's identities Newton polynomial Newton's theorem of revolving orbits Newton–Euler equations Newton number kissing number problem Newton's quotient Parallelogram of force Newton–Puiseux theorem Absolute space and time Luminiferous aether Newtonian series table
Personal life	Woolsthorpe Manor (birthplace) Cranbury Park (home) Early life Later life Apple tree Religious views Occult studies Scientific Revolution Copernican Revolution
Relations	Catherine Barton (niece) John Conduitt (nephew-in-law) Isaac Barrow (professor) William Clarke (mentor) Benjamin Pulleyn (tutor) Roger Cotes (student) William Whiston (student) John Keill (disciple) William Stukeley (friend) William Jones (friend) Abraham de Moivre (friend)
Depictions	Newton by Blake (monotype) Newton by Paolozzi (sculpture) Isaac Newton Gargoyle Astronomers Monument
Namesake	Newton (unit) Newton's cradle Isaac Newton Institute Isaac Newton Medal Isaac Newton Telescope Isaac Newton Group of Telescopes XMM-Newton Sir Isaac Newton Sixth Form Statal Institute of Higher Education Isaac Newton Newton International Fellowship
Categories	Isaac Newton

v т и Численное интегрирование
Newton–Cotes formulas	Trapezoidal rule Simpson's rule Simpson's 3/8 rule Adaptive Simpson's method Boole's rule Romberg's method
Gaussian quadrature	Gauss–Hermite quadrature Gauss–Jacobi quadrature Gauss–Kronrod quadrature formula Gauss–Laguerre quadrature Gauss–Legendre quadrature Chebyshev–Gauss quadrature
Other	Barnes–Hut simulation Bayesian quadrature Clenshaw–Curtis quadrature Filon quadrature Lebedev quadrature Tanh-sinh quadrature